Exercices centre instantane de rotation base et roulante

Ce document est conçu comme un support pédagogique destiné aux étudiants universitaires abordant la cinématique des corps rigides. Il présente en détail l'Exercice 4, portant sur le mouvement d'un disque.

Il couvre les notions fondamentales et les méthodes de résolution concernant :

Le centre instantané de rotation (CIR).
La détermination de la base et de la roulante d'un mouvement.
L'application aux cas de roulement sans glissement et avec glissement.

Des solutions détaillées sont fournies pour faciliter la compréhension et l'apprentissage de ces concepts clés en mécanique.

Exercices centre instantane de rotation base et roulante - T

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Exercice 4 : Centre instantané de rotation, base et roulante

Problème

Un disque (D) de rayon r se déplace le long d’un axe horizontal de telle sorte qu’il soit toujours contenu dans un plan vertical xoOyo. La vitesse de son centre C par rapport au repère fixe (Ro) est V_C_Ro = v_0 * ω * j_0 (où ω est la vitesse angulaire dθ/dt et j_0 est le vecteur unitaire de l'axe yo). On désigne par R_D(C, i_D, j_D, k_D) un repère lié au disque.

Questions

Quel est le vecteur rotation instantané Ω(D/Ro) ?
Déterminer les coordonnées du centre instantané de rotation du disque.
Trouver la base et la roulante du mouvement, sachant que :
- a. Le disque roule sans glisser sur l’axe des x.
- b. Le disque roule et glisse sur l’axe des x.

Solution détaillée

1. Vecteur rotation instantané Ω(D/Ro)

Le vecteur rotation instantané du disque (D) par rapport au repère fixe (Ro) est donné par la vitesse angulaire du disque.

Ω(D/Ro) = ω * k_0

Où ω = dθ/dt est la vitesse angulaire de rotation du disque, et k_0 est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan (xo, yo) du mouvement (selon l'axe zo).

2. Coordonnées du centre instantané de rotation (CIR)

Le centre instantané de rotation (CIR), noté I, est le point du solide dont la vitesse est nulle à un instant donné dans le repère fixe. Sa position est déterminée par la relation V_I_Ro = 0.

La vitesse d'un point I dans le repère fixe est donnée par la loi de composition des vitesses :

V_I_Ro = V_C_Ro + Ω(D/Ro) ∧ CI

Puisque V_I_Ro = 0, nous avons :

V_C_Ro + Ω(D/Ro) ∧ CI = 0

Soit Ω(D/Ro) ∧ CI = -V_C_Ro.

Dans le problème, la vitesse du centre C est V_C_Ro = v_0 * ω * j_0 et le vecteur rotation est Ω(D/Ro) = ω * k_0.

Désignons par CI = x_I_C * i_0 + y_I_C * j_0 les coordonnées du vecteur du centre C vers le CIR I dans le repère fixe.

L'équation devient :

ω * k_0 ∧ (x_I_C * i_0 + y_I_C * j_0) = -v_0 * ω * j_0

Développons le produit vectoriel :

ω * x_I_C * (k_0 ∧ i_0) + ω * y_I_C * (k_0 ∧ j_0) = -v_0 * ω * j_0

Sachant que k_0 ∧ i_0 = j_0 et k_0 ∧ j_0 = -i_0 :

ω * x_I_C * j_0 - ω * y_I_C * i_0 = -v_0 * ω * j_0

En comparant les composantes des vecteurs de chaque côté de l'équation :

Selon i_0 : -ω * y_I_C = 0 => y_I_C = 0 (en supposant ω ≠ 0)
Selon j_0 : ω * x_I_C = -v_0 * ω => x_I_C = -v_0 (en supposant ω ≠ 0)

Les coordonnées du CIR relatives au centre C sont donc CI = (-v_0, 0). Par conséquent, les coordonnées absolues du CIR I dans le repère fixe sont I = (x_C - v_0, y_C).

Note : L'énoncé initial décrivant un mouvement "le long d'un axe horizontal" avec une vitesse du centre V_C_Ro = v_0 * ω * j_0 (verticale) est contradictoire. Pour les questions suivantes concernant le roulement sur l'axe des x, nous allons considérer un mouvement plus classique où la position y_C du centre est r et la vitesse V_C est horizontale, ce qui est cohérent avec la solution généralement attendue pour un tel problème.

3. Base et roulante du mouvement

La roulante est la courbe décrite par le Centre Instantané de Rotation (CIR) dans le repère mobile (lié au disque). La base est la courbe décrite par le CIR dans le repère fixe.

a. Le disque roule sans glisser sur l’axe des x

Dans le cas d'un roulement sans glissement sur l'axe des x, le Centre Instantané de Rotation (CIR) I est le point de contact entre le disque et la surface sur laquelle il roule. Si le disque est posé sur l'axe x_0, son centre C se trouve à une hauteur y_C = r (le rayon du disque).

Le point de contact est alors situé à (x_C, 0) dans le repère fixe. C'est donc le CIR I.

La base du mouvement est la trajectoire du CIR dans le repère fixe. Puisque le CIR est toujours sur l'axe des x_0, la base est l'axe x_0 lui-même (la droite d'équation y_0 = 0).
La roulante est la trajectoire du CIR dans le repère lié au disque. Le CIR est le point de contact, et ce point se déplace le long de la circonférence du disque. Donc, la roulante est le cercle de centre C et de rayon r, qui est la circonférence du disque.

Pour que cette condition soit remplie, la vitesse du centre C doit être horizontale et liée à la vitesse angulaire par V_C = rω * i_0, ce qui implique que l'énoncé initial de V_C devait être interprété différemment ou était une erreur pour ce cas.

b. Le disque roule et glisse sur l’axe des x

Lorsque le disque roule et glisse sur l'axe des x, le point de contact entre le disque et l'axe n'est plus le Centre Instantané de Rotation (CIR), car le point de contact a une vitesse non nulle. Le CIR est toujours le point dont la vitesse est nulle.

En utilisant le résultat de la question 2, le CIR I a pour coordonnées (x_C - v_0, y_C) par rapport au repère fixe. Si le disque roule sur l'axe des x, son centre C se trouve à une hauteur y_C = r.

La base du mouvement est la trajectoire du CIR dans le repère fixe. Donc, la base est la droite d'équation y_0 = r, mais le CIR est décalé horizontalement de v_0 par rapport à x_C. Ainsi, la base est la ligne y_0 = r, mais le point sur cette ligne dépend de x_C(t).
La roulante est la trajectoire du CIR dans le repère lié au disque. Le CIR est situé au point (-v_0, 0) par rapport au centre C du disque. Par conséquent, la roulante est un point fixe dans le repère du disque, situé à la position (-v_0, 0) si v_0 est constant.

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce que le Centre Instantané de Rotation (CIR) ?

Le Centre Instantané de Rotation (CIR) est un point d'un solide en mouvement plan dont la vitesse est nulle à un instant donné. C'est autour de ce point que le solide peut être considéré comme tournant purement à cet instant. Il est un outil clé pour analyser le mouvement de solides rigides, en particulier pour les roulements.

Quelle est la différence entre la base et la roulante d'un mouvement ?

La base est la courbe que le Centre Instantané de Rotation (CIR) décrit dans le repère fixe (ou absolu). Elle représente la trajectoire du "pivot" instantané sur la surface immobile. La roulante est la courbe que le CIR décrit dans le repère mobile (lié au solide en mouvement). Elle représente la trajectoire du "pivot" instantané sur le solide lui-même.

Dans quelles conditions le CIR est-il le point de contact pour un disque roulant ?

Le Centre Instantané de Rotation (CIR) d'un disque en mouvement est le point de contact avec la surface sur laquelle il roule uniquement si le mouvement est un roulement sans glissement. Dans ce cas, le point de contact est immobile par rapport à la surface et par rapport au disque à l'instant considéré, ce qui correspond à la définition du CIR. Si le disque glisse, le point de contact a une vitesse non nulle et ne peut pas être le CIR.