Td 3 corrigé polynômes et fractions rationnelles maths s1 al
Télécharger PDFPolynômes et Fractions Rationnelles : Corrigés d'Exercices
Introduction
Ce document présente des corrigés succincts pour une série d'exercices sur les polynômes et les fractions rationnelles, incluant des applications en factorisation, décomposition en éléments simples, interpolation polynomiale et équations différentielles.
1. Factorisation de Polynômes
Exercice 1.1 : Factorisation sur ℝ et ℂ
Question : Factoriser sur ℝ et sur ℂ les polynômes suivants :
- (a) X4 + 2X2 − 3
- (b) X2 + 2X − 3
- (c) X3 − 1
- (d) X4 − 1
Corrigé succinct :
(a) Pour X4 + 2X2 − 3 : En posant Y = X2, l'équation Y2 + 2Y − 3 = 0 a pour racines Y1 = −3 et Y2 = 1. Donc X2 = −3 ou X2 = 1.
Sur ℝ : X4 + 2X2 − 3 = (X2 − 1)(X2 + 3) = (X − 1)(X + 1)(X2 + 3). Le facteur (X2 + 3) est irréductible sur ℝ.
Sur ℂ : X4 + 2X2 − 3 = (X − 1)(X + 1)(X − i√3)(X + i√3).
(b) Pour X2 + 2X − 3 : Le discriminant est 16, et les racines sont 1 et −3.
Sur ℝ et ℂ : X2 + 2X − 3 = (X − 1)(X + 3).
(c) Pour X3 − 1 : Les racines cubiques de l'unité sont 1, e2iπ/3 et e4iπ/3.
Sur ℝ : X3 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1). Le facteur (X2 + X + 1) est irréductible sur ℝ.
Sur ℂ : X3 − 1 = (X − 1)(X − e2iπ/3)(X − e4iπ/3).
(d) Pour X4 − 1 : Les racines quatrièmes de l'unité sont 1, −1, i, −i.
Sur ℝ : X4 − 1 = (X2 − 1)(X2 + 1) = (X − 1)(X + 1)(X2 + 1). Le facteur (X2 + 1) est irréductible sur ℝ.
Sur ℂ : X4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i).
Exercice 1.2 : Détermination de Polynômes
Question : Déterminer le polynôme réel unitaire P de degré 4 dont 2 est racine double et (1−i) est racine simple.
Corrigé succinct :
Puisque P est un polynôme réel et (1−i) est une racine, son conjugué (1+i) est également une racine. Avec 2 comme racine double, les quatre racines du polynôme sont 2, 2, (1−i) et (1+i).
Le polynôme unitaire de degré 4 est donc P(X) = (X − 2)2 (X − (1 − i))(X − (1 + i)).
P(X) = (X2 − 4X + 4) ((X − 1)2 − i2) = (X2 − 4X + 4) ((X − 1)2 + 1).
P(X) = (X2 − 4X + 4) (X2 − 2X + 2) = X4 − 2X3 + 2X2 − 4X3 + 8X2 − 8X + 4X2 − 8X + 8.
Ainsi, P(X) = X4 − 6X3 + 14X2 − 16X + 8.
2. Décomposition en Éléments Simples
Exercice 2.1 : Décomposition sur ℝ et ℂ
Question : Décomposer en éléments simples sur ℝ et ℂ les fractions rationnelles :
- (a) (X3 + 2X2 − 3) / (X(X − 1)(X2 + 1))
- (b) 1 / (X3 − 1)
- (c) (X2 − 2X + 3) / (X(X2 + 1)2)
Corrigé succinct :
Pour chaque fraction, on détermine d'abord la partie entière. Ici, le degré du numérateur est toujours inférieur à celui du dénominateur, donc la partie entière est nulle.
(a) Fraction: F(X) = (X3 + 2X2 − 3) / (X(X − 1)(X2 + 1))
Sur ℝ, le dénominateur est déjà factorisé en X(X − 1)(X2 + 1). La décomposition est de la forme :
F(X) = A/X + B/(X − 1) + (CX + D)/(X2 + 1).
En multipliant F(X) par X et en évaluant en X=0 : A = (−3) / ((−1)(1)) = 3.
En multipliant F(X) par (X − 1) et en évaluant en X=1 : B = (1 + 2 − 3) / (1(1 + 1)) = 0 / 2 = 0.
Donc F(X) = 3/X + (CX + D)/(X2 + 1).
Pour trouver C et D, on peut identifier les coefficients ou prendre des valeurs particulières. Par exemple, en multipliant par X et en prenant la limite quand X tend vers l'infini, on obtient pour le coefficient de X3 : 1 = A + C. Avec A=3, C = 1 - 3 = -2.
En évaluant F(X) en X=-1 : (-1 + 2 - 3) / ((-1)(-2)(1 + 1)) = -2 / 4 = -1/2.
-1/2 = 3/(-1) + (-C + D)/(1+1) = -3 + (-C + D)/2.
-1 = -6 + (-C + D) => -C + D = 5. Avec C = -2, on a 2 + D = 5 => D = 3.
Sur ℝ : (X3 + 2X2 − 3) / (X(X − 1)(X2 + 1)) = 3/X + (−2X + 3)/(X2 + 1).
Sur ℂ, (X2 + 1) se factorise en (X − i)(X + i). La forme est 3/X + E/(X − i) + F/(X + i).
E = ((i)3 + 2(i)2 − 3) / (i(i − 1)(i + i)) = (−i − 2 − 3) / (i(i − 1)(2i)) = (−5 − i) / (2i2(i − 1)) = (−5 − i) / (−2i + 2) = (5 + i) / (2i − 2).
En rationalisant : E = (5 + i)(2i + 2) / ((2i − 2)(2i + 2)) = (10i + 10 + 2i2 + 2i) / (4i2 − 4) = (12i + 8) / (−8) = −1 − (3/2)i.
F est le conjugué de E, donc F = −1 + (3/2)i.
Sur ℂ : 3/X + (−1 − (3/2)i)/(X − i) + (−1 + (3/2)i)/(X + i).
(b) Fraction: G(X) = 1 / (X3 − 1)
Sur ℝ, X3 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1). La décomposition est de la forme :
G(X) = A/(X − 1) + (BX + C)/(X2 + X + 1).
En multipliant G(X) par (X − 1) et en évaluant en X=1 : A = 1 / (1 + 1 + 1) = 1/3.
En évaluant G(X) en X=0 : −1 = A/(-1) + C/1 = -A + C. Donc C = -1 + A = -1 + 1/3 = -2/3.
En identifiant le coefficient de X2 (par exemple, en réduisant au même dénominateur) : 0 = A + B. Donc B = -A = -1/3.
Sur ℝ : 1 / (X3 − 1) = (1/3)/(X − 1) + (−(1/3)X − (2/3))/(X2 + X + 1).
Sur ℂ, X3 − 1 = (X − 1)(X − e2iπ/3)(X − e4iπ/3). La décomposition est de la forme :
G(X) = A/(X − 1) + B'/(X − e2iπ/3) + C'/(X − e4iπ/3).
A = 1/3. Les coefficients B' et C' peuvent être obtenus de manière similaire, en utilisant les racines complexes.
(c) Fraction: H(X) = (X2 − 2X + 3) / (X(X2 + 1)2)
Sur ℝ, le dénominateur est X(X2 + 1)2. La décomposition est de la forme :
H(X) = A/X + (BX + C)/(X2 + 1) + (DX + E)/(X2 + 1)2.
En multipliant H(X) par X et en évaluant en X=0 : A = 3 / (1)2 = 3.
En multipliant H(X) par (X2 + 1)2 et en évaluant en X=i :
D(i) + E = (i2 − 2i + 3) / i = (−1 − 2i + 3) / i = (2 − 2i) / i = 2/i − 2 = −2i − 2.
Par identification des parties réelle et imaginaire : E = −2 et D = −2.
La décomposition partielle est donc H(X) = 3/X + (BX + C)/(X2 + 1) + (−2X − 2)/(X2 + 1)2.
Pour B et C, on peut identifier les coefficients du numérateur après réduction au même dénominateur.
Coefficient de X4 : 0 = A + B. Avec A=3, B = -3.
En évaluant H(X) en X=1 : (1 − 2 + 3) / (1(1+1)2) = 2 / 4 = 1/2.
1/2 = 3/1 + (B + C)/2 + (D + E)/4.
1/2 = 3 + (−3 + C)/2 + (−2 − 2)/4.
1/2 = 3 + (−3 + C)/2 − 1.
1/2 = 2 + (−3 + C)/2.
Multipliant par 2 : 1 = 4 + (−3 + C) ⇒ 1 = 1 + C ⇒ C = 0.
Sur ℝ : (X2 − 2X + 3) / (X(X2 + 1)2) = 3/X − 3X/(X2 + 1) − (2X + 2)/(X2 + 1)2.
3. Polynômes Interpolateurs
Exercice 3.1 : Polynôme d'interpolation
Question : Déterminer le polynôme Q de degré 2 qui interpole les points (0, 1), (1, 2) et (3, 5).
Corrigé succinct :
Soit le polynôme Q(X) = aX2 + bX + c.
En utilisant les points donnés, nous obtenons un système d'équations linéaires :
- Q(0) = 1 ⇒ a(0)2 + b(0) + c = 1 ⇒ c = 1.
- Q(1) = 2 ⇒ a(1)2 + b(1) + c = 2 ⇒ a + b + c = 2.
- Q(3) = 5 ⇒ a(3)2 + b(3) + c = 5 ⇒ 9a + 3b + c = 5.
En substituant c = 1 dans les deux dernières équations :
- a + b + 1 = 2 ⇒ a + b = 1.
- 9a + 3b + 1 = 5 ⇒ 9a + 3b = 4.
De la première équation, nous avons b = 1 - a. Substituons cette expression dans la seconde équation :
9a + 3(1 − a) = 4
9a + 3 − 3a = 4
6a = 1 ⇒ a = 1/6.
Maintenant, trouvons b : b = 1 − a = 1 − 1/6 = 5/6.
Le polynôme cherché est Q(X) = (1/6)X2 + (5/6)X + 1.
4. Intégration et Équations Différentielles
Exercice 4.1 : Primitive
Question : Déterminer une primitive de la fonction f(x) = 2/x - x/(x2+1) sur un intervalle approprié.
Corrigé succinct :
On cherche une fonction F(x) telle que F'(x) = f(x).
Une primitive de 2/x est 2ln|x| = ln(x2).
Pour x/(x2+1), on utilise la forme u'/u : (1/2) * (2x)/(x2+1). Une primitive est (1/2)ln(x2+1) = ln(√(x2+1)).
Donc, une primitive de f(x) est F(x) = ln(x2) − ln(√(x2+1)) + C = ln(x2 / √(x2+1)) + C.
Exercice 4.2 : Équation Différentielle
Question : Résoudre l'équation différentielle y' = y (2/x - x/(x2+1)).
Corrigé succinct :
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à variables séparables :
dy/y = (2/x - x/(x2+1))dx.
En intégrant des deux côtés :
∫ (1/y)dy = ∫ (2/x - x/(x2+1))dx.
ln|y| = 2ln|x| - (1/2)ln(x2+1) + K (où K est une constante d'intégration).
ln|y| = ln(x2) - ln(√(x2+1)) + ln|C| (en posant K = ln|C|, C étant une constante non nulle).
ln|y| = ln (C ⋅ x2 / √(x2+1)).
La solution générale de l'équation différentielle est y(x) = C ⋅ x2 / √(x2+1).
FAQ - Foire Aux Questions
Qu'est-ce qu'une décomposition en éléments simples ?
C'est une méthode qui permet d'exprimer une fraction rationnelle complexe comme une somme de fractions plus simples, appelées éléments simples. Ces éléments simples ont des dénominateurs qui sont des polynômes irréductibles de degré 1 ou 2, élevés à une certaine puissance. Cette décomposition est fondamentale, notamment pour l'intégration des fonctions rationnelles, car elle transforme une intégrale difficile en une somme d'intégrales plus faciles à calculer.
Quand factoriser un polynôme sur ℝ ou sur ℂ ?
La factorisation d'un polynôme dépend du corps de nombres sur lequel on travaille. Sur ℝ (nombres réels), un polynôme est factorisé en facteurs linéaires (X-r) pour chaque racine réelle r, et en facteurs quadratiques irréductibles (aX2+bX+c avec un discriminant négatif) pour chaque paire de racines complexes conjuguées. Sur ℂ (nombres complexes), grâce au théorème fondamental de l'algèbre, tout polynôme peut être entièrement factorisé en facteurs linéaires (X-z), où z est une racine complexe, qu'elle soit réelle ou non.
Comment déterminer un polynôme par interpolation ?
L'interpolation polynomiale est une technique qui consiste à trouver un polynôme unique d'un certain degré qui passe exactement par un ensemble de points donnés. Pour n+1 points distincts (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn), il existe un unique polynôme de degré au plus n qui les interpole. Les méthodes courantes pour le déterminer incluent la résolution d'un système d'équations linéaires (en posant le polynôme sous sa forme générale, comme aX2+bX+c pour un degré 2) ou l'utilisation de formules spécifiques telles que la formule d'interpolation de Lagrange ou de Newton.