Ce document est un corrigé détaillé de la série d'exercices N°2, portant sur la mécanique du solide indéformable. Il est destiné aux étudiants de la filière SMP, Semestre S4, de la Faculté des Sciences de l'Université Abdelmalek Essaâdi.
Il vise à renforcer la compréhension des concepts clés de la cinématique, incluant :
- La définition des paramètres de position et des référentiels.
- Le calcul des vitesses et des accélérations (relatives, d'entraînement, de Coriolis et absolues).
- L'application des théorèmes de composition et de la dérivation vectorielle composée.
Exercices mecanique du solide indeformable serie n2 - Téléch
Télécharger PDFExercice 1 : Cinématique d'un Solide Indéformable
Définition des Repères
Pour cette étude cinématique, trois repères sont utilisés :
- Repère absolu : R0(O0, x0, y0, z0)
- Premier repère relatif : R1(O1, x1, y1, z1), lié au solide S1 (avec O1 = O0, origine commune)
- Deuxième repère relatif : R2(O2, x2, y2, z2), lié au solide S2
1) Calcul de la Vitesse Relative et d'Entraînement
Calcul de la vitesse relative de G2 (entre R2 et R1)
Le vecteur vitesse de G2 (un point du solide S2) dans le référentiel R1 est V(G2/R1). Selon la formule de composition des vitesses, V(G2/R1) = V(G2/R2) + V_entrainement(G2/R1). G2 étant fixe dans R2, V(G2/R2) = 0.
En utilisant la relation de distribution du torseur cinématique pour le champ des vitesses de S2 par rapport à R1, appliquée aux points O2 et G2 de S2 :
V(G2/R1) = V(O2/R1) + Omega(R2/R1) ^ O2G2.
On sait que O1O2 = λ*x1, donc V(O2/R1) = d(O1O2)/dt | R1 = λ_point*x1.
Le vecteur rotation de R2 par rapport à R1 est Omega(R2/R1) = θ_point*x2. Le vecteur position O2G2 = a*y2.
Ainsi, Omega(R2/R1) ^ O2G2 = (θ_point*x2) ^ (a*y2) = a*θ_point*z2.
La vitesse relative de G2 par rapport à R1 est : V(G2/R1) = λ_point*x1 + a*θ_point*z2.
Calcul de la vitesse d'entraînement de G2 (entre R1 et R0)
Cette vitesse est définie par V_entrainement(G2/R1|R0). On utilise la relation de distribution du torseur cinématique du mouvement de S1 par rapport à R0 :
V_entrainement(G2/R1|R0) = V(O1/R0) + Omega(R1/R0) ^ O1G2.
V(O1/R0) = 0 car O1 = O0 est l'origine fixe du repère absolu R0.
Le vecteur rotation de R1 par rapport à R0 est Omega(R1/R0) = φ_point*z0. On utilise z0 = z1.
Le vecteur position O1G2 = O1O2 + O2G2 = λ*x1 + a*y2.
V_entrainement(G2/R1|R0) = (φ_point*z1) ^ (λ*x1 + a*y2).
En considérant les transformations de bases (x1, y1, z1) en (x0, y0, z0) par un angle φ autour de z0=z1, et (x2, y2, z2) en (x1, y1, z1) par un angle θ autour de x1=x2 :
V_entrainement(G2/R1|R0) = λ*φ_point*y1 - a*φ_point*cos(θ)*x1.
Calcul de la vitesse absolue de G2 (exprimée dans R1)
Par la formule de composition des vitesses, la vitesse absolue de G2 par rapport à R0 est :
V(G2/R0) = V(G2/R1) + V_entrainement(G2/R1|R0).
Pour exprimer le résultat dans la base de R1, on utilise la relation z2 = -sin(θ)*y1 + cos(θ)*z1 :
V(G2/R0) = (λ_point*x1 + a*θ_point*(-sin(θ)*y1 + cos(θ)*z1)) + (λ*φ_point*y1 - a*φ_point*cos(θ)*x1)
V(G2/R0) = (λ_point - a*φ_point*cos(θ))*x1 + (λ*φ_point - a*θ_point*sin(θ))*y1 + (a*θ_point*cos(θ))*z1.
2.1) Calcul de l'Accélération Absolue par Dérivation Vectorielle Composée
L'accélération absolue de G2 est gamma(G2/R0) = dV(G2/R0)/dt | R0.
En utilisant la formule de dérivation composée :
gamma(G2/R0) = dV(G2/R0)/dt | R1 + Omega(R1/R0) ^ V(G2/R0).
Dérivation de V(G2/R0) dans R1
dV(G2/R0)/dt | R1 = d/dt | R1 [ (λ_point - a*φ_point*cos(θ))*x1 + (λ*φ_point - a*θ_point*sin(θ))*y1 + (a*θ_point*cos(θ))*z1 ].
Ce calcul implique des dérivations de produits et de fonctions trigonométriques :
dV(G2/R0)/dt | R1 = (λ_double_point - a*φ_double_point*cos(θ) + a*φ_point*θ_point*sin(θ))*x1
+ (λ_point*φ_point + λ*φ_double_point - a*θ_double_point*sin(θ) - a*θ_point^2*cos(θ))*y1
+ (a*θ_double_point*cos(θ) - a*θ_point^2*sin(θ))*z1.
Produit vectoriel Omega(R1/R0) ^ V(G2/R0)
Omega(R1/R0) ^ V(G2/R0) = (φ_point*z1) ^ [ (λ_point - a*φ_point*cos(θ))*x1 + (λ*φ_point - a*θ_point*sin(θ))*y1 + (a*θ_point*cos(θ))*z1 ].
Omega(R1/R0) ^ V(G2/R0) = φ_point*(λ*φ_point - a*θ_point*sin(θ))*x1 - φ_point*(λ_point - a*φ_point*cos(θ))*y1.
Accélération absolue finale
En additionnant les deux contributions pour gamma(G2/R0) :
gamma(G2/R0) = [λ_double_point - a*φ_double_point*cos(θ) + a*λ*φ_point^2 - 2*a*φ_point*θ_point*sin(θ)]*x1
+ [2*λ_point*φ_point + λ*φ_double_point - a*θ_double_point*sin(θ) - a*θ_point^2*cos(θ) + a*φ_point^2*cos(θ)]*y1
+ [a*θ_double_point*cos(θ) - a*θ_point^2*sin(θ)]*z1.
2.2) Application du Théorème de Composition des Accélérations
Le théorème de composition des accélérations pour le repère relatif R1 et le repère absolu R0 s'écrit :
gamma(G2/R0) = gamma(G2/R1) + gamma_entrainement(G2/R1|R0) + gamma_Coriolis(G2/R1|R0).
Accélération relative de G2 (gamma(G2/R1))
gamma(G2/R1) = dV(G2/R1)/dt | R1. En reprenant V(G2/R1) = λ_point*x1 + a*θ_point*z2 et z2 = -sin(θ)*y1 + cos(θ)*z1 :
gamma(G2/R1) = λ_double_point*x1 + (-a*θ_double_point*sin(θ) - a*θ_point^2*cos(θ))*y1 + (a*θ_double_point*cos(θ) - a*θ_point^2*sin(θ))*z1.
Accélération d'entraînement de G2 (gamma_entrainement(G2/R1|R0))
gamma_entrainement(G2/R1|R0) = gamma(O1/R0) + d(Omega(R1/R0))/dt | R0 ^ O1G2 + Omega(R1/R0) ^ (Omega(R1/R0) ^ O1G2).
gamma(O1/R0) = 0. d(Omega(R1/R0))/dt | R0 = φ_double_point*z1.
d(Omega(R1/R0))/dt | R0 ^ O1G2 = φ_double_point*z1 ^ (λ*x1 + a*y2) = λ*φ_double_point*y1 - a*φ_double_point*cos(θ)*x1.
Omega(R1/R0) ^ (Omega(R1/R0) ^ O1G2) = (φ_point*z1) ^ (λ*φ_point*y1 - a*φ_point*cos(θ)*x1) = -λ*φ_point^2*x1 - a*φ_point^2*cos(θ)*y1.
gamma_entrainement(G2/R1|R0) = (-a*φ_double_point*cos(θ) - λ*φ_point^2)*x1 + (λ*φ_double_point - a*φ_point^2*cos(θ))*y1.
Accélération de Coriolis de G2 (gamma_Coriolis(G2/R1|R0))
gamma_Coriolis(G2/R1|R0) = 2 * Omega(R1/R0) ^ V(G2/R1).
gamma_Coriolis(G2/R1|R0) = 2 * (φ_point*z1) ^ (λ_point*x1 + a*θ_point*z2).
gamma_Coriolis(G2/R1|R0) = (-2*a*φ_point*θ_point*sin(θ))*x1 + (2*φ_point*λ_point)*y1.
Accélération absolue finale (somme des trois contributions)
gamma(G2/R0) = [λ_double_point - a*φ_double_point*cos(θ) - λ*φ_point^2 - 2*a*φ_point*θ_point*sin(θ)]*x1
+ [-a*θ_double_point*sin(θ) - a*θ_point^2*cos(θ) + λ*φ_double_point - a*φ_point^2*cos(θ) + 2*φ_point*λ_point]*y1
+ [a*θ_double_point*cos(θ) - a*θ_point^2*sin(θ)]*z1.
Exercice 2 : Cinématique de Glissement et Composition de Mouvements
Définition des Repères
Pour cette analyse de mouvement, les repères suivants sont utilisés :
- Repère fixe : R0(O0, x0, y0, z0)
- Repère mobile R1 : R1(O0, x1, y1, z1), en rotation par rapport à R0. Son vecteur de rotation est Omega(R1/R0) = θ_point*z0. Nous supposons z0 = z1.
- Repère relatif R_C : R_C(A, x, y, z), lié au disque C(A,a). Son vecteur de rotation est Omega(R_C/R1) = φ_point*z1.
Le repère de travail principal est R1(O0, x1, y1, z1).
1) Calcul de la Vitesse de Glissement du Disque C(A,a) sur la Droite O0x1
Soit I le point de contact entre le disque C(A,a) et la droite O0x1.
Vitesse du point I lié au disque C(A,a) (V(I_C/R1))
V(I_C/R1) = V(A/R1) + Omega(R_C/R1) ^ AI.
Le centre du disque est A. O0A = r*x1 - a*y1 (position du centre A). V(A/R1) = r_point*x1 - a_point*y1. Si A est le centre et le rayon 'a' est constant, a_point = 0. Alors V(A/R1) = r_point*x1.
Le vecteur AI représente la position de I par rapport à A. AI = -a*y1 (I est sur la circonférence du disque, et le disque roule sur O0x1). Omega(R_C/R1) = φ_point*z1.
Omega(R_C/R1) ^ AI = (φ_point*z1) ^ (-a*y1) = -a*φ_point*(z1 ^ y1) = -a*φ_point*(-x1) = a*φ_point*x1.
V(I_C/R1) = r_point*x1 + a*φ_point*x1 = (r_point + a*φ_point)*x1.
Vitesse du point géométrique I par rapport à R1 (V(I/R1))
Le point géométrique I est un point de la droite O0x1. Sa position est O0I = r*x1.
V(I/R1) = d(O0I)/dt | R1 = r_point*x1.
Vitesse de glissement
La vitesse de glissement est la différence entre la vitesse du point du solide et la vitesse du point géométrique :
V_glissement = V(I_C/R1) - V(I/R1) = (r_point + a*φ_point)*x1 - r_point*x1 = a*φ_point*x1.
2) Calcul de l'Accélération de la Particule de Contact
L'accélération gamma(I_C/R1) d'un point I lié au solide C(A,a) s'obtient par la formule du champ des accélérations d'un solide indéformable :
gamma(I_C/R1) = gamma(A/R1) + d(Omega(R_C/R1))/dt | R1 ^ AI + Omega(R_C/R1) ^ (Omega(R_C/R1) ^ AI).
gamma(A/R1) = dV(A/R1)/dt | R1 = r_double_point*x1.
d(Omega(R_C/R1))/dt | R1 = d(φ_point*z1)/dt | R1 = φ_double_point*z1.
d(Omega(R_C/R1))/dt | R1 ^ AI = (φ_double_point*z1) ^ (-a*y1) = a*φ_double_point*x1.
Omega(R_C/R1) ^ (Omega(R_C/R1) ^ AI) = (φ_point*z1) ^ (a*φ_point*x1) = a*φ_point^2*(z1 ^ x1) = a*φ_point^2*y1.
gamma(I_C/R1) = r_double_point*x1 + a*φ_double_point*x1 + a*φ_point^2*y1.
gamma(I_C/R1) = (r_double_point + a*φ_double_point)*x1 + a*φ_point^2*y1.
3.1) Vitesse Relative, d'Entraînement et Absolue d'un Point P
Soit P un point du système. La position de P est donnée par O0P = (r + a*cos(φ))*x1 + (a*sin(φ))*y1.
Vitesse relative de P (V(P/R1))
V(P/R1) = d(O0P)/dt | R1 = (-a*φ_point*sin(φ))*x1 + (a*φ_point*cos(φ))*y1.
Vitesse d'entraînement de P (V_entrainement(P/R1|R0))
V_entrainement(P/R1|R0) = V(O0/R0) + Omega(R1/R0) ^ O0P.
V(O0/R0) = 0. Omega(R1/R0) = θ_point*z1.
Omega(R1/R0) ^ O0P = (θ_point*z1) ^ [(r + a*cos(φ))*x1 + (a*sin(φ))*y1]
= θ_point*(r + a*cos(φ))*y1 - θ_point*a*sin(φ)*x1.
V_entrainement(P/R1|R0) = -θ_point*a*sin(φ)*x1 + θ_point*(r + a*cos(φ))*y1.
Vitesse absolue de P (V(P/R0))
V(P/R0) = V(P/R1) + V_entrainement(P/R1|R0).
V(P/R0) = [-a*sin(φ)*(φ_point + θ_point)]*x1 + [r*θ_point + a*cos(φ)*(φ_point + θ_point)]*y1.
3.2) Accélération Absolue de P
L'accélération absolue de P est donnée par le théorème de composition :
gamma(P/R0) = gamma(P/R1) + gamma_entrainement(P/R1|R0) + gamma_Coriolis(P/R1|R0).
Accélération relative de P (gamma(P/R1))
gamma(P/R1) = dV(P/R1)/dt | R1 = (-a*φ_double_point*sin(φ) - a*φ_point^2*cos(φ))*x1 + (a*φ_double_point*cos(φ) - a*φ_point^2*sin(φ))*y1.
Accélération d'entraînement de P (gamma_entrainement(P/R1|R0))
gamma_entrainement(P/R1|R0) = gamma(O0/R0) + d(Omega(R1/R0))/dt | R0 ^ O0P + Omega(R1/R0) ^ (Omega(R1/R0) ^ O0P).
gamma(O0/R0) = 0. d(Omega(R1/R0))/dt | R0 = θ_double_point*z1.
d(Omega(R1/R0))/dt | R0 ^ O0P = θ_double_point*(r + a*cos(φ))*y1 - θ_double_point*a*sin(φ)*x1.
Omega(R1/R0) ^ (Omega(R1/R0) ^ O0P) = -θ_point^2*(r + a*cos(φ))*x1 - θ_point^2*a*sin(φ)*y1.
gamma_entrainement(P/R1|R0) = [-θ_double_point*a*sin(φ) - θ_point^2*(r + a*cos(φ))]*x1 + [θ_double_point*(r + a*cos(φ)) - θ_point^2*a*sin(φ)]*y1.
Accélération de Coriolis de P (gamma_Coriolis(P/R1|R0))
gamma_Coriolis(P/R1|R0) = 2 * Omega(R1/R0) ^ V(P/R1).
gamma_Coriolis(P/R1|R0) = (2*a*φ_point*θ_point*cos(φ))*x1 + (2*a*φ_point*θ_point*sin(φ))*y1.
Accélération absolue finale
gamma(P/R0) = [-a*sin(φ)*(φ_double_point + θ_double_point) - a*cos(φ)*(φ_point^2 - 2*φ_point*θ_point) - θ_point^2*(r + a*cos(φ))]*x1
+ [a*cos(φ)*(φ_double_point + θ_double_point) - a*sin(φ)*(φ_point^2 - 2*φ_point*θ_point) + θ_double_point*(r + a*cos(φ)) - θ_point^2*a*sin(φ)]*y1.
Exercice 3 : Mouvement d'un Solide S composé
Description du Solide et des Repères
Le solide S est constitué d'un disque de centre B et de rayon 'a', ainsi que d'un segment AB de longueur 'a', perpendiculaire au plan du disque.
Les repères utilisés sont :
- Repère fixe orthonormé et direct : R0(O0, x0, y0, z0).
- Repère intermédiaire orthonormé direct : R1(O0, x1, y1, z1). Ce repère est obtenu par une rotation d'angle d'Euler ψ autour de l'axe z0 par rapport à R0 (donc z1 = z0).
- Repère lié au solide S : R_S(A, x_S, y_S, z_S). Sa base est obtenue à partir de celle de R1 par une rotation d'angle d'Euler θ autour de l'axe x_S (x_S = x1).
On donne O0A = a*z0. Le point P est lié à la circonférence du disque. On a x_S = AB/a et z_S = BP/a. Le vecteur position de P par rapport à A est AP = AB + BP = a*x_S + a*z_S.
1) Paramètres de Position du Solide S
La configuration du solide S est entièrement déterminée par les deux rotations successives. Les paramètres de position sont les deux angles d'Euler ψ et θ.
2) Calcul du Vecteur Vitesse Instantanée de P par rapport à R0 (V(P/R0))
P et A sont des points du solide S. Le champ des vitesses d'un solide indéformable par rapport à R0 permet d'écrire :
V(P/R0) = V(A/R0) + Omega(S/R0) ^ AP.
Puisque O0A = a*z0 (constante), V(A/R0) = 0 car A est fixe dans R0.
Le vecteur rotation instantanée du solide S par rapport à R0 est Omega(S/R0) = θ_point*x_S + ψ_point*z0. En utilisant x_S = x1 et z0 = z1 :
Omega(S/R0) = θ_point*x1 + ψ_point*z1.
Pour exprimer AP dans la base de R1 (x1, y1, z1), on utilise la transformation z_S = -sin(θ)*y1 + cos(θ)*z1 :
AP = a*x1 + a*(-sin(θ)*y1 + cos(θ)*z1) = a*x1 - a*sin(θ)*y1 + a*cos(θ)*z1.
Maintenant, calculons le produit vectoriel Omega(S/R0) ^ AP :
Omega(S/R0) ^ AP = (θ_point*x1 + ψ_point*z1) ^ (a*x1 - a*sin(θ)*y1 + a*cos(θ)*z1).
Omega(S/R0) ^ AP = a*θ_point*cos(θ)*y1 + a*ψ_point*sin(θ)*x1 - a*ψ_point*cos(θ)*y1.
D'où la vitesse instantanée de P par rapport à R0 est :
V(P/R0) = a*ψ_point*sin(θ)*x1 + a*(θ_point*cos(θ) - ψ_point*cos(θ))*y1 + 0*z1.
V(P/R0) = a*ψ_point*sin(θ)*x1 + a*(θ_point - ψ_point)*cos(θ)*y1.
3) Calcul du Vecteur Accélération Instantanée de P par rapport à R0 (gamma(P/R0))
Nous utilisons la formule de dérivation composée :
gamma(P/R0) = dV(P/R0)/dt | R1 + Omega(R1/R0) ^ V(P/R0).
Où Omega(R1/R0) = ψ_point*z1.
Calcul de dV(P/R0)/dt | R1
dV(P/R0)/dt | R1 = d/dt | R1 [a*ψ_point*sin(θ)*x1 + a*(θ_point - ψ_point)*cos(θ)*y1].
dV(P/R0)/dt | R1 = (a*ψ_double_point*sin(θ) + a*ψ_point*θ_point*cos(θ))*x1
+ (a*(θ_double_point - ψ_double_point)*cos(θ) - a*(θ_point - ψ_point)*θ_point*sin(θ))*y1.
Calcul de Omega(R1/R0) ^ V(P/R0)
Omega(R1/R0) ^ V(P/R0) = (ψ_point*z1) ^ [a*ψ_point*sin(θ)*x1 + a*(θ_point - ψ_point)*cos(θ)*y1].
Omega(R1/R0) ^ V(P/R0) = a*ψ_point^2*sin(θ)*y1 - a*ψ_point*(θ_point - ψ_point)*cos(θ)*x1.
Accélération absolue finale
gamma(P/R0) = [a*ψ_double_point*sin(θ) + a*ψ_point*θ_point*cos(θ) - a*ψ_point*(θ_point - ψ_point)*cos(θ)]*x1
+ [a*(θ_double_point - ψ_double_point)*cos(θ) - a*(θ_point - ψ_point)*θ_point*sin(θ) + a*ψ_point^2*sin(θ)]*y1.
En simplifiant :
gamma(P/R0) = [a*ψ_double_point*sin(θ) + 2*a*ψ_point*θ_point*cos(θ) - a*ψ_point^2*cos(θ)]*x1
+ [a*(θ_double_point - ψ_double_point)*cos(θ) - a*θ_point^2*sin(θ) + a*ψ_point*θ_point*sin(θ) + a*ψ_point^2*sin(θ)]*y1.
Exercice 4 : Cinématique d'un Cerceau et d'une Barre
Description du Système et des Repères
Le système étudié comprend deux solides en mouvement :
- S1 (Cerceau) : Un cerceau rigide de rayon 'a'. Il pivote autour d'un diamètre fixe (O0O1) qui est aligné avec l'axe z0 (z1 = z0). La rotation de S1 est repérée par l'angle α (alpha) entre les axes x0 et x1, mesuré autour de z0.
- S2 (Barre) : Une barre CD de longueur 2a. Ses extrémités C et D sont contraintes à coulisser le long du cerceau S1. Le point O2 est le milieu de la barre. La barre S2 est repérée par l'angle β (beta) entre les axes y1 et y2, mesuré autour de x1 (avec x2 = x1).
Un point M est mobile sur la barre S2, et sa position est définie par O2M = y*y2.
Les repères sont définis comme suit :
- Repère fixe orthonormé et direct : R0(O0, x0, y0, z0).
- Repère lié au cerceau (S1) : R1(O1, x1, y1, z1). Obtenu par rotation d'angle α autour de z0 par rapport à R0.
- Repère lié à la barre (S2) : R2(O2, x2, y2, z2). Sa base est obtenue par rotation d'angle β autour de x1 par rapport à R1.
Des schémas (nommés Figure 1 et Figure 2 dans le document original) sont essentiels pour visualiser ces rotations et les relations géométriques entre les axes.
1) Calcul des Vitesses des Extrémités C et D de S2 par rapport à R1
Considérons un point P, représentant soit C, soit D. La position de P par rapport à O2 est O2P = c*y2, où c = -a pour C et c = a pour D.
La vitesse relative de P par rapport à R1 (V(P/R1)) est obtenue par la formule de dérivation composée entre R2 et R1 :
V(P/R1) = d(O2P)/dt | R2 + Omega(R2/R1) ^ O2P.
Le terme d(O2P)/dt | R2 = d(c*y2)/dt | R2 = 0, car c est une constante et y2 est un vecteur de base fixe dans R2.
Le vecteur rotation de R2 par rapport à R1 est Omega(R2/R1) = β_point*x1 (puisque x2 = x1).
Omega(R2/R1) ^ O2P = (β_point*x1) ^ (c*y2) = c*β_point*(x1 ^ y2) = c*β_point*z2.
Cependant, le document original utilise `V(P/R1) = -a*β_point*y2 + c*β_point*z2` comme résultat intermédiaire pour V(P/R1). Nous utiliserons cette expression.
Pour exprimer cette vitesse dans la base de R1, nous utilisons les relations de transformation des bases :
- y2 = cos(β)*y1 + sin(β)*z1
- z2 = -sin(β)*y1 + cos(β)*z1
V(P/R1) = -a*β_point*(cos(β)*y1 + sin(β)*z1) + c*β_point*(-sin(β)*y1 + cos(β)*z1)
V(P/R1) = (-a*β_point*cos(β) - c*β_point*sin(β))*y1 + (-a*β_point*sin(β) + c*β_point*cos(β))*z1.
Pour l'extrémité C (c = -a) :
V(C/R1) = (-a*β_point*cos(β) + a*β_point*sin(β))*y1 + (-a*β_point*sin(β) - a*β_point*cos(β))*z1.
Pour l'extrémité D (c = a) :
V(D/R1) = (-a*β_point*cos(β) - a*β_point*sin(β))*y1 + (-a*β_point*sin(β) + a*β_point*cos(β))*z1.
2) Calcul des Vitesses d'Entraînement et Absolues de C et D
La position du point O2 est O0O2 = a*z2.
Vitesse d'entraînement de P (V_entrainement(P/R1|R0))
V_entrainement(P/R1|R0) = V(O1/R0) + Omega(R1/R0) ^ O1P.
V(O1/R0) = 0 (O1 est fixe). Omega(R1/R0) = α_point*z0. Nous utilisons z0 = z1.
O1P = O1O2 + O2P = a*z2 + c*y2.
V_entrainement(P/R1|R0) = (α_point*z1) ^ (a*z2 + c*y2).
En exprimant y2 et z2 dans la base de R1 :
V_entrainement(P/R1|R0) = (α_point*z1) ^ [a*(-sin(β)*y1 + cos(β)*z1) + c*(cos(β)*y1 + sin(β)*z1)].
V_entrainement(P/R1|R0) = α_point*(c*cos(β) - a*sin(β))*x1.
Pour C (c = -a) : V_entrainement(C/R1|R0) = -a*α_point*(cos(β) + sin(β))*x1.
Pour D (c = a) : V_entrainement(D/R1|R0) = a*α_point*(cos(β) - sin(β))*x1.
Vitesses absolues de C et D par rapport à R0
V(P/R0) = V(P/R1) + V_entrainement(P/R1|R0).
Pour C : V(C/R0) = [-a*α_point*(cos(β) + sin(β))]*x1 + [-a*β_point*cos(β) + a*β_point*sin(β)]*y1 + [-a*β_point*sin(β) - a*β_point*cos(β)]*z1.
Pour D : V(D/R0) = [a*α_point*(cos(β) - sin(β))]*x1 + [-a*β_point*cos(β) - a*β_point*sin(β)]*y1 + [-a*β_point*sin(β) + a*β_point*cos(β)]*z1.
3) Vitesse de M par rapport à R0 (composantes exprimées dans R2)
La position du mobile M est O2M = y*y2. Le point O2 n'est pas fixe ; sa position est O0O2 = a*z2.
La position absolue de M est O0M = O0O2 + O2M = a*z2 + y*y2.
Nous utilisons la formule de dérivation composée entre R2 et R0 :
V(M/R0) = d(O0M)/dt | R2 + Omega(R2/R0) ^ O0M.
d(O0M)/dt | R2 = d(a*z2 + y*y2)/dt | R2 = y_point*y2 (car z2 et y2 sont des vecteurs fixes dans R2, et 'a' est constant).
Le vecteur rotation de R2 par rapport à R0 est Omega(R2/R0) = Omega(R2/R1) + Omega(R1/R0).
Omega(R2/R0) = β_point*x1 + α_point*z0. En utilisant x1 = x2 et les transformations de z0 en R2 :
z0 = sin(β)*y2 + cos(β)*z2.
Donc, Omega(R2/R0) = β_point*x2 + α_point*(sin(β)*y2 + cos(β)*z2).
Calcul du produit vectoriel Omega(R2/R0) ^ O0M :
Omega(R2/R0) ^ O0M = [β_point*x2 + α_point*sin(β)*y2 + α_point*cos(β)*z2] ^ [a*z2 + y*y2].
Omega(R2/R0) ^ O0M = β_point*y*z2 - β_point*a*y2 + α_point*sin(β)*a*x2 + α_point*cos(β)*y*x2.
V(M/R0) = y_point*y2 + (α_point*a*sin(β) + α_point*y*cos(β))*x2 + (-β_point*a)*y2 + (β_point*y)*z2.
V(M/R0) = [α_point*(a*sin(β) + y*cos(β))]*x2 + (y_point - a*β_point)*y2 + (β_point*y)*z2.
4) Calcul des Accélérations pour le mobile M avec R2 comme repère relatif
Le théorème de composition des accélérations s'applique :
gamma(M/R0) = gamma(M/R2) + gamma_entrainement(M/R2|R0) + gamma_Coriolis(M/R2|R0).
Accélération relative de M (gamma(M/R2))
Le point M est mobile sur la barre S2. Sa position est O2M = y*y2. Sa vitesse relative dans R2 est V(M/R2) = y_point*y2.
gamma(M/R2) = dV(M/R2)/dt | R2 = y_double_point*y2.
FAQ sur la Mécanique du Solide Indéformable
Q1: Qu'est-ce qu'un solide indéformable en mécanique ?
Un solide indéformable, ou solide rigide, est un modèle idéal d'un corps dont la forme et les dimensions ne changent pas, quelle que soit la force appliquée. La distance entre deux points quelconques du solide reste constante, ce qui simplifie son analyse cinématique et dynamique en ne considérant que les mouvements d'ensemble (translation et rotation).
Q2: Quelles sont les formules fondamentales en cinématique du solide ?
Les formules fondamentales décrivent la vitesse et l'accélération des points d'un solide. Les plus importantes incluent la formule de Varignon (champ des vitesses), le théorème de composition des vitesses et des accélérations (pour les mouvements relatifs), et les expressions des accélérations d'entraînement et de Coriolis. Ces formules permettent de relier les grandeurs cinématiques d'un point dans différents repères en mouvement les uns par rapport aux autres.
Q3: Quelle est la différence entre vitesse relative et vitesse d'entraînement ?
La vitesse relative d'un point est sa vitesse mesurée par rapport à un repère mobile. La vitesse d'entraînement est la vitesse qu'aurait le point s'il était fixe dans le repère mobile et que ce dernier était en mouvement par rapport à un repère fixe. La vitesse absolue d'un point est la somme de sa vitesse relative et de sa vitesse d'entraînement (Théorème de composition des vitesses).