Ce document, conçu pour les étudiants universitaires en mécanique, présente une série d'exercices pratiques sur les théorèmes énergétiques et la dynamique du solide indéformable.
Il aborde des concepts fondamentaux et leur application, couvrant notamment :
- Le calcul du moment cinétique et de l'énergie cinétique.
- L'application des théorèmes de la résultante et du moment dynamique pour établir les équations du mouvement.
- L'analyse des torseurs cinétiques et dynamiques.
- L'utilisation des angles d'Euler pour décrire la cinématique des solides.
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Exercice 1
Un disque (D) de masse m et de rayon a est en mouvement de rotation autour du point O, origine d'un repère fixe R0(O, u0, v0, w0). La rotation s'effectue dans le plan (O, u0, v0). Un repère R lié au disque (D) se déduit de R0 par un angle θ tel que l'angle entre le vecteur u (lié au disque) et le vecteur u0 (du repère fixe) est θ. On suppose qu’en plus de son poids, le disque est soumis à :
- Des efforts donnés au point M représentés par leur torseur τd, ayant pour :
- Résultante : Rd(M) = 0
- Moment : Md = −mk2HM
- Des efforts de liaisons au point O représentés par leur torseur τL, ayant pour :
- Résultante : RL(O) = inconnue
- Moment : ML(O) = inconnu
Les questions sont les suivantes :
- Déterminer le moment cinétique du disque en O.
- Déterminer l’énergie cinétique.
- En appliquant le théorème de la résultante dynamique et celui du moment dynamique, déterminer les équations du mouvement du disque.
- En supposant qu’à l’instant initial θ0 = 0 et que la vitesse angulaire initiale (dérivée de θ par rapport au temps) est ω, déterminer les composantes de RL suivant les vecteurs u0 et v0.
- Déterminer l’intégrale première de l’énergie.
Exercice 2
Soit R0(O, u0, v0, w0) un repère orthonormé direct par rapport auquel on étudie le mouvement d’un système Σ, constitué de deux solides (T) et (D) :
- (T) est une tige rectiligne homogène de section négligeable, de longueur AT = 2l, de masse m, astreinte à rester parallèle au plan (O, u0, v0). L'une de ses extrémités A reste fixe sur l'axe (O, w0). On note B le milieu de la tige (T), tel que AB = l. La position de A est donnée par OA = Rw0.
- (D) est un disque homogène de rayon R, de masse M, dont le centre C décrit la tige (T). L’axe du disque reste constamment confondu avec la tige (T). Au cours du mouvement, le disque (D) reste en contact avec le plan (O, u0, v0) en un point de sa circonférence, noté I.
La tige (T) est liée à un repère R1(O, u1, v1, w1) orthonormé direct, de telle sorte que AC = λ u1, avec λ > 0. On définit les angles d’Euler :
- ψ est l'angle entre u0 et u1, mesuré autour de w0 (angle de précession).
- θ est l'angle de rotation propre du disque (angle de spin), mesuré autour de l'axe de la tige (u1).
Les questions sont les suivantes :
- Déterminer les vitesses de rotation de la tige (T) et du disque (D).
- Déterminer, au point C, les éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique associés au mouvement du système Σ « (T) + (D) » par rapport à R0.
- Déduire le moment cinétique et le moment dynamique au point I.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique ?
En mécanique, un torseur est un outil mathématique utilisé pour représenter l'ensemble des actions mécaniques (forces et moments) exercées sur un solide ou un système de solides en un point donné. Il est composé d'une résultante (la somme vectorielle des forces) et d'un moment (la somme des moments de toutes les forces par rapport au point choisi).
Quel est le principe du théorème de la résultante dynamique ?
Le théorème de la résultante dynamique (ou deuxième loi de Newton pour un système) stipule que la somme vectorielle de toutes les forces extérieures s'exerçant sur un système est égale à la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement totale du système. Mathématiquement, la somme des Fext = dP/dt, où P est la quantité de mouvement totale.
Comment déterminer l'intégrale première de l'énergie ?
L'intégrale première de l'énergie, souvent appelée conservation de l'énergie mécanique, est obtenue en intégrant l'équation du mouvement si le système est conservatif. Elle exprime que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante au cours du temps, si seules des forces conservatives agissent et qu'il n'y a pas de travail de forces non conservatives.