Feuille d exercices sur les espaces vectoriels pascal laine
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Exercice 1
Soient des vecteurs , et . La famille est-elle libre ?
Exercice 2
Les familles suivantes sont-elles libres ?
- , et dans .
- , et dans .
- , , et dans .
- , et dans .
- , et dans .
Exercice 3
On considère une famille de vecteurs linéairement indépendants. Les familles suivantes sont-elles libres ?
- .
- .
- .
- .
- .
Exercice 4
Soient les vecteurs et . Peut-on déterminer et pour que ? Et pour que ?
Exercice 5
Dans , on considère l'ensemble des vecteurs vérifiant . L'ensemble est-il un sous-espace vectoriel de ? Si oui, en donner une base.
Exercice 6
Dans l'espace , on se donne cinq vecteurs : , , , et . Chercher les relations de dépendance linéaire entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace.
Exercice 7
Dans l'espace , on se donne cinq vecteurs : , , , et . À quelle(s) condition(s) un vecteur appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs ? Définir ce sous-espace par une ou des équations.
Exercice 8
Soit un espace vectoriel sur et , , et une famille libre d'éléments de . Les familles suivantes sont-elles libres ?
- .
- .
- .
- .
- .
Exercice 9
Dans , comparer les sous-espaces et suivants : .
Exercice 10
On suppose que , ,…, sont des vecteurs indépendants de .
- Les vecteurs , , ,…, , sont-ils linéairement indépendants ?
- Les vecteurs , , ,…, , sont-ils linéairement indépendants ?
- Les vecteurs , , , ,…, , sont-ils linéairement indépendants ?
Exercice 11
Soient , , et . Soient et les sous-espaces vectoriels de . Montrer que .
Exercice 12
Peut-on déterminer des réels , pour que le vecteur appartienne au sous-espace vectoriel engendré par le système , où et ?
Exercice 13
Soient , , , et des vecteurs de . Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
- est un sous-espace vectoriel de supplémentaire dans .
Exercice 14
On considère les vecteurs , , , et dans .
- et sont-ils supplémentaires dans ?
- Même question pour et .
- Même question pour et .
Exercice 15
- Est-ce que le sous-ensemble { } de , muni des lois habituelles de l'espace vectoriel , est un -espace vectoriel ?
- Est-ce que le sous-ensemble { } de , muni des lois habituelles de l'espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de ?
Exercice 16
Soient , et . Soient { } et .
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Déterminer une base de .
- La famille est-elle libre ? Est-ce que ?
- Est-ce que ?
- Donner une base de .
- Soit , est-ce que ? Est-ce que ?
Exercice 17
Soit { }. Soient et deux vecteurs. On pose .
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
- Déterminer .
- A-t-on ?
Exercice 18
Soient { } et { } deux sous-ensembles de . On admettra que est un sous-espace vectoriel de . Soient , et .
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
- Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base.
- Montrer que { } est une base de .
- Montrer que { } est une famille libre de .
- A-t-on ?
- Soit , exprimer dans la base { }.
Exercice 19
Soient un sous-espace vectoriel de .
- Est-ce que est une base de ?
- Montrer que est une base de .
- Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant .
- Compléter une base de en une base de .
Exercice 20
Soient { }. On admettra que est un espace vectoriel. Et { }. Soient , , et quatre vecteurs de .
Première partie
- Déterminer une base de et en déduire la dimension de .
- Compléter cette base en une base de .
Deuxième partie
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
- Déterminer une base de .
- A-t-on ?
Troisième partie
- Montrer que .
- Soit , exprimer comme une combinaison linéaire de , et .
Exercice 21
Soit { }. Soit , et .
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de , et déterminer une base de cet espace vectoriel.
- A-t-on ? On justifiera la réponse.
Exercice 22
Soit { }. Soient , et . Soit . On admettra que est un espace vectoriel.
- Donner une base de et en déduire sa dimension.
- Déterminer une base de .
- Donner une (ou plusieurs) équation(s) qui caractérise(nt) .
- Donner une famille génératrice de .
- Montrer que : .
Exercice 23
Soient et deux vecteurs de . Soit . Soient { } et { }. On admettra que et sont trois sous-espaces vectoriels de .
- Déterminer une base de .
- Déterminer une base de .
- A-t-on ?
- Montrer que est une base de .
- A-t-on ?
Exercice 24
Soient , , et quatre vecteurs de . Déterminer une sous-famille de libre qui engendre , en déduire la dimension de .
Exercice 25
Soit { }. On admettra que est un sous-espace vectoriel de .
- Déterminer une base de .
- Compléter cette base de en une base de .
Exercice 26
Soient , et trois polynômes de .
- Montrer que est une base de .
- Soit , exprimer dans la base .
- Soit , exprimer dans la base .
- Pour tous , et réels, montrer qu'il existe un unique polynôme de , tel que : , et .
Exercice 27
Soit { }.
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
- Donner une base de et en déduire sa dimension.
Exercice 28
Soit { }.
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
- Déterminer une base et la dimension de .
Exercice 29
Dans , les trois fonctions , et , sont-elles linéairement indépendantes ?
Exercice 30
Soient , et . Déterminer .
Exercice 31
Soit l'ensemble des fonctions vérifiant l'équation différentielle . Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions.
Exercice 32
(Hors programme)
- Montrer que les systèmes : √ et √ √ sont libres dans considéré comme -espace vectoriel.
- Soient, dans , les vecteurs √ √ et √ . Montrer que le système est -libre et -lié.
- Soient les vecteurs et dans .
- Montrer que le système est -libre et -lié.
- Vérifier que le système { } est une base de l'espace vectoriel sur et donner les composantes des vecteurs et par rapport à cette base.
Corrections
Correction Exercice 1
On peut éventuellement s'apercevoir que donc la famille est liée. Sinon : { { { { Il n'y a pas que comme solution, donc la famille est liée. En prenant , on trouve que et que , par conséquent , ce qui est la même relation que l'on avait « devinée » ci-dessus.
Correction Exercice 2
- { { Donc la famille est libre. { {
- Là, il est clair que donc la famille est liée.
- On peut raisonnablement s'apercevoir que : Donc la famille est liée. Sinon, on se lance dans un gros calcul : { { { { { ( ) { { { Il n'y a pas que comme solution, donc la famille est liée. En prenant , on trouve la relation :
- { On peut s'amuser à faire méthodiquement la méthode de Gauss, mais avec la première et la seconde ligne, on s'aperçoit que , puis on remplace dans n'importe quelle ligne pour trouver que . La famille est libre.
- C'est trop fatigant, , la famille est liée.
Correction Exercice 3
- Oui, évidemment, sinon : {
- Une sous-famille d'une famille libre est libre.
- { Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée.
- { La famille est libre.
- Il y a trois vecteurs dans le plan, donc ces trois vecteurs forment une famille liée ; en rajoutant , cela ne change rien, la famille est liée.
Correction Exercice 4
Le problème est de déterminer et tels qu'il existe et vérifiant : { { { { La dernière ligne entraîne qu'il n'y a pas de solution. Le problème est de déterminer et tels qu'il existe et vérifiant : { { { { { { {
Correction Exercice 5
Première méthode
donc . Soit et , on a et . Et pour tous et réels : Ce qui signifie que , est donc un sous-espace vectoriel de .
Deuxième méthode
Un vecteur de s'écrit : Donc , est un sous-espace vectoriel de . Pour trouver une base, il reste à montrer que est libre (puisque cette famille est déjà génératrice).
{ Cette famille est bien libre, c'est une base de .
Correction Exercice 6
Déjà, une famille de vecteurs dans un espace de dimension est liée, mais cela ne donne pas la (ou les) relation(s) reliant ces vecteurs.
{ { { { { { { Si on prend et , alors , et , ce qui donne . Si on prend et , alors , et , ce qui donne .
Autre façon de voir les choses : Cette dernière relation étant vraie pour tous et , on retrouve les deux relations. Ce ne sont pas les seules relations entre ces vecteurs. Si on fait la somme ou la différence, on trouve d'autres relations : et .
Il reste à montrer que est libre, ce qui est quasi évident puisqu'il suffit de refaire le calcul ci-dessus avec et . Alors : {
Correction Exercice 7
{ , cela montre que est libre. D'après l'exercice précédent, il existe , et tels que : { { { { . On peut constater que les composantes de , et vérifient .
Correction Exercice 8
- Attention, ici , , et sont des vecteurs. Oui, évidemment, sinon : {
- Une sous-famille d'une famille libre est libre. {
- Il existe une combinaison linéaire non identiquement nulle de ces trois vecteurs, la famille est liée.
- { La famille est libre. {
- Il y a trois vecteurs dans le plan, donc ces trois vecteurs forment une famille liée ; en rajoutant , cela ne change rien, la famille est liée.
Correction Exercice 9
Comparer deux ensembles signifie que l'on doit trouver si l'un est inclus dans l'autre (ou réciproquement) ou si les ensembles sont égaux. On va d'abord caractériser à l'aide d'une (ou plusieurs) équation cartésienne, ensuite il sera simple de savoir si les vecteurs qui engendrent sont dans . Il existe , , réels tels que : { { { , , sont donnés par les équations , et donc { }. Cela montre que . Manifestement , car les deux vecteurs qui engendrent ne sont pas colinéaires (donc ils forment une base de ). Si on en savait plus, on saurait que , mais on n'est pas censé le savoir. Il faut montrer que les trois vecteurs qui engendrent sont libres ; ils formeront une base et la dimension de sera . On reprend le calcul de avec . On trouve : { C'est bon, . { { { Autrement dit, est inclus dans mais n'est pas égal à .
Correction Exercice 10
- Cette famille est liée.
- Si , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : { Donc et on en déduit que pour tout { }, . La famille est libre. Si , ( ) ( ) La famille est liée. Pour s'en convaincre, on pourra regarder plus précisément les cas et .
- { La famille est libre.
Correction Exercice 11
{ Donc , or et ne sont pas proportionnels, donc est une base de et . De même, et ne sont pas proportionnels, donc est une base de et . J'ai passé sous silence que est une famille génératrice de et que est une famille génératrice de .
{ Il y a d'autres façons de faire, par exemple en trouvant pour et une équation cartésienne caractérisant ces espaces.
Correction Exercice 12
On cherche , , et tels que : { { { La réponse est oui.
{
Correction Exercice 13
Première méthode
D'abord on remarque que , que et que . Donc . Et . On a bien .
Deuxième méthode
On cherche une (ou plusieurs) équation(s) cartésienne(s) caractérisant . Il existe et tels que : { { { Donc { }. Donc , et ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de . C'est une base de et donc , et ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre de , donc , mais donc . On a par conséquent et comme , on a alors .
.
Donc . Le tout est de savoir si ? Or au 2. on a vu que . Si alors ce qui est faux, donc . Par conséquent .
Première méthode
En effet .
Deuxième méthode
Si on n'a pas vu que : D'après la première question. Donc . Pour les mêmes raisons que dans la première méthode.
Comme et ne sont pas colinéaires, ils forment une base de et . Il reste à vérifier que l'intersection de ces sous-espaces vectoriels est réduite au vecteur nul, ce qui revient au même que de montrer que est libre (mais alors comme le nombre de vecteurs est , on pourrait en déduire que cette famille est une base de ce qui suffit à prouver que la somme de ces deux sous-espaces vectoriels est directe et qu'elle vaut ). { C'est quasiment évident. { La famille est libre, elle a vecteurs dans un espace vectoriel de dimension , c'est une base de , donc .
Autre méthode
Comme et ne sont pas colinéaires, ils forment une base de et . À la question 1°), on a montré que { }. Il n'y a qu'à montrer que les composantes de et de ne vérifient pas ces équations (c'est évident) pour en déduire que et que et que par conséquent { }. La somme des dimensions valant (voir ci-dessus), la somme est directe et vaut .
Correction Exercice 14
et , donc la somme des dimensions n'est pas . Ces espaces sont peut-être en somme directe, mais cette somme n'est pas ; ils ne sont donc pas supplémentaires dans . Remarque : en fait , car et ne sont pas colinéaires.
D'abord on va regarder si la famille est libre. Si c'est le cas, la réponse sera non car la dimension de cet espace sera et celle de est manifestement , donc la somme des dimensions sera . { { est une famille libre qui engendre , c'est donc une base de cet espace, donc . Comme et ne sont pas proportionnels, est une famille libre qui engendre , c'est donc une base de cet espace, et . Donc ces espaces ne sont pas supplémentaires dans .
et ne sont pas colinéaires, donc est une famille libre qui engendre . C'est une base de cet espace et . Manifestement , , et ne sont pas colinéaires, donc est une famille libre qui engendre . C'est donc une base de cet ensemble et . Il reste à montrer que l'intersection de ces espaces est réduite au vecteur nul. Ce coup-ci, je vais détailler un peu plus. Soit , il existe , , et réels tels que : Ce qui entraîne que . Cela montre que est libre, résultat que l'on utilise sans avoir à le montrer. Mais ici, si on montre que la famille est libre, comme elle a vecteurs, cela montrera que c'est une base de et que . Mais dans cet exercice, il fallait quand même montrer que . On y va : { { Donc et { }. Comme la somme des dimensions est , on a : .
Correction Exercice 15
donc . Soient et . Pour tous et réels : Donc . Ce qui montre que est un sous-espace vectoriel de .
Soit , car et , donc n'est pas un sous-espace vectoriel.
Correction Exercice 16
Soit , et soit , , pour tout . Comme est un sous-espace vectoriel de . Soit , , donc et ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre et génératrice de , c'est une base de .
{ { { La famille est libre.
Première méthode
Si alors il existe et réels tels que , ce qui signifie que est liée, ce qui est faux, donc .
Deuxième méthode
{ { Les deux dernières lignes montrent que ce n'est pas possible, par conséquent .
, .
{ { { { { { Donc si l'on pose : {
, donc est liée. { { { { { La famille est liée par la relation . Ce qui montre bien que .
Correction Exercice 17
Première méthode
Soient et , on a et . Pour tous et réels, , ce qui entraîne que . D'où, , ce qui achève de montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Deuxième méthode
Comme , ce qui montre que et que par conséquent est un espace vectoriel.
Première méthode
Soit , d'une part car et il existe et réels tels que car . Cette dernière égalité s'écrit aussi : Par conséquent : { { { { { { Cela montre qu'il existe tel que . Autrement dit, si l'on pose , .
Deuxième méthode
On cherche une ou plusieurs équations caractérisant . { { { { Donc { }. Ensuite, on cherche l'intersection : { { { { { Par conséquent . On trouve le même résultat.
Troisième méthode
On cherche une équation du plan (parce que l'on se doute bien que c'est un plan). Un vecteur orthogonal à ce plan est dont les coordonnées sont : Et l'ensemble des vecteurs orthogonaux à ce vecteur vérifie : Puis on finit comme dans la deuxième méthode.
{ }, on n'a pas . Ou alors , si on a montré que et étaient des plans.
Correction Exercice 18
{ { { { Donc , ce qui montre que est un sous-espace vectoriel de .
Autre méthode
{ Soient et , on a { et { { Ce qui montre que . Et finalement, est un sous-espace vectoriel de .
{ } est une famille génératrice de . Ce vecteur est non nul, c'est une base de . Bref, est la droite engendrée par le vecteur .
et ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre de , donc . Donc par conséquent . On déduit de cela que et que par suite la famille { } est libre (dans ) à deux éléments. C'est une base de .
et { } est libre, donc { } est libre (c'est une base de , puisque cette famille a trois éléments).
A-t-on ?
On cherche tels que : { {
Correction Exercice 19
{ {
Une famille de 4 vecteurs dans un espace de dimension 3 est liée, ce n'est pas une base.
Pour tous et réels : { { { { { { { Donc pour tous et réels : Ce qui montre que et que , autrement dit . Par conséquent, est une famille génératrice de . Les vecteurs et ne sont pas proportionnels, donc est libre ; c'est une base de .
{ { { Une équation caractérisant est : .
ne vérifie pas l'équation caractérisant , donc et est libre, donc est une famille libre à 3 éléments dans l'espace vectoriel , de dimension 3. C'est une base.
Correction Exercice 20
Première partie
Donc : { { {
n'est pas le vecteur nul et engendre . C'est une base de et . Soit , car les composantes de ne vérifient pas les équations caractérisant . Donc est libre. si et seulement s'il existe et réels tels que : { { { Donc { }. Soit , car les composantes de ne vérifient pas les équations caractérisant et est libre, donc est libre. si et seulement s'il existe , et réels tels que : { { { { Donc { }. Soit , car les composantes de ne vérifient pas l'équation caractérisant et est libre, donc est libre. Comme cette famille a quatre vecteurs, c'est une base de .
Deuxième partie
donc . Soient et , on a alors et . Soient et deux réels. Donc est un sous-espace vectoriel de .
Donc , et , est une famille génératrice de . Il reste à montrer que cette famille est libre : { Cette famille est bien libre, c'est une base de . { ,
et donc . Comme , , { }. On a alors .
Troisième partie
Comme , . Comme , . Comme , . { { { Donc est une famille libre dans un espace de dimension 3, c'est une base de .
Soit , exprimer comme une combinaison linéaire de , et .
Correction Exercice 21
donc . Soient et . Alors, pour tous et réels : Donc est un sous-espace vectoriel de . { { et sont deux vecteurs non colinéaires, ils forment une famille libre qui engendre . C'est une base de , donc .
donc , par conséquent { }. Comme , on a .
Correction Exercice 22
{ { et sont deux vecteurs non proportionnels, ils forment une famille libre qui engendre . C'est une base de , par conséquent .
Il est clair que donc la famille est liée. et sont deux vecteurs non colinéaires, ils forment une famille libre qui engendre . C'est une base de , donc . Attention, certains d'entre vous ont écrit : "ne sont pas proportionnels, donc est une famille libre", c'est complètement faux ; ce résultat est vrai pour deux vecteurs.
Il existe et réels tels que : { { Donc { { }.
Donc la famille est une famille génératrice de .
Remarques :
- La réponse est bonne aussi.
- On pouvait penser à montrer que était libre (c'est le cas), mais c'est totalement inutile (si on avait demandé de trouver une base, alors là, oui, il fallait montrer que cette famille était libre). Toutefois, montrer que cette est libre permettait de montrer que , parce que si une base de , « collée » à une base de donne une famille libre, on a , et comme est une famille libre de à vecteurs, c'est aussi une base de , autrement dit . Ce n'est pas la peine d'en écrire autant, il suffit de dire que puisque est une base de (libre plus vecteurs), alors . Mais il y avait beaucoup plus simple pour montrer que (voir question 5°)).
- Attention, si on écrit : "ne sont pas proportionnels, donc est une famille libre", c'est complètement faux ; ce résultat n'est vrai que pour deux vecteurs.
- Regardons ce que l'on peut faire et ne pas faire. Ça c'est bon. Mais ensuite il faut simplifier correctement. Et là, on retombe sur une situation habituelle : comme est tout seul, on peut le simplifier partout. On peut éventuellement se servir de cela pour montrer que (il reste à dire que la somme des dimensions de et de est ) mais ce n'est pas ce qui est demandé.
Donc { }. Par conséquent .
Autre méthode
{ { On aurait pu montrer que était une famille libre.
Correction Exercice 23
{ { { { Donc . On pose et . Ces deux vecteurs engendrent , ils ne sont pas proportionnels, donc ils forment une famille libre. Par conséquent, est une base de .
{ { Donc . On pose et . Ces deux vecteurs engendrent , ils ne sont pas proportionnels, donc ils forment une famille libre. Par conséquent, est une base de .
Première méthode
{ { { { { Donc . Cela montre que . On n'a pas .
Deuxième méthode
On rappelle que est une base de . { { { Cela n'entraîne pas que . est une famille liée, ce n'est pas une base de .
{ { { En faisant la différence des lignes et , on a . Le reste s'en déduit . est une famille libre dans un espace vectoriel de dimension .
Correction Exercice 24
Déterminer une sous-famille de libre qui engendre , en déduire la dimension de .
FAQ sur les Espaces Vectoriels
Qu'est-ce qu'un sous-espace vectoriel ?
Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est un sous-ensemble qui conserve la structure d'espace vectoriel. Il doit contenir le vecteur nul, être stable par addition de vecteurs et stable par multiplication par un scalaire.
Qu'est-ce qu'une famille libre de vecteurs ?
Une famille de vecteurs est dite libre (ou linéairement indépendante) si aucun de ses vecteurs ne peut être exprimé comme une combinaison linéaire des autres. Autrement dit, la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients scalaires sont nuls.
Comment déterminer une base d'un sous-espace vectoriel ?
Pour déterminer une base d'un sous-espace vectoriel, on cherche une famille de vecteurs qui est à la fois génératrice de ce sous-espace (tout vecteur du sous-espace peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs) et libre (les vecteurs sont linéairement indépendants).