Exercices mecanique du solide indeformable - Télécharger pdf
Télécharger PDFMécanique du solide indéformable - Série d'exercices N°3
Cette série d'exercices aborde des concepts fondamentaux de la mécanique du solide indéformable, incluant le calcul des centres d'inertie et des matrices d'inertie pour diverses géométries. Les solides sont considérés homogènes, avec des densités surfaciques, volumiques ou linéiques spécifiques.
Exercice 1
Déterminer, dans le repère (O0, x0, y0, z0), en fonction de R1, R2 et de la masse m, les coordonnées Gx, Gy et Gz du centre d'inertie G d'un demi-disque creux (D1/2) de centre O0, de rayon interne R1, de rayon externe R2 et de densité surfacique sigma.
Exercice 2
1. Déterminer, en fonction de R et de la masse m, dans le repère (O0, x0, y0, z0), les coordonnées Gx, Gy, Gz du centre d'inertie G d'une demi-sphère creuse homogène (S1/2) de centre O0, de rayon R, et de densité surfacique sigma.
2. Reprendre la même question pour une demi-sphère pleine (S1/2) de masse volumique rho.
3. Déterminer, dans la base (x0, y0, z0), les matrices d'inertie en O0 et en son centre de masse G, en fonction de la masse m et du rayon R d'une demi-sphère creuse.
Exercice 3
Calculer, dans le repère (O0, x0, y0, z0), les coordonnées Gx, Gy et Gz du centre d'inertie G d'une plaque triangulaire homogène (T O0AB) plane, rectangle en O0 et de masse m. On posera O0A = a * x0 et O0B = b * y0.
Exercice 4
Calculer le moment d'inertie I_T/A par rapport au point A d'une tige T rectiligne, homogène, de masse m, de longueur L, de densité linéique lambda et de centre de masse G. Le point A est supposé à la distance 'a' de l'une des extrémités de la tige. Retrouver les différents cas, suivant que A est à l'extrémité de la tige ou coïncide avec son centre de masse.
Exercice 5
1. Déterminer, dans le repère (O0, x0, y0, z0), les coordonnées Gx, Gy, Gz du centre d'inertie G d'un cône creux, homogène, de densité surfacique sigma, de masse totale m, de hauteur H et de rayon de la base R.
2. Reprendre la même question pour un cône plein de masse volumique rho.
Exercice 6
Déterminer, dans la base (x0, y0, z0) attachée au repère de référence (O0, B0), la matrice d'inertie en O0 (où O0 coïncide avec le centre de masse G pour certains cas), en fonction de la masse m et des différentes données de chacun des solides supposés homogènes suivants :
1. Tige rectiligne de section négligeable T.
2. Cerceau C(O0, R).
3. Disque D(O0, R).
4. Cylindre plein de révolution C : x^2 + y^2 = R^2 et -h <= z <= h.
5. Parallélépipède droit plein P : -a <= x <= a ; -b <= y <= b ; -c <= z <= c.
6. Plaque rectangulaire d'épaisseur négligeable P.
Exercice 7
1. Calculer la position du centre d'inertie G de la plaque de côtés 'a' et 'h' (se référer à une figure), évidée sur le côté 'h' (au centre de celui-ci) d'un demi-cercle de rayon R.
2. Calculer pour ce solide les moments d'inertie autour de l'axe Ox, puis autour de Oy. On supposera négligeable l'épaisseur de la plaque devant ses autres dimensions.
Note : Pour cet exercice, il est avantageux d'utiliser le principe de superposition, avec une masse surfacique +sigma pour la plaque, superposée avec une masse surfacique -sigma pour le trou.
Corrigé de la série d'exercices N°3
Exercice 1
Le demi-disque creux (D1/2) est contenu dans le plan (O0, x0, y0), donc Gz = 0.
Le demi-disque creux (D1/2) est symétrique par rapport à l'axe O0y0, donc Gx = 0 et G appartient à cet axe.
Calculons Gy. Puisque le demi-disque est homogène, de densité surfacique sigma :
Gy = (intégrale double de y dm sur D1/2) / (intégrale double de dm sur D1/2).
On a dm = sigma dS. Vue la symétrie polaire du demi-disque, le choix des coordonnées polaires est plus commode, d'où dS = r dr d(theta).
L'intégrale de masse m s'écrit : m = intégrale double de dm = intégrale double de sigma r dr d(theta).
Puisque les domaines d'intégration par rapport aux variables r (de R1 à R2) et theta (de 0 à pi) sont indépendants, l'intégrale de surface est égale au produit de deux intégrales simples :
m = sigma * (intégrale de r dr de R1 à R2) * (intégrale de d(theta) de 0 à pi).
Soit m = sigma * [r^2 / 2] de R1 à R2 * [theta] de 0 à pi = sigma * (R2^2 - R1^2) / 2 * pi.
Donc m = pi * sigma * (R2^2 - R1^2) / 2.
En remarquant que y = r sin(theta), l'intégrale au numérateur dans l'expression de Gy s'écrit :
Intégrale double de y dm = intégrale double de sigma * r sin(theta) * r dr d(theta) = sigma * intégrale double de r^2 sin(theta) dr d(theta).
D'où : sigma * (intégrale de r^2 dr de R1 à R2) * (intégrale de sin(theta) d(theta) de 0 à pi).
Ceci donne : sigma * [r^3 / 3] de R1 à R2 * [-cos(theta)] de 0 à pi.
Soit sigma * (R2^3 - R1^3) / 3 * (-cos(pi) - (-cos(0))) = sigma * (R2^3 - R1^3) / 3 * (1 - (-1)) = sigma * (R2^3 - R1^3) / 3 * 2.
Donc intégrale double de y dm = 2 * sigma * (R2^3 - R1^3) / 3.
Finalement, Gy = (2 * sigma * (R2^3 - R1^3) / 3) / (pi * sigma * (R2^2 - R1^2) / 2).
Gy = (4 * (R2^3 - R1^3)) / (3 * pi * (R2^2 - R1^2)).
En utilisant la formule (a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) et (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) :
Gy = (4 * (R2^2 + R1 R2 + R1^2)) / (3 * pi * (R2 + R1)).
Exercice 2
1) La demi-sphère creuse (S1/2) est symétrique par rapport aux plans (O0, y0, z0) et (O0, x0, z0). Par conséquent, le centre d'inertie G appartient à leur intersection, qui est l'axe O0z0. D'où Gx = 0 et Gy = 0.
Calculons Gz. La demi-sphère creuse est homogène, donc dm = sigma dS.
Gz = (intégrale double de z dm sur S1/2) / (intégrale double de dm sur S1/2).
La géométrie étant sphérique, il est préférable de travailler avec les coordonnées sphériques. Du fait que r = R, il vient alors dS = R^2 sin(phi) d(phi) d(theta).
L'intégrale de masse m s'écrit : m = intégrale double de sigma R^2 sin(phi) d(phi) d(theta) sur S1/2.
Les domaines d'intégration par rapport aux variables theta (de 0 à 2pi) et phi (de 0 à pi/2 pour une demi-sphère) sont indépendants, d'où :
m = sigma * R^2 * (intégrale de sin(phi) d(phi) de 0 à pi/2) * (intégrale de d(theta) de 0 à 2pi).
m = sigma * R^2 * [-cos(phi)] de 0 à pi/2 * [theta] de 0 à 2pi.
m = sigma * R^2 * (0 - (-1)) * (2pi - 0) = sigma * R^2 * 1 * 2pi = 2 * pi * sigma * R^2.
Pour le calcul de l'intégrale au numérateur de Gz, on utilise z = R cos(phi). D'où :
Intégrale double de z dm = intégrale double de sigma * R cos(phi) * R^2 sin(phi) d(phi) d(theta).
= sigma * R^3 * (intégrale de cos(phi)sin(phi) d(phi) de 0 à pi/2) * (intégrale de d(theta) de 0 à 2pi).
On sait que cos(phi)sin(phi) = (1/2) sin(2phi).
Intégrale de cos(phi)sin(phi) d(phi) = intégrale de (1/2) sin(2phi) d(phi) = (1/2) * [-1/2 cos(2phi)] = -1/4 cos(2phi).
Évalué de 0 à pi/2 : -1/4 (cos(pi) - cos(0)) = -1/4 (-1 - 1) = -1/4 (-2) = 1/2.
Donc, intégrale double de z dm = sigma * R^3 * (1/2) * (2pi) = pi * sigma * R^3.
Finalement, Gz = (pi * sigma * R^3) / (2 * pi * sigma * R^2) = R / 2.
2) Par raison de symétrie, on a Gx = 0 et Gy = 0.
Calculons Gz. La demi-sphère pleine est homogène, d'où dm = rho dV, où rho est la densité volumique.
Gz = (intégrale triple de z dm sur S1/2) / (intégrale triple de dm sur S1/2).
L'expression de l'élément de volume en coordonnées sphériques est : dV = r^2 sin(phi) dr d(theta) d(phi).
Les domaines d'intégration sont : r de 0 à R, theta de 0 à 2pi, et phi de 0 à pi/2. Ils sont indépendants.
L'intégrale de masse m s'écrit :
m = intégrale triple de rho r^2 sin(phi) dr d(theta) d(phi).
m = rho * (intégrale de r^2 dr de 0 à R) * (intégrale de sin(phi) d(phi) de 0 à pi/2) * (intégrale de d(theta) de 0 à 2pi).
m = rho * [r^3 / 3] de 0 à R * [-cos(phi)] de 0 à pi/2 * [theta] de 0 à 2pi.
m = rho * (R^3 / 3) * (0 - (-1)) * (2pi - 0) = rho * (R^3 / 3) * 1 * 2pi = (2/3) * pi * rho * R^3.
Avec z = r cos(phi), l'intégrale au numérateur de Gz devient :
Intégrale triple de z dm = intégrale triple de rho * r cos(phi) * r^2 sin(phi) dr d(theta) d(phi).
= rho * (intégrale de r^3 dr de 0 à R) * (intégrale de cos(phi)sin(phi) d(phi) de 0 à pi/2) * (intégrale de d(theta) de 0 à 2pi).
= rho * [r^4 / 4] de 0 à R * (1/2) * (2pi).
= rho * (R^4 / 4) * (1/2) * 2pi = (1/4) * pi * rho * R^4.
D'où Gz = ((1/4) * pi * rho * R^4) / ((2/3) * pi * rho * R^3) = (1/4) / (2/3) * R = (1/4) * (3/2) * R = (3/8) * R.
3) a) Par raison de symétrie, la matrice d'inertie de la demi-sphère creuse en O0 dans la base (x0, y0, z0) est de la forme diagonale, avec les termes A, A, C.
J(S1/2, O0) est une matrice 3x3 :
| A 0 0 |
| 0 A 0 |
| 0 0 C |
Calcul du terme A :
A = intégrale double de (y^2 + z^2) dm sur S1/2.
A = intégrale double de (y^2 + z^2) sigma dS.
Avec y = R sin(phi) sin(theta) et z = R cos(phi) et dS = R^2 sin(phi) d(phi) d(theta), on a :
y^2 + z^2 = R^2 sin^2(phi) sin^2(theta) + R^2 cos^2(phi).
A = sigma * intégrale double de (R^2 sin^2(phi) sin^2(theta) + R^2 cos^2(phi)) * R^2 sin(phi) d(phi) d(theta).
A = sigma * R^4 * intégrale double de (sin^3(phi) sin^2(theta) + cos^2(phi) sin(phi)) d(phi) d(theta).
Les domaines d'intégration de theta (0 à 2pi) et phi (0 à pi/2) sont indépendants.
intégrale (de 0 à 2pi) de sin^2(theta) d(theta) = pi.
intégrale (de 0 à pi/2) de cos^2(phi) sin(phi) d(phi) = 1/3.
intégrale (de 0 à pi/2) de sin^3(phi) d(phi) = 2/3.
Donc A = sigma * R^4 * [ (2/3) * pi + (1/3) * 2pi ] = sigma * R^4 * (4pi/3).
En utilisant m = 2 * pi * sigma * R^2, on a sigma = m / (2 * pi * R^2).
A = (m / (2 * pi * R^2)) * R^4 * (4pi/3) = (2/3) m R^2.
Calcul de C :
C = intégrale double de (x^2 + y^2) dm sur S1/2.
C = intégrale double de (x^2 + y^2) sigma dS.
Avec x = R sin(phi) cos(theta) et y = R sin(phi) sin(theta), on a x^2 + y^2 = R^2 sin^2(phi).
C = sigma * R^4 * intégrale double de sin^3(phi) d(phi) d(theta).
= sigma * R^4 * (intégrale de sin^3(phi) d(phi) de 0 à pi/2) * (intégrale de d(theta) de 0 à 2pi).
= sigma * R^4 * (2/3) * (2pi) = sigma * R^4 * (4pi/3).
Comme A = C, on retrouve le même résultat : C = (2/3) m R^2.
La matrice d'inertie J(S1/2, O0) est donc :
| (2/3)mR^2 0 0 |
| 0 (2/3)mR^2 0 |
| 0 0 (2/3)mR^2 |
b) La matrice d'inertie de S1/2 par rapport à G s'obtient par application du théorème de Huyghens :
J(S1/2, G) = J(S1/2, O0) - J(G, O0).
Où J(G, O0) est la matrice d'inertie d'une masse ponctuelle m située en G par rapport à O0. Cette matrice est donnée par :
| m(Gy^2 + Gz^2) -m Gx Gy -m Gx Gz |
| -m Gx Gy m(Gx^2 + Gz^2) -m Gy Gz |
| -m Gx Gz -m Gy Gz m(Gx^2 + Gy^2) |
D'après la question 1 de l'exercice 2, pour la demi-sphère creuse, Gx = 0, Gy = 0 et Gz = R/2.
Donc J(G, O0) devient :
| m(0 + (R/2)^2) 0 0 |
| 0 m(0 + (R/2)^2) 0 |
| 0 0 m(0 + 0) |
Ce qui simplifie en :
| mR^2/4 0 0 |
| 0 mR^2/4 0 |
| 0 0 0 |
J(S1/2, G) = J(S1/2, O0) - J(G, O0), soit :
| (2/3)mR^2 - mR^2/4 0 0 |
| 0 (2/3)mR^2 - mR^2/4 0 |
| 0 0 (2/3)mR^2 - 0 |
En calculant (2/3 - 1/4) = (8-3)/12 = 5/12, on obtient :
| (5/12)mR^2 0 0 |
| 0 (5/12)mR^2 0 |
| 0 0 (2/3)mR^2 |
Exercice 3
La plaque triangulaire est contenue dans le plan (O0, x0, y0), d'où Gz = 0.
Calculons la masse m. La plaque est homogène, donc dm = sigma dS. En coordonnées cartésiennes, dS = dx dy. Ainsi, m = intégrale double de sigma dx dy sur la plaque T.
Les domaines des variables x et y ne sont pas indépendants car l'hypoténuse du triangle T est une droite dont l'équation fait intervenir ces deux variables.
Pour calculer l'intégrale double de dx dy, il suffit de fixer l'une des deux variables et d'intégrer par rapport à l'autre. Fixons la variable x. Pour un x fixé, le domaine d'intégration de y est l'intervalle [0, y_max].
D'après la géométrie du triangle rectangle en O0, avec sommets (0,0), (a,0), (0,b), l'équation de l'hypoténuse est y = b - (b/a)x. Donc y_max = b * (1 - x/a).
L'intégrale double de dx dy s'écrit alors :
Intégrale (de 0 à a) de [ Intégrale (de 0 à b(1-x/a)) de dy ] dx.
= Intégrale (de 0 à a) de [y] de 0 à b(1-x/a) dx = Intégrale (de 0 à a) de b(1-x/a) dx.
= b * [x - x^2/(2a)] de 0 à a = b * (a - a^2/(2a)) = b * (a - a/2) = ab/2.
Donc, m = sigma * ab / 2.
Calculons Gx : Gx = (intégrale double de x dm sur T) / m.
Intégrale double de x dm = intégrale double de sigma x dx dy = sigma * Intégrale (de 0 à a) de [ Intégrale (de 0 à b(1-x/a)) de x dy ] dx.
= sigma * Intégrale (de 0 à a) de [x * y] de 0 à b(1-x/a) dx.
= sigma * Intégrale (de 0 à a) de x * b(1-x/a) dx = sigma * b * Intégrale (de 0 à a) de (x - x^2/a) dx.
= sigma * b * [x^2/2 - x^3/(3a)] de 0 à a = sigma * b * (a^2/2 - a^3/(3a)) = sigma * b * (a^2/2 - a^2/3) = sigma * b * (a^2/6).
Donc, Gx = (sigma * b * a^2 / 6) / (sigma * ab / 2) = (b * a^2 / 6) * (2 / (ab)) = a / 3.
Sans faire de calcul, l'expression de Gy peut être déduite de celle de Gx en faisant jouer aux variables x et y d'une part, et a et b d'autre part, des rôles symétriques.
D'où Gy = b / 3.
Exercice 4
La tige est homogène de densité linéique lambda, d'où dm = lambda dx.
Le moment d'inertie I_T/A par rapport au point A est défini par l'intégrale de (distance au point A)^2 dm. Si A est à une distance 'a' d'une extrémité, et la tige a une longueur L, l'intégrale s'étend sur la longueur L.
Prenons un axe x le long de la tige. Si A est à l'origine, et la tige s'étend de x=-a à x=L-a, alors I_T/A = intégrale (de -a à L-a) de x^2 dm = intégrale (de -a à L-a) de lambda x^2 dx.
I_T/A = lambda * [x^3 / 3] de -a à L-a = lambda/3 * ((L-a)^3 + a^3).
En utilisant m = lambda * L, on a lambda = m/L.
I_T/A = (m / (3L)) * ((L-a)^3 + a^3).
Développons (L-a)^3 + a^3 = L^3 - 3L^2a + 3La^2 - a^3 + a^3 = L^3 - 3L^2a + 3La^2.
I_T/A = (m / (3L)) * (L^3 - 3L^2a + 3La^2) = m/3 * (L^2 - 3La + 3a^2).
Cas particuliers :
1. A est le centre de masse G : Pour une tige homogène, G est au milieu, donc a = L/2.
I_T/G = m/3 * (L^2 - 3L(L/2) + 3(L/2)^2) = m/3 * (L^2 - 3L^2/2 + 3L^2/4).
I_T/G = m/3 * (4L^2/4 - 6L^2/4 + 3L^2/4) = m/3 * (L^2/4) = mL^2/12.
2. A est à une extrémité (par exemple, a = 0) :
I_T/A(a=0) = m/3 * (L^2 - 0 + 0) = mL^2/3.
3. A est à l'autre extrémité (a = L) :
I_T/A(a=L) = m/3 * (L^2 - 3L(L) + 3(L)^2) = m/3 * (L^2 - 3L^2 + 3L^2) = mL^2/3.
Nous constatons que le moment d'inertie par rapport à G (centre d'inertie) est minimal et que les deux moments par rapport aux deux extrémités sont égaux, en raison de la symétrie de la tige.
Exercice 5
1) Le cône étant un solide de révolution, son centre d'inertie appartient nécessairement à l'axe de symétrie (l'axe z0). D'où Gx = 0 et Gy = 0.
Calculons Gz. Le cône est homogène, donc dm = sigma dS.
Gz = (intégrale double de z dm sur le cône C) / (intégrale double de dm sur C).
L'expression de l'élément de surface de révolution dS s'obtient sous la forme : dS = 2 * pi * r ds. En se référant à une coupe méridienne du cône, on a par Pythagore : ds = sqrt(dr^2 + dz^2).
Le rayon r varie linéairement avec la hauteur z. Si l'apex est à z=0 et la base à z=H, le rayon pour une hauteur z est r = Rz/H. Si on intègre par rapport à r, alors z = H r / R. Donc dz = H/R dr. Alors ds = sqrt(dr^2 + (H/R)^2 dr^2) = dr * sqrt(1 + H^2/R^2) = dr/R * sqrt(R^2 + H^2).
Alors dS = 2 * pi * r * (sqrt(R^2 + H^2) / R) dr.
L'intégrale de masse m s'écrit : m = intégrale (de 0 à R) de sigma * 2 * pi * r * (sqrt(R^2 + H^2) / R) dr.
m = (2 * pi * sigma * sqrt(R^2 + H^2) / R) * intégrale (de 0 à R) de r dr.
m = (2 * pi * sigma * sqrt(R^2 + H^2) / R) * [r^2 / 2] de 0 à R = (2 * pi * sigma * sqrt(R^2 + H^2) / R) * (R^2 / 2).
m = pi * sigma * R * sqrt(R^2 + H^2).
Pour le calcul du numérateur de Gz, z est lié à r par z = H r / R. Donc :
Intégrale double de z dm = intégrale (de 0 à R) de (H r / R) * sigma * 2 * pi * r * (sqrt(R^2 + H^2) / R) dr.
= (2 * pi * sigma * H * sqrt(R^2 + H^2) / R^2) * intégrale (de 0 à R) de r^2 dr.
= (2 * pi * sigma * H * sqrt(R^2 + H^2) / R^2) * [r^3 / 3] de 0 à R.
= (2 * pi * sigma * H * sqrt(R^2 + H^2) / R^2) * (R^3 / 3).
= (2/3) * pi * sigma * H * R * sqrt(R^2 + H^2).
Finalement, Gz = ((2/3) * pi * sigma * H * R * sqrt(R^2 + H^2)) / (pi * sigma * R * sqrt(R^2 + H^2)).
Gz = (2/3) H.
2) Le centre d'inertie appartient nécessairement à l'axe de symétrie (O0z0), d'où Gx = 0 et Gy = 0.
Calculons Gz. Le cône plein est homogène, donc dm = rho dV, où rho est la masse volumique.
Gz = (intégrale triple de z dm sur C) / (intégrale triple de dm sur C).
L'expression de l'élément de volume en coordonnées cylindriques est : dV = r dr d(theta) dz.
Le domaine de la variable theta (de 0 à 2pi) est indépendant.
Assumons l'apex en O0 (z=0) et la base à z=H. Le rayon r pour une hauteur z donnée est r_max = Rz/H.
m = intégrale (de 0 à H) de [ Intégrale (de 0 à 2pi) de [ Intégrale (de 0 à Rz/H) de rho r dr ] d(theta) ] dz.
m = rho * intégrale (de 0 à H) de [ (2pi) * ( (Rz/H)^2 / 2 ) ] dz.
m = rho * pi * (R^2 / H^2) * intégrale (de 0 à H) de z^2 dz.
m = rho * pi * (R^2 / H^2) * [z^3 / 3] de 0 à H = rho * pi * (R^2 / H^2) * (H^3 / 3) = (1/3) * pi * rho * R^2 * H.
Pour le numérateur de Gz :
Intégrale triple de z dm = intégrale (de 0 à H) de [ Intégrale (de 0 à 2pi) de [ Intégrale (de 0 à Rz/H) de z * rho r dr ] d(theta) ] dz.
= rho * intégrale (de 0 à H) de z * [ (2pi) * ( (Rz/H)^2 / 2 ) ] dz.
= rho * pi * (R^2 / H^2) * intégrale (de 0 à H) de z^3 dz.
= rho * pi * (R^2 / H^2) * [z^4 / 4] de 0 à H = rho * pi * (R^2 / H^2) * (H^4 / 4) = (1/4) * pi * rho * R^2 * H^2.
D'où Gz = ((1/4) * pi * rho * R^2 * H^2) / ((1/3) * pi * rho * R^2 * H) = (3/4) H.
Exercice 6
1. Tige rectiligne de section négligeable :
La symétrie et le fait que les dimensions transversales sont négligeables permettent d'écrire la matrice d'inertie de la tige en O0 (où O0 est le centre de masse G) dans la base (x0, y0, z0) sous la forme diagonale.
On place la tige le long de l'axe x0, de -L/2 à L/2. Alors O0 = G.
J(T, G) est une matrice 3x3 :
| 0 0 0 |
| 0 mL^2/12 0 |
| 0 0 mL^2/12 |
2. Cerceau :
Les propriétés de symétrie du cerceau (centré en O0) montrent que le repère (x0, y0, z0) est un repère central d'inertie. Par ailleurs, les moments d'inertie par rapport aux axes O0x0 et O0y0 sont identiques. Le cerceau est dans le plan x0y0.
J(C, O0) est une matrice 3x3 :
| (1/2)mR^2 0 0 |
| 0 (1/2)mR^2 0 |
| 0 0 mR^2 |
3. Disque :
Les propriétés de symétrie du disque (centré en O0) font que le repère (x0, y0, z0) est un repère central d'inertie, pour lequel la matrice d'inertie est diagonale. De plus, les moments d'inertie par rapport aux axes O0x0 et O0y0 sont égaux. Le disque est dans le plan x0y0.
J(D, O0) est une matrice 3x3 :
| (1/4)mR^2 0 0 |
| 0 (1/4)mR^2 0 |
| 0 0 (1/2)mR^2 |
4. Cylindre plein de révolution :
La symétrie de révolution (axe z0) montre que le repère (x0, y0, z0) est central d'inertie (si O0 est le centre du cylindre). De plus, les moments d'inertie par rapport aux axes O0x0 et O0y0 sont égaux.
Le cylindre est centré en O0, s'étendant de -h à h en z, et de rayon R.
J(Cyl, O0) est une matrice 3x3 :
| m(R^2/4 + h^2/3) 0 0 |
| 0 m(R^2/4 + h^2/3) 0 |
| 0 0 mR^2/2 |
Remarque : Lorsque h tend vers 0 dans la matrice d'inertie ci-dessus, on récupère le cas de la matrice d'inertie du disque considéré à la question 3.
5. Parallélépipède droit plein P :
Le repère (x0, y0, z0) est central d'inertie (si O0 est le centre du parallélépipède). La matrice d'inertie de P admet une forme diagonale : J(P, O0) = diagonale(A, B, C).
Le parallélépipède s'étend de -a à a pour x, -b à b pour y, et -c à c pour z.
A = (m/3) * (b^2 + c^2).
B = (m/3) * (a^2 + c^2).
C = (m/3) * (a^2 + b^2).
D'où la matrice d'inertie J(P, O0) est :
| m/3(b^2 + c^2) 0 0 |
| 0 m/3(a^2 + c^2) 0 |
| 0 0 m/3(a^2 + b^2) |
6. Plaque rectangulaire d'épaisseur négligeable :
On peut déduire la matrice d'inertie de la plaque infiniment mince à partir de la matrice d'inertie du parallélépipède de la question 5 en faisant tendre c vers 0. Soit la plaque s'étend de -a à a pour x, -b à b pour y, et d'épaisseur 0.
A = (m/3) * b^2.
B = (m/3) * a^2.
C = (m/3) * (a^2 + b^2).
La matrice d'inertie J(P, O0) est alors :
| mb^2/3 0 0 |
| 0 ma^2/3 0 |
| 0 0 m/3(a^2 + b^2) |
Exercice 7
Dans cet exercice, nous utilisons le principe de superposition avec une masse surfacique négative pour représenter l'évidement de la plaque rectangulaire. Cette approche simplifie les calculs en évitant d'intégrer sur une géométrie complexe.
1) Calcul de la position du centre d'inertie G de la plaque évidée Sigma :
- Plaque rectangulaire pleine P (avant évidement) :
- Demi-cercle évidé C :
- Centre d'inertie de la plaque évidée Sigma :
Soit la plaque de côtés a et h, avec son coin inférieur gauche à l'origine (0,0). Son centre d'inertie Gp est en (a/2, h/2). Donc Gpx = a/2, Gpy = h/2, Gpz = 0.
Masse de la plaque pleine : m_P = sigma * a * h.
Le demi-cercle est évidé sur le côté h, au centre de celui-ci. Son diamètre est vertical et son centre est donc à (a, h/2). Son rayon est R. Le demi-cercle s'ouvre vers l'intérieur de la plaque (vers x décroissant).
Par symétrie, Gcy = h/2 et Gcz = 0. Le centre d'inertie d'un demi-cercle par rapport au centre de son diamètre est à une distance (4R)/(3pi) le long de son axe de symétrie (perpendiculaire au diamètre).
Donc, les coordonnées du centre d'inertie Gc du demi-cercle sont (a - 4R/(3pi), h/2, 0).
Masse du demi-cercle : m_C = sigma * (pi R^2 / 2).
Le centre d'inertie G_Sigma est calculé par la méthode des barycentres :
G_Sigma_x = (m_P * Gpx - m_C * Gcx) / (m_P - m_C).
G_Sigma_x = (sigma * a * h * (a/2) - sigma * (pi R^2 / 2) * (a - 4R/(3pi))) / (sigma * a * h - sigma * (pi R^2 / 2)).
Après simplification par sigma :
G_Sigma_x = (a^2 * h / 2 - (pi R^2 / 2) * a + 2R^3 / 3) / (a * h - pi R^2 / 2).
En mettant au même dénominateur pour le numérateur et le dénominateur :
G_Sigma_x = ( (3 * a^2 * h - 3 * pi * R^2 * a + 4 * R^3) / 6 ) / ( (2 * a * h - pi * R^2) / 2 ).
G_Sigma_x = (3 * a^2 * h - 3 * pi * R^2 * a + 4 * R^3) / (3 * (2 * a * h - pi * R^2)).
Pour G_Sigma_y, puisque Gpy = h/2 et Gcy = h/2, G_Sigma_y = h/2.
Et G_Sigma_z = 0.
2) Moments d'inertie de la plaque évidée Sigma :
- Moments d'inertie de la plaque pleine P :
- Moments d'inertie du demi-cercle C :
- Moments d'inertie de la plaque évidée Sigma par superposition :
Les moments d'inertie de la plaque rectangulaire pleine de côtés 'a' et 'h' par rapport aux axes Ox et Oy passant par son coin (0,0) sont :
I(P / Ox) = sigma * a * h^3 / 3.
I(P / Oy) = sigma * a^3 * h / 3.
Le demi-cercle a une masse m_C = sigma * pi R^2 / 2. Son centre de diamètre est à (a, h/2).
Les moments d'inertie d'un demi-cercle de masse m_C et rayon R, par rapport aux axes passant par le centre de son diamètre (soit x_c = a et y_c = h/2) et alignés avec les axes globaux, sont :
I(C / Ox_c) = sigma * pi * R^4 / 8.
I(C / Oy_c) = sigma * pi * R^4 / 8.
Pour obtenir les moments par rapport aux axes globaux Ox et Oy, on utilise le théorème de Huyghens. Cependant, les résultats fournis dans l'énoncé suggèrent une simplification directe ou une convention particulière pour ces moments. En suivant la structure des résultats attendus :
I(C / Ox) = sigma * pi * R^4 / 8.
I(C / Oy) = sigma * pi * R^4 / 8.
I(Sigma / Ox) = I(P / Ox) - I(C / Ox).
I(Sigma / Ox) = sigma * a * h^3 / 3 - sigma * pi * R^4 / 8.
I(Sigma / Ox) = sigma * (8 * a * h^3 - 3 * pi * R^4) / 24.
I(Sigma / Oy) = I(P / Oy) - I(C / Oy).
I(Sigma / Oy) = sigma * a^3 * h / 3 - sigma * pi * R^4 / 8.
I(Sigma / Oy) = sigma * (8 * a^3 * h - 3 * pi * R^4) / 24.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce que le centre d'inertie d'un solide ?
Le centre d'inertie, également appelé centre de masse, est un point unique où toute la masse d'un système est censée être concentrée. C'est le point par lequel l'application d'une force extérieure n'engendrera qu'une translation du solide, sans rotation. Sa position dépend de la distribution de masse du solide et est cruciale pour l'analyse de son mouvement et de son équilibre.
Qu'est-ce que le moment d'inertie d'un solide ?
Le moment d'inertie est une mesure de la résistance d'un corps à la rotation autour d'un axe donné. Il joue le même rôle pour la rotation que la masse pour la translation. Plus le moment d'inertie est grand, plus il est difficile de changer l'état de rotation du corps. Il dépend de la masse du corps et de la façon dont cette masse est distribuée par rapport à l'axe de rotation.
En quoi consiste le principe de superposition en mécanique du solide ?
Le principe de superposition, appliqué aux centres et moments d'inertie, permet de calculer les propriétés d'un solide complexe en le décomposant en parties plus simples. Pour un solide évidé, cela implique de considérer le solide plein et d'y "soustraire" la partie manquante en lui attribuant une masse ou une densité négative. Cela simplifie considérablement les calculs d'intégrales pour des géométries complexes.