Partiel corrigé algèbre linéaire matrices diagonalisation al
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Aucun document n’est autorisé, ni appareil électronique. Énoncez précisément les résultats du cours utilisés. On pourra traiter les questions indépendamment les unes des autres.
Exercice I
On considère les matrices A := [[1, 1], [0, 1]] et B := [[0, 1], [-1, 0]].
1) La matrice A est-elle diagonalisable ?
2) La matrice B est-elle :
- i) diagonalisable dans ℝ ?
- ii) trigonalisable dans ℝ ?
- iii) diagonalisable dans ℂ ?
(Justifier les réponses).
Correction de l'exercice I
1)
Le polynôme caractéristique de A est PA(x) = (x - 1)2. La seule valeur propre de A est 1, avec une multiplicité algébrique α(1) = 2. Le sous-espace propre associé est E1 := Ker(A - I) = { (x, y)T | (A - I) * (x, y)T = (0, 0)T }. En calculant Ker([[0, 1], [0, 0]]), on trouve E1 = { (x, 0)T | x ∈ ℝ } = Vect{ (1, 0)T }. Donc la dimension du sous-espace propre est dim(E1) = 1. Or, la multiplicité algébrique de la valeur propre 1 est α(1) = 2. Par le théorème du cours, A n’est pas diagonalisable puisque dim(E1) ≠ α(1). Dans le cas des nombres complexes ℂ, le raisonnement est le même.
2-i)
Le calcul donne PB(x) = x2 + 1 = (x - i)(x + i). Les valeurs propres, i et -i, ne sont pas des nombres réels, donc la matrice B n’est pas diagonalisable dans ℝ.
2-ii)
La matrice B ne peut pas non plus être trigonalisable dans ℝ pour la même raison. On rappelle le théorème du cours : une matrice est trigonalisable dans ℝ si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans ℝ (c'est-à-dire que toutes ses racines sont réelles), ce qui n’est pas le cas pour PB(x).
2-iii)
En dimension 2, la matrice B possède deux valeurs propres distinctes (i et -i) dans ℂ. D’après un résultat du cours, cela implique que la matrice est diagonalisable dans ℂ.
Exercice II
Soit u une application linéaire de ℝ3 dans ℝ3, dont la représentation matricielle dans la base canonique est donnée par la matrice A suivante :
A = [[3, -2, 2], [2, -1, 2], [2, -2, 3]]
1) Calculer le polynôme caractéristique de A.
2) Trouver les valeurs propres de A. (On doit trouver deux valeurs propres distinctes.)
3) Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre correspondant. On donnera une base de chaque sous-espace propre.
4) Montrer que la matrice A est diagonalisable, et proposer une base B de vecteurs propres. Calculer D = MatB(u), la représentation matricielle de u dans la base B. Donner la matrice de passage, notée P, de la base canonique à la base B trouvée à la question précédente, et donner une relation entre A, P et D.
Correction de l'exercice II
1)
PA(λ) = det(A - λI)
| 3-λ -2 2 | | 2 -1-λ 2 | | 2 -2 3-λ |
Opération L3←L3−L2 :
| 3-λ -2 2 | | 2 -1-λ 2 | | 0 -1+λ 1-λ |
Factorisation de (1 - λ) de la troisième ligne :
= (1 - λ)
| 3-λ -2 2 | | 2 -1-λ 2 | | 0 -1 1 |
Opération C2←C2+C3 :
= (1 - λ)
| 3-λ 0 2 | | 2 1-λ 2 | | 0 0 1 |
Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux :
= (1 - λ) [ (3 - λ)(1 - λ)(1) ]
= (1 - λ)2 (3 - λ)
2)
Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres : λ = 1 (valeur propre double, multiplicité algébrique α(1) = 2) et λ = 3 (valeur propre simple, multiplicité algébrique α(3) = 1).
3)
D’une part, pour λ = 1, E1 = Ker(A - I) = { (x, y, z)T | [[2, -2, 2], [2, -2, 2], [2, -2, 2]] * (x, y, z)T = (0, 0, 0)T }.
Ce système matriciel est équivalent à l'unique équation : 2x - 2y + 2z = 0, qui se simplifie en x - y + z = 0.
Les vecteurs (x, y, z)T vérifiant x - y + z = 0 peuvent s'écrire sous la forme (x, x + z, z)T pour x, z ∈ ℝ.
On peut décomposer ce vecteur : x * (1, 1, 0)T + z * (0, 1, 1)T.
Donc E1 = Vect{ (1, 1, 0)T, (0, 1, 1)T }.
Les vecteurs v1 = (1, 1, 0)T et v2 = (0, 1, 1)T sont clairement linéairement indépendants (car non colinéaires), ils forment donc une base de E1. Ainsi dim(E1) = 2.
D’autre part, pour λ = 3, E3 = Ker(A - 3I) = { (x, y, z)T | [[0, -2, 2], [2, -4, 2], [2, -2, 0]] * (x, y, z)T = (0, 0, 0)T }.
Ce système d'équations est le suivant :
- -2y + 2z = 0 ⇒ y = z
- 2x - 4y + 2z = 0
- 2x - 2y = 0 ⇒ x = y
En combinant ces équations, on trouve que x = y = z.
Donc E3 = Vect{ (1, 1, 1)T }, et v3 = (1, 1, 1)T est une base de E3. Ainsi dim(E3) = 1.
4)
On a dim(E1) = 2, ce qui est égal à la multiplicité algébrique α(1) = 2. De même, dim(E3) = 1, ce qui est égal à la multiplicité algébrique α(3) = 1. Par le théorème du cours, si la dimension de chaque sous-espace propre est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante, alors la matrice est diagonalisable.
Une base de vecteurs propres est par exemple B = (v1, v2, v3).
La matrice de l’opérateur u dans cette base B est la matrice diagonale D, avec les valeurs propres sur la diagonale, dans l'ordre des vecteurs v1, v2, v3 :
D = MatB(u) = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 3]]
La matrice de passage P de la base canonique à la base B est formée par les vecteurs de la base B arrangés en colonnes :
P = [v1, v2, v3] = [[1, 0, 1], [1, 1, 1], [0, 1, 1]]
La relation entre A, P et D est A = PDP-1.
Exercice III
Soit u une application linéaire de ℝ3 dans ℝ3, telle que sa représentation matricielle (dans la base canonique) soit donnée par la matrice suivante :
B = [[3, 2, 6], [2, 1, 4], [-2, 0, -3]]
1) Calculer le polynôme caractéristique de B, en déduire les valeurs propres de B.
2) Montrer que u est trigonalisable dans ℝ.
3) Déterminer les sous-espaces propres de u. En déduire que u n’est pas diagonalisable.
Dans la suite, on cherche à calculer Bn pour n ∈ ℕ.
4-a) Soit P(X) = (X - 1)2(X + 1). Montrer que P(B) = 0.
4-b) Pour tout n ∈ ℕ, on effectue la division euclidienne de Xn par P(X). Le reste étant un polynôme de degré 2 au plus, il existe des coefficients réels an, bn, cn et un polynôme Q(X) tels que Xn = P(X)Q(X) + anX2 + bnX + cn (12)
Montrer le système d’équations :
- (-1)n = an - bn + cn (13a)
- 1 = an + bn + cn (13b)
- n = 2an + bn (13c)
4-c) En déduire an, bn et cn en fonction de n.
4-d) En déduire une expression de Bn en fonction de n.
Correction de l'exercice III
1)
On a PB(λ) = det(B - λI)
| 3-λ 2 6 | | 2 1-λ 4 | | -2 0 -3-λ |
Opération L3←L3+L2 :
| 3-λ 2 6 | | 2 1-λ 4 | | 0 1-λ 1-λ |
Factorisation de (1 - λ) de la troisième ligne :
= (1 - λ)
| 3-λ 2 6 | | 2 1-λ 4 | | 0 1 1 |
Opération C2←C2−C3 :
= (1 - λ)
| 3-λ -4 6 | | 2 -3-λ 4 | | 0 0 1 |
Calcul du déterminant par cofacteur sur la dernière ligne (ou colonne) :
= (1 - λ) * 1 * det([[3-λ, -4], [2, -3-λ]])
= (1 - λ) [ (3 - λ)(-3 - λ) - (-4)(2) ]
= (1 - λ) [ -(9 - λ2) + 8 ]
= (1 - λ) [ λ2 - 9 + 8 ]
= (1 - λ) (λ2 - 1)
= (1 - λ) (λ - 1) (λ + 1)
= -(λ - 1)2 (λ + 1)
Les valeurs propres sont donc 1 (racine double, multiplicité algébrique α(1) = 2) et -1 (racine simple, multiplicité algébrique α(-1) = 1).
2)
Le polynôme caractéristique PB(λ) est scindé dans ℝ (toutes ses racines, 1 et -1, sont réelles). Par conséquent, B est trigonalisable dans ℝ.
3)
Calculons E1 = Ker(B - I). Le système (B - I) * (x, y, z)T = (0, 0, 0)T est équivalent à [[2, 2, 6], [2, 0, 4], [-2, 0, -4]] * (x, y, z)T = (0, 0, 0)T.
Le système d'équations se simplifie en :
- x + y + 3z = 0 (divisant la première ligne par 2)
- x + 2z = 0 (divisant la deuxième ligne par 2)
- x + 2z = 0 (divisant la troisième ligne par -2)
Des deux dernières équations, on déduit x = -2z. En substituant dans la première équation : (-2z) + y + 3z = 0 ⇒ y + z = 0 ⇒ y = -z.
Ainsi, les vecteurs propres sont de la forme (-2z, -z, z)T. On peut choisir z = 1 pour obtenir un vecteur propre : (-2, -1, 1)T.
E1 = Vect{ (-2, -1, 1)T }, et donc dim(E1) = 1. Comme dim(E1) = 1 est inférieure à la multiplicité algébrique α(1) = 2, la matrice B n'est pas diagonalisable.
Calculons E-1 = Ker(B + I). Le système (B + I) * (x, y, z)T = (0, 0, 0)T est équivalent à [[4, 2, 6], [2, 2, 4], [-2, 0, -2]] * (x, y, z)T = (0, 0, 0)T.
Le système d'équations se simplifie en :
- 2x + y + 3z = 0 (divisant la première ligne par 2)
- x + y + 2z = 0 (divisant la deuxième ligne par 2)
- x + z = 0 (divisant la troisième ligne par -2)
De la troisième équation, on a x = -z. En substituant dans la deuxième : (-z) + y + 2z = 0 ⇒ y + z = 0 ⇒ y = -z.
Vérifions avec la première équation : 2(-z) + (-z) + 3z = -2z - z + 3z = 0. Le système est cohérent.
Donc les vecteurs propres sont de la forme (-z, -z, z)T. On peut prendre z = -1 pour obtenir un vecteur propre : (1, 1, -1)T.
E-1 = Vect{ (1, 1, -1)T }, et dim(E-1) = 1. Ce qui est égal à sa multiplicité algébrique α(-1) = 1.
4-a)
D'après le théorème de Cayley-Hamilton, toute matrice carrée annule son propre polynôme caractéristique. Le polynôme caractéristique de B est PB(X) = -(X - 1)2(X + 1). Le polynôme P(X) donné, P(X) = (X - 1)2(X + 1), est l'opposé de PB(X). Par conséquent, P(B) = -PB(B) = 0.
4-b)
Pour la relation Xn = P(X)Q(X) + anX2 + bnX + cn (12) :
1. En évaluant en X = -1 (qui est une racine de P(X)) : (-1)n = P(-1)Q(-1) + an(-1)2 + bn(-1) + cn. Puisque P(-1) = 0, on obtient (-1)n = an - bn + cn (13a).
2. En évaluant en X = 1 (qui est une racine de P(X)) : 1n = P(1)Q(1) + an(1)2 + bn(1) + cn. Puisque P(1) = 0, on obtient 1 = an + bn + cn (13b).
3. Pour obtenir la troisième équation, nous dérivons la relation (12) par rapport à X :
nXn-1 = P'(X)Q(X) + P(X)Q'(X) + 2anX + bn.
Puisque X = 1 est une racine double de P(X) = (X - 1)2(X + 1), nous savons que P(1) = 0 et P'(1) = 0. En évaluant l'équation dérivée en X = 1 :
n(1)n-1 = P'(1)Q(1) + P(1)Q'(1) + 2an(1) + bn.
Ceci se simplifie à n = 2an + bn (13c).
4-c)
Par différence des équations (13b) - (13a) :
(an + bn + cn) - (an - bn + cn) = 1 - (-1)n
2bn = 1 - (-1)n
Donc bn = (1 - (-1)n) / 2.
De l'équation (13c), on tire an :
an = (n - bn) / 2 = (n - (1 - (-1)n)/2) / 2 = (2n - (1 - (-1)n)) / 4 = (2n - 1 + (-1)n) / 4.
Enfin, de l'équation (13b), on tire cn :
cn = 1 - an - bn = 1 - (2n - 1 + (-1)n) / 4 - (1 - (-1)n) / 2
= (4 - (2n - 1 + (-1)n) - 2(1 - (-1)n)) / 4
= (4 - 2n + 1 - (-1)n - 2 + 2(-1)n) / 4
= (3 - 2n + (-1)n) / 4.
4-d)
En utilisant la relation (12) pour la matrice B, et sachant que P(B) = 0 (d'après 4-a) :
Bn = P(B)Q(B) + anB2 + bnB + cnI
Bn = 0 * Q(B) + anB2 + bnB + cnI
Bn = anB2 + bnB + cnI.
(La détermination explicite de B2 et la substitution des coefficients an, bn, cn pour obtenir la matrice finale Bn sont laissées au lecteur.)
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une matrice diagonalisable ?
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. C'est le cas si et seulement s'il existe une base de l'espace vectoriel formée uniquement de vecteurs propres de la matrice, ou si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace, ou encore si pour chaque valeur propre, sa multiplicité algébrique est égale à sa multiplicité géométrique.
Qu'est-ce que le théorème de Cayley-Hamilton ?
Le théorème de Cayley-Hamilton stipule que toute matrice carrée sur un corps commutatif annule son propre polynôme caractéristique. En d'autres termes, si P(λ) est le polynôme caractéristique d'une matrice A, alors P(A) = 0, où P(A) est la matrice obtenue en substituant A à λ dans P(λ) et en remplaçant la constante par la matrice identité multipliée par cette constante.
Quand une matrice est-elle trigonalisable dans ℝ ?
Une matrice carrée est trigonalisable dans ℝ si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur ℝ, c'est-à-dire que toutes ses racines (ses valeurs propres) sont réelles. Cela signifie que la matrice peut être transformée en une matrice triangulaire supérieure par une matrice de passage inversible.