Ce document est destiné aux étudiants de niveau universitaire et traite de l'analyse des systèmes dynamiques, en particulier des systèmes masse-ressort et de torsion. Il couvre les notions suivantes:
- Détermination des fréquences naturelles et des modes propres des systèmes masse-ressort et de torsion.
- Conditions initiales pour l'excitation des modes de vibration.
- Calcul des fréquences angulaires et verticales d'une voiture.
- Étude des modes de vibration d'un double pendule couplé par un ressort.
- Analyse des oscillations libres d'un système dynamique.
Cours Frequence Naturelle Modes Masse Ressort - Vibrations
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4.1. Trouver les fréquences naturelles et la forme des modes du système masse-ressort
Les équations du mouvement sont :
mx kx kx
+ −=
20
1 12
mx kx kx
− +=
20
21 2
On obtient l’équation suivante pour les fréquences :
24 2 2 m km k ωω − 4 30 +=
Les fréquences naturelles sont :
ω = ; 23km
k
ω = .
1
m
Les modes propres sont :
11
⎡ ⎤ ⎡⎤ == ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ −
uu
; 11
12
4.2. Trouver les conditions initiales nécessaires à l’excitation des premier et second modes séparément
Pour des conditions initiales arbitraires le mouvement des masses est décrit par :
⎛⎞ ⎛ ⎞
3 ( ) cos cos
kk xt X t X t
(1) (2)
φ φ
= ++ + ⎜⎟ ⎜ ⎟
1 1 11 2
mm
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞ ⎛ ⎞
3 ( ) cos cos
kk xt X t X t
(1) (2)
φ φ
= +− + ⎜⎟ ⎜ ⎟
2 1 11 2
mm
⎝⎠ ⎝ ⎠
Les constantes (1) (2)
1 1 12 XX, ,, φ φ peuvent être obtenues en fonction des conditions initiales :
12
m X xx xx 1 (0) (0) (0) (0) 2
⎧⎫ =− + + + ⎨⎬ ⎩⎭
22 (1) [] []
1 12 12 k
12
m X xx xx 1 (0) (0) (0) (0) 23
⎧⎫ =− − + + − ⎨⎬ ⎩⎭
22 (2) [] []
1 12 12 k
⎧⎫ ⎪⎪ −+ = ⎨⎬ ⎪⎪ + ⎩⎭
[]
mx x
(0) (0) tan(0) (0)
φ 1
1 12
−
[]
kx x
12
⎧⎫ ⎪⎪ − = ⎨⎬ ⎪⎪ −+ ⎩⎭
[]
mx x
(0) (0) tan3 (0) (0)
−
φ
2
Le mode 1 est décrit par :
1 12
[]
kx x
12
⎧ ⎛⎞⎫ ⎪ ⎜⎟ + ⎪ ⎪ ⎝⎠⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎛⎞⎪ ⎜⎟ + ⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎝⎠
k Xt
(1)
cos
φ
(1)
11 m
xt
()
k Xt
(1)
cos
φ
11
m
On obtient les conditions suivantes : 12 xx (0) (0) = et 12 xx (0) (0) =
Le mode 2 est décrit par :
⎧ ⎛⎞ ⎫ ⎪ ⎜⎟ + ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎛⎞⎪ −+ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎝⎠
3
k Xt
(2)
cos
φ
(2)
()
12 m
xt
3
k Xt
(2)
cos
φ
12
m
On obtient les conditions suivantes : 12 xx (0) (0) = − et 12 xx (0) (0) = −
4.3. Trouver les fréquences naturelles et la forme des modes du système en torsion
Les équations du mouvement sont :
θ θθ
J kk
+ −=
20
01 1 2
tt
θθθ
− +=
20
J kk
02 1 2
tt
On obtient l’équation en fréquence suivante :
42 2 2
00 25 0 tt ωω J Jk k − +=
Soit les fréquences naturelles :
ω
k
() t
=−
1
0
4
J
5 17
ω
k
() t
=+
2
4
J
0
Et les rapports d’amplitudes :
5 17
r
1
r
2
( )
− =−
5 17
24
()
+ =−
5 17
24
4.4. Déterminer les fréquences angulaire et verticale et la position des nœuds d’oscillation d’une voiture
Sous forme matricielle, l’équation du mouvement peut être écrite sous la forme :
( ) ( )
⎡⎤ + −− ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
mx x k k k l kl
00
fr f r
12
+= ⎢⎥ ⎢⎥ ⎨⎬ ⎨⎬ ⎨⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ −+ ⎣⎦
2 22
mr θθ k l kl k l kl
00
() ()
12 1 1
fr f r
En calculant le déterminant associé, on trouve l’équation à résoudre en fréquence :
42 8.1 999 24,750 0 ωω − +=
Une fois trouvées les fréquences naturelles, on peut calculer les rapports d’amplitudes de chaque mode.
Pour de petits angles, tangente peut être approximée par l’angle lui-même, on obtient ainsi la position des nœuds tel que montré sur la figure suivante.
4.5. Déterminer les modes de vibration de ce double pendule couplé par un ressort de raideur k
Les équations du mouvement sous forme matricielle s’écrivent :
22
⎧⎫ ⎡⎤ +− ⎡ ⎤ ⎧⎫ ⎧⎫
( )
ka mgl ka
θ θ
10 0
2 1 1
+= ⎢⎥ ⎢⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨⎬ ⎣ ⎦ ⎩⎭ ⎩⎭ −+ ⎩⎭ ⎣⎦
mlka ka mgl
θ θ
01 0
22
()
2 2
On détermine les fréquences naturelles du système en résolvant l’équation tirée du calcul du déterminant (équation caractéristique) :
2
g
ω = et
2 2 2 g ka ω =+
1
l
l ml
On trouve le rapport d’amplitude en cherchant les vecteurs propres associés à chaque fréquence.
4.6. Si le pendule couplé (en question 4.5) est mis en mouvement avec des conditions initiales différent des modes propres, les oscillations contiendront une combinaison de chacun des modes
Par exemple, si les conditions initiales sont 1 2 12 θ θ θθ (0) , (0) 0, (0) (0) 0 = A = == , la réponse sera :
11 ( ) cos cos 22
θ ωω
t A tA t
=+
1 12
11 ( ) cos cos 22
θ ωω
t A tA t
=−
2 12
En considérant le cas où le couplage du au ressort est faible, montrer que le phénomène de battement prend place entre les deux pendules.
On peut réécrire le mouvement comme suit :
ωω ωω θ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
12 12
( ) cos cos 22
tA t t 1
ωω ωω θ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
12 12
( ) sin sin 22
tA t t
2
2
Comme () ω12 −ω est très faible (rappel : 1gl ω = et
2 2 2 g ka
ω =+
l ml
et k est très petit), θ1(t) et θ2(t) agissent avec des oscillations de fréquences () 12 1 ω +≈ ωω 2 mais variant en amplitude selon la fréquence de battement () 12 ωω− 2 .
4.7. Déterminer les vibrations libres du système montré à la figure suivante pour les conditions initiales
x
(0) 2.0
⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬⎨ ⎬ =
x
(0) 0
1
x
(0) 4.0
⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎨⎬ =
et 1
⎩⎭ ⎩⎭
x
(0) 0
⎩⎭ ⎩⎭
2
2
Une fois l’équation du mouvement déterminée, les fréquences naturelles et le rapport d’amplitude associés à chaque mode trouvé, on peut la proportion de chaque et sa phase par rapport aux conditions initiales. Il en résulte le système suivant :
⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ =+
2.0 0.732 2.732
ψψ
cc
sin sin
1 12 2
4.0 1.000 1.000
⎩⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ =+
0 0.732 2.732
ω ψω ψ
cc
cos cos
11 1 2 2 2
0 1.000 1.000
⎩⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Une fois résolu, on obtient le mouvement libre du système correspondant aux conditions initiales données.
FAQ
Qu'est-ce qu'un mode propre dans un système masse-ressort?
Un mode propre est une forme de vibration naturelle d'un système où toutes les parties du système oscillent à la même fréquence et avec des amplitudes relatives fixes.
Comment déterminer les fréquences naturelles d'un système en torsion?
Les fréquences naturelles d'un système en torsion peuvent être déterminées en résolvant l'équation caractéristique obtenue à partir des équations du mouvement du système.
Qu'est-ce que le phénomène de battement dans un système de pendules couplés?
Le phénomène de battement se produit lorsque deux pendules couplés oscillent avec des fréquences légèrement différentes, ce qui entraîne une variation périodique de l'amplitude de leurs oscillations.