Ce document est une ressource pédagogique essentielle, conçue pour les étudiants universitaires souhaitant approfondir leurs connaissances en mécanique des solides.
Il propose des exercices corrigés détaillés, abordant des concepts fondamentaux de la cinématique et de la dynamique des corps rigides, incluant :
- La détermination de la position via les angles d'Euler.
- Les éléments de réduction des torseurs cinématique et cinétique.
- Le calcul du moment et de l'énergie cinétique, y compris par le théorème de Koenig.
- Les conditions de roulement sans glissement.
Td 3 cinematique barre - Télécharger pdf
Télécharger PDFExercice 3 : Cinématique d'une barre rigide
On reconsidère une barre AB rectiligne de longueur 2l. L'extrémité A est en mouvement sur le plan (O, y0, z0). L'extrémité B est mobile dans le plan (O, x0, y0).
Pour étudier le mouvement de la barre, on introduit deux référentiels mobiles par rapport au référentiel fixe R0(O, x0, y0, z0) :
- R1(O, x1, y1, z1) : résulte de la rotation, dans le plan (O, x0, y0), du point B d'un angle Ψ autour de l'axe Oz0.
- R2(G, x2, y2, z2) : lié au solide S (la barre), tel que x2 ∧ y2 = z2. G est le centre d'inertie de la barre AB et l'angle entre l'axe z1 et l'axe z2 est θ.
Les questions à résoudre sont les suivantes :
- Déterminer la position du point G au moyen des angles d'Euler.
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point A. Déduire les mêmes éléments au point G.
- Exprimer, dans le repère lié à la barre, les éléments de réduction du moment cinétique par rapport à R0 au point B.
- Calculer l'énergie cinétique de la barre.
1. Déterminer la position du Point G au moyen des angles d'Euler.
G se situe au milieu de la barre AB, donc BG = l.
OG = l sinθ x1 + l cosθ z0
En exprimant x1 en fonction des vecteurs de base de R0 :
OG = l sinθ (cosΨ x0 + sinΨ y0) + l cosθ z0
2. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique au point A. Déduire les mêmes éléments au point G.
Les éléments de réduction au point A :
ΩR/S = −θ̇ y1 + Ψ̇ z0
VA(R/S) = −2l θ̇ sinθ z0
Les éléments de réduction au point G :
ΩR/S = −θ̇ y1 + Ψ̇ z0
VG(R/S) = VA(R/S) + ΩR/S ∧ AG
Sachant que AG est le vecteur de A vers G, et G est le milieu de la barre de longueur 2l, AG a une norme de l.
VG(R/S) = −2l θ̇ sinθ z0 + (−θ̇ y1 + Ψ̇ z0) ∧ (−l x2)
Après calcul et transformation dans la base (x1, y1, z0) :
VG(R/S) = l θ̇ cosθ x1 + l Ψ̇ sinθ y1 − l θ̇ sinθ z0
3. Exprimer, dans le repère lié à la barre, les éléments de réduction du moment cinétique par rapport à R0 au point B.
La résultante cinétique est :
PR/S = m VG(R/S) = m (l θ̇ cosθ x1 + l Ψ̇ sinθ y1 − l θ̇ sinθ z0)
Pour le moment cinétique, on utilise le repère lié à la barre R2(G, x2, y2, z2).
La matrice d'inertie IG(S) dans ce repère (la barre étant alignée avec z2) est une matrice diagonale :
IG(S) =
[ (1/3)ml2, 0, 0 ]
[ 0, (1/3)ml2, 0 ]
[ 0, 0, 0 ]
L'expression de ΩR/S dans la base (x2, y2, z2) est le vecteur colonne :
ΩR/S =
[ Ψ̇ sinθ ]
[ −θ̇ ]
[ Ψ̇ cosθ ]
Le moment cinétique au point G est σG(R/S) = IG(S) ΩR/S. Ses composantes sont :
σG(R/S) =
[ (1/3)ml2 Ψ̇ sinθ ]
[ −(1/3)ml2 θ̇ ]
[ 0 ]
Par application du théorème de transport du moment cinétique au point B :
σB(R/S) = σG(R/S) + BG ∧ PR/S
En développant le produit vectoriel BG ∧ PR/S (où BG = l z2 si la barre est alignée avec z2) :
BG ∧ PR/S = l z2 ∧ m (l θ̇ cosθ x1 + l Ψ̇ sinθ y1 − l θ̇ sinθ z0)
Après substitution des vecteurs de base et calcul, les composantes de BG ∧ PR/S dans la base (x2, y2, z2) sont :
BG ∧ PR/S =
[ m l2 (Ψ̇ sin2θ + θ̇ sinθ cosθ) ]
[ m l2 (θ̇ sinθ cosθ − Ψ̇ sinθ) ]
[ −m l2 θ̇ cosθ ]
Le moment cinétique σB(R/S) est alors la somme des composantes de σG(R/S) et de BG ∧ PR/S.
4. Calculer l'énergie cinétique de la barre.
L'énergie cinétique de la barre T est donnée par le théorème de Koenig :
T = (1/2) m VG(R/S)2 + (1/2) σG(R/S) ⋅ ΩR/S
Après calcul et simplification, l'énergie cinétique de la barre est :
T = (1/6)ml2 (θ̇2 + Ψ̇2 sin2θ)
Exercice 4 : Roulement d'un disque sans glissement
Dans un plan fixe rapporté au repère orthonormé (O, x0, y0), on se donne :
- Un cerceau (C) fixe de centre O et de rayon R.
- Un disque (D) de centre G, de masse m et de rayon a < R, situés dans le même plan π.
Le disque (D) roule sans glisser à l'intérieur de (C).
Les questions à résoudre sont les suivantes :
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique du disque au point G.
- Déterminer les éléments de réduction du torseur cinétique du disque au point G.
- Déduire l'énergie cinétique du disque (D), en utilisant le Théorème de Koenig.
- Déterminer la condition de roulement sans glissement. Déduire l'énergie cinétique de ce cas.
1. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique du disque au point G.
La résultante cinématique (vecteur rotation) :
ΩR/D = (Ψ̇ + θ̇) μ
où μ est le vecteur unitaire normal au plan (O, x0, y0).
La vitesse au point G : Le point G décrit un mouvement de rotation d'angle Ψ sur un cercle de centre O et de rayon (R-a).
OG = (R-a) υ1 (où υ1 est un vecteur unitaire radial)
VG(R/D) = d(OG)/dt = (R-a) Ψ̇ υθ (où υθ est un vecteur unitaire tangentiel)
2. Déterminer les éléments de réduction du torseur cinétique du disque au point G.
La matrice d'inertie du disque (D) au point G, dans un repère (w, v, u) où u est l'axe de rotation du disque (axe z) est une matrice diagonale :
IG(D) =
[ (1/4)ma2, 0, 0 ]
[ 0, (1/4)ma2, 0 ]
[ 0, 0, (1/2)ma2 ]
La résultante cinétique est :
PR/D = m VG(R/D) = m (R-a) Ψ̇ υθ
Le moment cinétique en G est σG(R/D) = IG(D) ΩR/D. Sachant que ΩR/D a pour composantes (0, 0, Ψ̇ + θ̇) dans la base (w, v, u) :
σG(R/D) =
[ 0 ]
[ 0 ]
[ (1/2)ma2 (Ψ̇ + θ̇) ]
3. Déduire l'énergie cinétique du disque (D), en utilisant le Théorème de Koenig.
L'énergie cinétique du disque T est donnée par le théorème de Koenig :
T = (1/2) m VG(R/D)2 + (1/2) σG(R/D) ⋅ ΩR/D
En substituant les expressions de VG(R/D) et σG(R/D) :
T = (1/2) m ((R-a) Ψ̇)2 + (1/2) (1/2)ma2 (Ψ̇ + θ̇)2
T = (1/2) m (R-a)2 Ψ̇2 + (1/4) ma2 (Ψ̇ + θ̇)2
4. Déterminer la condition de roulement sans glissement. Déduire l'énergie cinétique de ce cas.
La condition de roulement sans glissement stipule qu'au point de contact I entre le disque (D) et le cerceau (C), le vecteur vitesse relative du point I lié au disque par rapport au cerceau doit être nul, soit VI(D/C) = 0.
Comme (C) est fixe, cela équivaut à VI(D/R0) = 0.
On calcule VI(D/R0) en utilisant la formule de composition des vitesses :
VI(D/R0) = VG(D/R0) + ΩR/D ∧ GI
où GI est le vecteur du centre G au point de contact I, donc GI = −a υ1 (vecteur radial opposé à OG).
VI(D/R0) = (R-a) Ψ̇ υθ + (Ψ̇ + θ̇) μ ∧ (−a υ1)
VI(D/R0) = (R-a) Ψ̇ υθ − a (Ψ̇ + θ̇) μ ∧ υ1
Sachant que μ ∧ υ1 = υθ :
VI(D/R0) = (R-a) Ψ̇ υθ − a (Ψ̇ + θ̇) υθ
La condition de roulement sans glissement (VI(D/R0) = 0) est donnée par :
(R-a) Ψ̇ = a (Ψ̇ + θ̇)
En utilisant cette condition pour exprimer Ψ̇ en fonction de (Ψ̇ + θ̇) :
Ψ̇ = (a / (R-a)) (Ψ̇ + θ̇)
En substituant cette relation dans l'expression de l'énergie cinétique T :
T = (1/2) m (R-a)2 [ (a / (R-a)) (Ψ̇ + θ̇ ) ]2 + (1/4) ma2 (Ψ̇ + θ̇)2
T = (1/2) m (R-a)2 (a2 / (R-a)2) (Ψ̇ + θ̇)2 + (1/4) ma2 (Ψ̇ + θ̇)2
T = (1/2) m a2 (Ψ̇ + θ̇)2 + (1/4) ma2 (Ψ̇ + θ̇)2
Ainsi, l'énergie cinétique dans le cas de roulement sans glissement s'écrit :
T = (3/4) ma2 (Ψ̇ + θ̇)2
Foire Aux Questions (FAQ)
Question 1 : Qu'est-ce qu'un torseur cinématique ?
Un torseur cinématique est un outil mathématique utilisé en mécanique pour représenter l'ensemble des vitesses d'un corps en mouvement. Il est défini par un vecteur rotation (la résultante du torseur) et un vecteur vitesse en un point donné (le moment du torseur).
Question 2 : En quoi consiste le théorème de Koenig ?
Le théorème de Koenig permet de décomposer l'énergie cinétique totale d'un solide en deux parties distinctes : l'énergie cinétique de translation de son centre de masse et l'énergie cinétique de rotation autour de ce même centre de masse.
Question 3 : Quelle est la signification physique de la condition de roulement sans glissement ?
La condition de roulement sans glissement signifie qu'au point de contact entre deux corps (par exemple, un pneu sur la route, ou un disque dans un cerceau), il n'y a pas de mouvement relatif entre les surfaces. La vitesse relative au point de contact est nulle, ce qui implique l'absence de frottement dynamique et est une hypothèse simplificatrice importante dans de nombreux problèmes de mécanique.