Ce document est un devoir de l'École Polytechnique de Montréal, Département de Génie Mécanique, destiné aux étudiants de MEC2435 Vibrations. Il couvre les notions suivantes:
- Analyse des vibrations d'un cylindre roulant sur une plateforme.
- Étude des oscillations d'un tambour et d'une tige reliés par un câble extensible.
- Réponse vibratoire d'un câble encastré aux deux extrémités.
- Conditions aux limites et modes propres d'un câble sous tension axiale.
Exercices TD Vibrations Automne 2017 - Vibrations
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MEC2435 VIBRATIONS Automne 2017
Devoir 3 8 nov. 2017 - 29 nov. 2017
1. Le cylindre de rayon R et de masse m roule sans glissement sur la plateforme de masse m. Une force F(t) est appliquée à la plateforme. Le disque est soumis à un couple C(t).
Figure 1
(a) En utilisant les coordonnées x1 et x2 (déplacements absolus des centres de masses) comme définis dans la figure, obtenir les équations du mouvement sous forme matricielle:
Les paramètres du système sont :
- m = 2 kg
- k = 8 N/m
- d = 3 m
- R = 2 m
- c = 9 Ns/m
(b) Déterminer les fréquences propres et les modes propres du système utilisant les matrices M et K. Décrire en quelques mots le mouvement physique du système pour des vibrations en mode 1 et en mode 2.
(c) En passant par la matrice modale [P], obtenir les équations modales découplées selon la coordonnée principale Y.
(d) Trouver la réponse vibratoire du système quand le couple C(t) = -ωe^t et la force F(t) = sin(ωt).
2. Le tambour de masse m peut osciller dans le plan vertical autour du pivot C. Son moment d’inertie (autour de centre de masse) est I. La tige uniforme de masse M et de longueur L (moment d’inertie ML^2/12) peut pivoter autour du point O. La tige est reliée au tambour par un câble extensible de rigidité k1. Le tambour est soumis à l’action d’un couple T(t). Le système non forcé est en équilibre statique à la position θ1 = θ2 = 0.
Figure 2
(a) Obtenir les expressions pour l’énergie cinétique T et l’énergie potentielle V pour ce système à 2 degrés de liberté.
(b) Supposant des petits déplacements, obtenir les équations du mouvement sous la forme matricielle:
Pour les questions suivantes, les paramètres du système sont:
- m = 20 kg
- M = 10 kg
- I = 400 kgm^2
- k1 = 75 N/m
- k2 = 400 N/m
- G = 2 kgm^2
- R = 3 m
- r = 1 m
- L = 3 m
(c) Déterminer les fréquences propres (ω1 et ω2) et les modes propres du système; négliger l’effet de la gravité dans la matrice K.
(d) En passant par la matrice modale [P], obtenir les équations modales découplées selon la coordonnée principale Y.
(e) Trouver la réponse vibratoire forcée du système pour le couple T(t) montré à la figure 3; la période τ = 20 secondes. On considère seulement les 3 premiers termes de la série de Fourier.
(f) En se basant sur votre réponse à la question (e), obtenir un estimé de la force transmise à la tige par le câble de rigidité k2 à t = 20τ secondes.
Figure 3
3. Calculer la réponse vibratoire w(x, t) d’un câble, de longueur L=1 m, encastré aux deux extrémités. Les conditions initiales sont:
(a) w(x, 0) = 0, (∂w/∂t)(x, 0) = 0, (∂w/∂x)(0, t) = 0, (∂w/∂x)(L, t) = 0.
4. Le câble présenté à la Figure 4 est maintenu sous tension axiale (τ) à l’extrémité x=0 et fixé à l’extrémité x=L. Il est libre (dans la direction transverse). L’équation du mouvement transverse w(x, t) du câble est :
Figure 4
(a) Écrire les conditions aux limites du câble.
(b) Effectuant la séparation de variables w(x, t) = X(x)T(t), obtenir les valeurs propres et modes propres du câble; dessiner les trois premiers modes.
(c) Écrire la solution générale de l’équation de mouvement et, pour un câble de longueur L = 1 m, trouver la réponse vibratoire pour les conditions initiales :
FAQ
1. Qu'est-ce que la réponse vibratoire d'un système?
La réponse vibratoire d'un système est la manière dont ce système réagit aux forces appliquées, en termes de déplacements, vitesses et accélérations.
2. Comment déterminer les fréquences propres d'un système?
Les fréquences propres d'un système peuvent être déterminées en résolvant le problème aux valeurs propres de la matrice de raideur K et de la matrice de masse M.
3. Qu'est-ce que l'amortissement proportionnel?
L'amortissement proportionnel est un type d'amortissement où la matrice d'amortissement C est proportionnelle à la matrice de masse M et à la matrice de raideur K.