Ce document contient un examen de contrôle pour le cours MEC2435 - Vibrations, destiné aux étudiants de l'École Polytechnique. Il couvre les notions suivantes:
- Petits mouvements angulaires de la barre uniforme A.
- Moment d'inertie équivalent et amortissement équivalent.
- Rigidité équivalente du système de ressorts DB.
- Équation du mouvement du système.
- Coefficient d'amortissement pour un système en amortissement critique.
- Réponse vibratoire forcée et amplitude de la force transmise.
- Facteur d'amortissement et rigidité des ressorts pour un moteur électrique.
- Modélisation d'un système à deux degrés de liberté.
Examen Vibrations MEC2435 - Vibrations
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MEC2435 - Vibrations
Examen de contrôle - le 13 mars 2009
Professeur : Niuki Mureithi
Durée : 130 minutes
Documentation : manuel seulement
Problème 1 (12 points)
On s'intéresse aux petits mouvements angulaires de la barre uniforme A, de masse mo, autour du pivot P. La barre est connectée au disque C, de rayon rc, par une tige rigide CE de masse négligeable. Le disque C est de masse m et tourne sans glissement. Le disque D est de masse mo et de rayon rd, où ro L. Le système de ressorts DB est orienté suivant une direction faisant un angle Q avec l'horizontal. Le mouvement de la base B est donné par y(t). Le dessin montre le système dans sa position d'équilibre statique.
(a) pour une base B immobilisée (fixée) à y(t) = 0, déterminer le moment d'inertie équivalent I et l'amortissement équivalent c, par rapport à de petits mouvements angulaires θ de la barre A.
(b) Obtenir la rigidité équivalente k en supposant que l'orientation Q du système de ressorts DB est constante pour de petites oscillations. On ne néglige pas l'effet de la gravité.
(c) Supposant maintenant un mouvement de la base y(t) et utilisant les résultats des questions (a) et (b), obtenir l'équation du mouvement du système.
Pour les questions (d)-(e) ci-dessous :
I = 40 kg·m², k = 100 kN/m, k = 30 kN/m, L = 4 m et Q = 30°.
(d) Déterminer le coefficient d'amortissement c nécessaire à l'obtention d'un système en amortissement critique.
(e) Pour le système en amortissement critique, obtenir la réponse vibratoire forcée (solution particulière) θ(t) pour un mouvement de la base y(t) = 0.05sin(50t), et l'amplitude de la force transmise à la barre au point D.
Problème 2 (5 points)
Le moteur électrique de masse totale 60 kg est contraint à se déplacer dans la direction verticale et peut être modélisé comme un système à un degré de liberté, utilisant la coordonnée x. Lors d'un test de vibration libre, on observe que l'amplitude de vibration après 5 cycles complets est réduite à 30% de sa valeur initiale. À la vitesse de rotation de 2000 tours/minute, le moteur vibre avec une amplitude de 3 mm. L'amplitude de la force transmise au point A par l'amortisseur vaut 900 N.
(a) Déterminer le facteur d'amortissement ζ.
(b) Déterminer la rigidité k de chacun des ressorts.
(c) Déterminer l'amplitude de la force de balourd.
Problème 3 (8 points)
On veut modéliser le système présenté à la Fig.3, utilisant les coordonnées x1 et x2. Noter que x1 est le déplacement du disque relatif au point A sur le chariot.
(a) Obtenir l'expression de l'énergie cinétique et celle de l'énergie potentielle du système.
(b) Obtenir l'équation du mouvement du système en tenant compte de la force externe f(t).
(c) Question subsidiaire (2 pts) : Trouver la fonction de transfert T(x1(t), f(t)) reliant le déplacement x1(t) à la force f(t).
FAQ
Qu'est-ce que le moment d'inertie équivalent ?
Le moment d'inertie équivalent est une mesure de la résistance d'un objet à la rotation autour d'un axe. Il est utilisé pour simplifier les calculs de dynamique des systèmes complexes.
Comment déterminer la rigidité équivalente d'un système de ressorts ?
La rigidité équivalente d'un système de ressorts peut être déterminée en utilisant les lois de Hooke et en considérant la configuration des ressorts (en série, en parallèle, etc.).
Qu'est-ce que l'amortissement critique ?
L'amortissement critique est le niveau d'amortissement nécessaire pour qu'un système revienne à son état d'équilibre sans osciller. Il est souvent utilisé pour éviter les vibrations excessives.