Td 2 théorèmes énergétiques - Télécharger pdf

Ce document est un corrigé de travaux dirigés destiné aux étudiants universitaires en physique ou en génie mécanique, abordant la mécanique des corps rigides.

Il offre des solutions détaillées aux exercices portant sur des concepts clés et couvre les notions suivantes :

• Le calcul des moments et énergies cinétiques ;
• L'application des théorèmes de la résultante et du moment dynamique ;
• La détermination des intégrales premières de l'énergie et l'utilisation des torseurs cinétiques et dynamiques, incluant les relations de transport.

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Corrigé TD : Théorèmes énergétiques

Exercice 1

1. Détermination du moment cinétique du disque en O

Remarque : La rotation s'effectue autour de l'axe passant par O et de direction le vecteur `w<sub>0</sub>`.

Deux façons pour déterminer le moment cinétique au point O :

Méthode 1 : Point fixe O

On exploite le fait que O est un point fixe. La rotation s'effectue autour de l'axe `Δ<sub>O</sub>` passant par O et parallèle à l'axe `Δ<sub>G</sub>` du disque passant par son centre de gravité G.

Le moment d'inertie par rapport à l'axe `Δ<sub>O</sub>` est calculé par le théorème d'Huygens : `I<sub>ΔO</sub> = I<sub>ΔG</sub> + ma²`.

Le moment cinétique en O est : `σ<sub>O</sub> = I<sub>ΔO</sub> Ω = (I<sub>ΔG</sub> + ma²) ω`.

Soit : `σ<sub>O</sub> = (mR²/2 + ma²) θ̇ w<sub>0</sub>` (en considérant `I<sub>ΔG</sub> = mR²/2` pour un disque plan et `Ω = θ̇ w<sub>0</sub>`).

Avec `a` la distance entre O et G.

Méthode 2 : Relation de transport par le centre de gravité G

On utilise la relation de transport en passant par le centre de gravité G et en utilisant le moment d'inertie par rapport à l'axe du disque `Δ<sub>G</sub>`.

Le moment cinétique en G est : `σ<sub>G</sub> = I<sub>ΔG</sub> Ω = (mR²/2) θ̇ w<sub>0</sub>`.

La résultante cinétique est : `P = m V<sub>G</sub> = m a θ̇ u<sub>θ</sub>` (où `u<sub>θ</sub>` est le vecteur unitaire tangentiel).

Le moment cinétique en O est : `σ<sub>O</sub> = σ<sub>G</sub> + OG ∧ P = σ<sub>G</sub> + (a u<sub>r</sub>) ∧ (m a θ̇ u<sub>θ</sub>)`.

Donc : `σ<sub>O</sub> = (mR²/2) θ̇ w<sub>0</sub> + ma² θ̇ w<sub>0</sub> = (mR²/2 + ma²) θ̇ w<sub>0</sub>`.

2. Détermination de l'énergie cinétique

La rotation s'effectue autour de l'axe passant par le point fixe O.

L'énergie cinétique se calcule en fonction du moment cinétique au point O : `T = 1/2 σ<sub>O</sub> · Ω`.

En remplaçant les expressions du moment cinétique et de la vitesse de rotation : `T = 1/2 (mR²/2 + ma²) θ̇ w<sub>0</sub> · (θ̇ w<sub>0</sub>)`.

Soit : `T = 1/2 (mR²/2 + ma²) (θ̇)²`.

3. Équations du mouvement du disque par les théorèmes dynamiques

Rappel : Le principe fondamental de la dynamique stipule que dans un référentiel galiléen, le torseur des efforts extérieurs `F<sub>e</sub>` est égal au torseur dynamique `D<sub>S/R</sub>`. Les moments des deux torseurs sont calculés au même point.

Théorème de la résultante dynamique

La résultante dynamique est égale à la résultante des efforts extérieurs : `Γ<sub>G</sub> = P<sub>d</sub> + P<sub>g</sub> + R<sub>L</sub>`.

Avec :

• `P<sub>g</sub> = m g v` (poids)
• `P<sub>d</sub> = -m k (Rθ̇) u<sub>r</sub>` (force de frottement)
• `R<sub>L</sub> = R<sub>Lu</sub> u + R<sub>Lv</sub> v` (réactions de liaison)

L'accélération du centre de masse G est : `Γ<sub>G</sub> = a θ̈ u<sub>θ</sub> - a (θ̇)² u<sub>r</sub>` (pour un mouvement circulaire autour de O à distance `a`).

La projection des vecteurs `u<sub>r</sub>` et `u<sub>θ</sub>` dans la base `(u, v)` donne les équations suivantes :

(1) `ma(θ̈ sinθ + θ̇² cosθ) = -mkRθ̇ cosθ + R<sub>Lu</sub>`

(2) `ma(θ̈ cosθ - θ̇² sinθ) = -mg - mkRθ̇ sinθ + R<sub>Lv</sub>`

Théorème du moment dynamique au point O

a. Moment dynamique au point O, noté `δ<sub>O</sub>` : `δ<sub>O</sub> = d(σ<sub>O</sub>)/dt`.

Avec `σ<sub>O</sub> = (mR²/2 + ma²) θ̇ w<sub>0</sub>`, alors `δ<sub>O</sub> = (mR²/2 + ma²) θ̈ w<sub>0</sub>`.

b. Moment des efforts extérieurs au point O, noté `M<sub>ext/O</sub>` : `M<sub>ext/O</sub> = M<sub>d/O</sub> + M<sub>g/O</sub> + M<sub>L/O</sub>`.

`M<sub>d/O</sub> = OG ∧ P<sub>d</sub> = (a u<sub>r</sub>) ∧ (-mkRθ̇ u<sub>r</sub>) = 0` (erreur dans le texte original, si `P<sub>d</sub>` est radial).

Correction basée sur le texte fourni : `M<sub>d/O</sub> = (a u<sub>r</sub>) ∧ (-mkRθ̇ cosθ u + mkRθ̇ sinθ v)` (supposant une force `P<sub>d</sub>` non purement radiale, la notation `Rd mk HM` n'est pas claire, je m'en tiendrai aux résultats du texte).

Selon le texte : `M<sub>d/O</sub> = mk a² (θ̇)² cosθ sinθ w<sub>0</sub>` et `M<sub>g/O</sub> = OG ∧ P<sub>g</sub> = (a u<sub>r</sub>) ∧ (-mg v) = -mga cosθ w<sub>0</sub>`.

L'égalité des moments au point O, donne :

(3) `(mR²/2 + ma²) θ̈ = mk a² (θ̇)² sinθ cosθ - mga cosθ`

En résumé, on obtient les 3 équations du mouvement :

(1) `ma(θ̈ sinθ + θ̇² cosθ) = -mkRθ̇ cosθ + R<sub>Lu</sub>`

(2) `ma(θ̈ cosθ - θ̇² sinθ) = -mg - mkRθ̇ sinθ + R<sub>Lv</sub>`

(3) `(mR²/2 + ma²) θ̈ = mk a² (θ̇)² sinθ cosθ - mga cosθ`

4. Analyse aux conditions initiales

En supposant qu'à l'instant initial `θ<sub>0</sub> = 0` et `θ̇<sub>0</sub> = ω`.

De l'équation (1) : `ma(ω²) = makω - R<sub>Lu</sub>` (après simplification si `cosθ=1` et `sinθ=0`). Soit : `R<sub>Lu</sub> = makω - maω²`.

De l'équation (2) : `maθ̈<sub>0</sub> = -mg + R<sub>Lv</sub>`. Soit : `R<sub>Lv</sub> = mg + maθ̈<sub>0</sub>`.

De l'équation (3) : `(mR²/2 + ma²) θ̈<sub>0</sub> = -mga`. Soit : `θ̈<sub>0</sub> = -mga / (mR²/2 + ma²)`.

Par suite, on déduit les composantes de `R<sub>d</sub>` (probablement `R<sub>L</sub>` dans le contexte) :

• `R<sub>Lu</sub> = ma(kω - aω²)`
• `R<sub>Lv</sub> = mg + maθ̈<sub>0</sub> = mg - mga² / (R²/2 + a²)`

5. Intégrale première de l'énergie

Rappels : Théorème de l'énergie cinétique

Le taux de variation de l'énergie cinétique d'un solide S, par rapport à un référentiel R galiléen, est égal à la puissance des efforts extérieurs à S. La puissance `P<sub>R</sub> = F<sub>e</sub> · V<sub>S/R</sub>` est égale au comoment du torseur des efforts extérieurs et du torseur cinématique, en un point A quelconque.

`dT/dt = P<sub>ext</sub>`.

Choisissons A = O. Les éléments de réduction du torseur cinématique sont :

• Vitesse en O : `V<sub>O</sub> = 0`
• Vitesse angulaire : `Ω = θ̇ w<sub>0</sub>`

Les éléments de réduction du torseur des efforts extérieurs sont :

• Résultante : `R = P<sub>d</sub> + P<sub>g</sub> + R<sub>L</sub>`
• Moment en O : `M<sub>O</sub> = mk a² (θ̇)² sinθ cosθ w<sub>0</sub> - mga cosθ w<sub>0</sub>`

Calcul du comoment des deux torseurs : `P<sub>ext</sub> = M<sub>O</sub> · Ω`.

`P<sub>ext</sub> = (mk a² (θ̇)² sinθ cosθ - mga cosθ) θ̇`.

`P<sub>ext</sub> = d/dt [1/2 mk a² (θ̇)² sin²θ - mga sinθ]` (après intégration et simplification).

On sait que `dT/dt = P<sub>ext</sub>`. Par conséquent, en intégrant : `T - (1/2 mk a² (θ̇)² sin²θ - mga sinθ) = Cte`.

On déduit l'intégrale première de l'énergie :

`T + U = Cte` où `U = - (1/2 mk a² (θ̇)² sin²θ - mga sinθ)` est l'énergie potentielle.

Finalement : `1/2 (mR²/2 + ma²) (θ̇)² - 1/2 mk a² (θ̇)² sin²θ + mga sinθ = Cte`.

Exercice 2

1. Vitesses de rotation de la tige (T) et du disque (D)

Pour la Tige (T) : Le vecteur vitesse de rotation de la tige par rapport au référentiel `R<sub>0</sub>` est `Ω<sub>R0/T</sub> = Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

Pour le Disque (D) : Le vecteur vitesse de rotation du disque par rapport au référentiel `R<sub>0</sub>` est la somme de la vitesse de rotation de la tige et de la vitesse de rotation du disque par rapport à la tige : `Ω<sub>R0/D</sub> = Ω<sub>T/D</sub> + Ω<sub>R0/T</sub>`.

Soit : `Ω<sub>R0/D</sub> = θ̇ u<sub>1</sub> + Ψ̇ w<sub>0</sub>` (où `u<sub>1</sub>` est le vecteur unitaire définissant l'axe de rotation propre du disque).

2. Éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique au point C

Le système `Σ` est composé de la tige (T) et du disque (D).

G : Centre d'inertie du système `Σ`

G_D = C : Centre d'inertie du Disque

G_T = B : Centre d'inertie de la Tige

Résultante cinétique du système `Σ`

`P<sub>Σ/R0</sub> = P<sub>D/R0</sub> + P<sub>T/R0</sub> = m<sub>D</sub> V<sub>GD/R0</sub> + m<sub>T</sub> V<sub>GT/R0</sub>`.

Vitesse du centre de masse du disque C : `V<sub>C/R0</sub> = λ̇ u<sub>1</sub> + λΨ̇ v<sub>1</sub>`.

Vitesse du centre de masse de la tige B : `V<sub>B/R0</sub> = (l/2) Ψ̇ v<sub>1</sub>`.

La résultante cinétique du système `Σ` est : `P<sub>Σ/R0</sub> = (M<sub>D</sub> λ̇ u<sub>1</sub> + M<sub>D</sub> λΨ̇ v<sub>1</sub>) + (m<sub>T</sub> (l/2) Ψ̇ v<sub>1</sub>)`.

Soit : `P<sub>Σ/R0</sub> = M<sub>D</sub> λ̇ u<sub>1</sub> + (M<sub>D</sub> λ + m<sub>T</sub> l/2) Ψ̇ v<sub>1</sub>`.

Moment cinétique du système `Σ` au point C

`σ<sub>Σ/R0</sub>(C) = σ<sub>D/R0</sub>(C) + σ<sub>T/R0</sub>(C)`.

Moment cinétique du disque (D) au point C (centre de gravité du disque)

`σ<sub>D/R0</sub>(C) = I<sub>D</sub> Ω<sub>R0/D</sub>`.

Avec `I<sub>D</sub>` le tenseur d'inertie du disque au point C.

Dans la base `(w<sub>1</sub>, v<sub>1</sub>, u<sub>1</sub>)` : `σ<sub>D/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇ u<sub>1</sub> + (M<sub>D</sub>R²/4) Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

Moment cinétique de la tige (T) au point C

`σ<sub>T/R0</sub>(C) = σ<sub>T/R0</sub>(A) + P<sub>T/R0</sub> ∧ AC` (avec A point fixe de la tige).

`σ<sub>T/R0</sub>(A) = I<sub>T</sub> Ω<sub>R0/T</sub> = (m<sub>T</sub>l²/3) Ψ̇ w<sub>0</sub>` (pour une tige tournant autour de A).

`P<sub>T/R0</sub> ∧ AC = (m<sub>T</sub> (l/2) Ψ̇ v<sub>1</sub>) ∧ (- λ u<sub>1</sub>) = m<sub>T</sub> (l/2) λ Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

Donc : `σ<sub>T/R0</sub>(C) = (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub> (l/2) λ) Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

En résumé, le moment cinétique du système `Σ` en C est :

`σ<sub>Σ/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇ u<sub>1</sub> + [(M<sub>D</sub>R²/4) + (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub> (l/2) λ)] Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

Éléments de réduction des torseurs dynamique du système `Σ`, au point C

Résultante dynamique du système `Σ`

`R<sub>Σ/R0</sub> = Γ<sub>D/R0</sub> + Γ<sub>T/R0</sub>`.

`Γ<sub>D/R0</sub>(C) = M<sub>D</sub> γ<sub>C/R0</sub>`.

`γ<sub>C/R0</sub> = (λ̈ - λΨ̇²) u<sub>1</sub> + (2λ̇Ψ̇ + λΨ̈) v<sub>1</sub>`.

`Γ<sub>T/R0</sub>(B) = m<sub>T</sub> γ<sub>B/R0</sub>`.

`γ<sub>B/R0</sub> = -(l/2) Ψ̇² u<sub>1</sub> + (l/2) Ψ̈ v<sub>1</sub>`.

Donc : `R<sub>Σ/R0</sub> = [M<sub>D</sub>(λ̈ - λΨ̇²) - m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̇²] u<sub>1</sub> + [M<sub>D</sub>(2λ̇Ψ̇ + λΨ̈) + m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̈] v<sub>1</sub>`.

Moment dynamique du système `Σ` au point C

`δ<sub>Σ/R0</sub>(C) = δ<sub>D/R0</sub>(C) + δ<sub>T/R0</sub>(C)`.

Moment dynamique du disque (D) au point C

`δ<sub>D/R0</sub>(C) = d(σ<sub>D/R0</sub>(C))/dt`.

`δ<sub>D/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̈ u<sub>1</sub> + (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇ (Ω<sub>R0/D</sub> ∧ u<sub>1</sub>) + (M<sub>D</sub>R²/4) Ψ̈ w<sub>0</sub> + (M<sub>D</sub>R²/4) Ψ̇ (Ω<sub>R0/D</sub> ∧ w<sub>0</sub>)`.

Après calcul : `δ<sub>D/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̈ u<sub>1</sub> - (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇Ψ̇ v<sub>1</sub> + (M<sub>D</sub>R²/4) Ψ̈ w<sub>0</sub>`.

Moment dynamique de la tige (T) au point C

`δ<sub>T/R0</sub>(C) = d(σ<sub>T/R0</sub>(C))/dt + V<sub>C/R0</sub> ∧ P<sub>T/R0</sub>`.

`δ<sub>T/R0</sub>(C) = [(m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ) Ψ̈] w<sub>0</sub> + (λ̇ u<sub>1</sub> + λΨ̇ v<sub>1</sub>) ∧ (m<sub>T</sub>(l/2)Ψ̇ v<sub>1</sub>)`.

`δ<sub>T/R0</sub>(C) = [(m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ) Ψ̈] w<sub>0</sub> - λ̇ m<sub>T</sub>(l/2)Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

On déduit le moment dynamique du système `Σ` en C :

`δ<sub>Σ/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̈ u<sub>1</sub> - (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇Ψ̇ v<sub>1</sub> + [(M<sub>D</sub>R²/4) + (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ)] Ψ̈ w<sub>0</sub> - λ̇ m<sub>T</sub>(l/2)Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

3. Déduction des moments cinétique et dynamique au point I

Le moment cinétique du système au point I se déduit du moment cinétique en C par l'utilisation de la relation de transport.

Rappel :

• Résultante cinétique du système `Σ` : `P<sub>Σ/R0</sub> = M<sub>D</sub> λ̇ u<sub>1</sub> + (M<sub>D</sub> λ + m<sub>T</sub> l/2) Ψ̇ v<sub>1</sub>`
• Moment cinétique du système `Σ`, en C : `σ<sub>Σ/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇ u<sub>1</sub> + [(M<sub>D</sub>R²/4) + (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ)] Ψ̇ w<sub>0</sub>`

Moment cinétique en I : `σ<sub>Σ/R0</sub>(I) = σ<sub>Σ/R0</sub>(C) + P<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI`.

Le vecteur `CI` est `(-R w<sub>0</sub>)` si I est à la surface du disque, sur l'axe `w<sub>0</sub>` par rapport à C. (En l'absence de schéma, nous suivons la notation du texte).

`P<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI = (M<sub>D</sub> λ̇ u<sub>1</sub> + (M<sub>D</sub> λ + m<sub>T</sub> l/2) Ψ̇ v<sub>1</sub>) ∧ (-R w<sub>0</sub>)`.

`P<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI = -R (M<sub>D</sub> λ̇ (u<sub>1</sub> ∧ w<sub>0</sub>) + (M<sub>D</sub> λ + m<sub>T</sub> l/2) Ψ̇ (v<sub>1</sub> ∧ w<sub>0</sub>))`.

En supposant `u<sub>1</sub>`, `v<sub>1</sub>`, `w<sub>0</sub>` forment un trièdre direct, `u<sub>1</sub> ∧ w<sub>0</sub> = v<sub>1</sub>` et `v<sub>1</sub> ∧ w<sub>0</sub> = -u<sub>1</sub>`.

`P<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI = -R M<sub>D</sub> λ̇ v<sub>1</sub> + R (M<sub>D</sub> λ + m<sub>T</sub> l/2) Ψ̇ u<sub>1</sub>`.

Soit : `σ<sub>Σ/R0</sub>(I) = [(M<sub>D</sub>R²/2) θ̇ + R (M<sub>D</sub> λ + m<sub>T</sub> l/2) Ψ̇] u<sub>1</sub> - R M<sub>D</sub> λ̇ v<sub>1</sub> + [(M<sub>D</sub>R²/4) + (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ)] Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

De même, le moment dynamique en I, se déduit en utilisant la relation de transport en passant par C :

`δ<sub>Σ/R0</sub>(I) = δ<sub>Σ/R0</sub>(C) + R<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI`.

En C, on a :

• `δ<sub>Σ/R0</sub>(C) = (M<sub>D</sub>R²/2) θ̈ u<sub>1</sub> - (M<sub>D</sub>R²/2) θ̇Ψ̇ v<sub>1</sub> + [(M<sub>D</sub>R²/4) + (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ)] Ψ̈ w<sub>0</sub> - λ̇ m<sub>T</sub>(l/2)Ψ̇ w<sub>0</sub>`
• `R<sub>Σ/R0</sub> = [M<sub>D</sub>(λ̈ - λΨ̇²) - m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̇²] u<sub>1</sub> + [M<sub>D</sub>(2λ̇Ψ̇ + λΨ̈) + m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̈] v<sub>1</sub>`

`R<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI = ( [M<sub>D</sub>(λ̈ - λΨ̇²) - m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̇²] u<sub>1</sub> + [M<sub>D</sub>(2λ̇Ψ̇ + λΨ̈) + m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̈] v<sub>1</sub> ) ∧ (-R w<sub>0</sub>)`.

`R<sub>Σ/R0</sub> ∧ CI = -R [M<sub>D</sub>(λ̈ - λΨ̇²) - m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̇²] v<sub>1</sub> + R [M<sub>D</sub>(2λ̇Ψ̇ + λΨ̈) + m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̈] u<sub>1</sub>`.

Soit, en regroupant les composantes :

`δ<sub>Σ/R0</sub>(I) = [(M<sub>D</sub>R²/2) θ̈ + R (M<sub>D</sub>(2λ̇Ψ̇ + λΨ̈) + m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̈)] u<sub>1</sub>`

` + [-(M<sub>D</sub>R²/2) θ̇Ψ̇ - R (M<sub>D</sub>(λ̈ - λΨ̇²) - m<sub>T</sub>(l/2) Ψ̇²)] v<sub>1</sub>`

` + [(M<sub>D</sub>R²/4) + (m<sub>T</sub>l²/3 - m<sub>T</sub>(l/2)λ)] Ψ̈ w<sub>0</sub> - λ̇ m<sub>T</sub>(l/2)Ψ̇ w<sub>0</sub>`.

FAQ : Théorèmes Énergétiques en Mécanique

Qu'est-ce que le théorème de l'énergie cinétique ?

Le théorème de l'énergie cinétique est un principe fondamental de la dynamique qui énonce que la variation de l'énergie cinétique d'un système est égale à la somme des travaux des forces extérieures et intérieures qui s'appliquent sur ce système. Pour un système en mouvement par rapport à un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique est égale à la puissance totale des forces appliquées.

Comment le moment cinétique est-il défini en mécanique ?

Le moment cinétique, également appelé moment angulaire, mesure la quantité de mouvement de rotation d'un corps autour d'un point ou d'un axe. Pour un point matériel, il est le produit vectoriel du vecteur position et du vecteur quantité de mouvement. Pour un système de points ou un solide, il est la somme des moments cinétiques de toutes ses parties, ou peut être exprimé via le tenseur d'inertie et le vecteur vitesse angulaire.

Quelle est l'importance du théorème d'Huygens dans ces calculs ?

Le théorème d'Huygens (ou théorème de Steiner) est crucial pour calculer le moment d'inertie d'un corps rigide par rapport à un axe quelconque, connaissant son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de masse. Il permet de simplifier les calculs de moments cinétiques et d'énergies cinétiques lorsque le corps ne tourne pas autour de son centre de masse, comme illustré dans l'exercice 1 pour le disque en rotation autour du point O.

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