Ce document contient une série de chapitres sur les solutions de problèmes de mécanique, destiné aux étudiants de niveau universitaire. Il couvre les notions suivantes:
- Détermination du ressort équivalent pour différents systèmes de ressorts.
- Calcul de la masse équivalente et de l'amortisseur équivalent.
- Analyse des oscillations et des mouvements harmoniques.
- Étude des systèmes masse-ressort-amortisseur.
Exercices TD Mecanique des Solides - Vibrations
Télécharger PDFChapitre 1 - Solutions
1. Déterminer le ressort équivalent du système de la figure suivante.
Corrigé :
Rappel : -2 ressorts en parallèle, les raideurs s’ajoutent. -2 ressorts en série, les inverses des raideurs s’ajoutent.
Ainsi on peut regrouper les 2 k1 en k1eq=2.k1, de même 2 k3 en k3eq=2.k3. On considère ensuite k1eq, k2, k3eq tous les trois en séries donnant k123eq. Ce ressort équivalent est en parallèle avec k4. Pour finir (k4+k123eq) est en série avec k5.
Il ne reste plus qu’à exprimer analytiquement le ressort équivalent résultant.
2. Déterminer le ressort équivalent du système de la figure suivante selon la variable θ.
Corrigé :
Pour déterminer le ressort équivalent selon la variable θ, on peut exprimer l’énergie potentielle du système selon la variable θ.
Pour les ressorts de couple, on obtient () 2 U kk t tt =+ θ
Pour les ressorts linéaires, on obtient () 22 22 U k k l kl l =+ + θ θ
Finalement : () 22 eq t t 1 2 1 32 1 2 k k k l kl k k = + + ++
3. Une machine de 500kg est montée sur une barre métallique simplement supportée d’une longueur de 2m ayant une section rectangulaire (profondeur : 0.1m, largeur : 1.2m) et un module d’Young E=2.06 1011 N.m-2. Afin de réduire la déflection verticale de la barre, un ressort de raideur k est attaché en son milieu, voir figure suivante. Déterminer la valeur de k nécessaire à une réduction de la déflection de la barre d’un tiers par rapport à sa valeur originale. On suppose la masse de la barre négligeable.
Corrigé :
EI kl = . On a donc l’équilibre :
La barre peut être modélisée par un ressort 3 barre mg xk mg k x = barreΔ 1 soit 1 Δ= barre Une fois le ressort k ajouté, on obtient : mg xkk mg k k x = +Δ () barre 2 , soit 2 Δ=+ barre 2 Pour obtenir k, on résout 21 Δx =Δx .
4. Trouver la masse équivalente, selon la coordonnée x, de l’assemblage montré à la figure suivante.
Corrigé :
Pour déterminer la masse équivalente, on utilise l’énergie cinétique : 22 a T m x mx mx J mx m x J x 1 1 1 1 1 1 11 θ ⎛⎞ ⎛⎞ = = ++ = + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 22 2 2 2 2 2 11 2 1 eq O O 2 222 22 2 22 a m mm J 1 ⎛⎞ ⎛⎞ =+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 21 eq O bb
5. Trouver l’amortisseur équivalent pour les cas suivants :
i. Les trois amortisseurs sont en parallèle.
ii. Les trois amortisseurs sont en série.
iii. Les trois amortisseurs sont connectés à une barre rigide (figure suivante), et l’amortisseur équivalent est situé en c1.
Corrigé :
i. et ii. De la même manière qu’on l’a montré pour les ressorts : -2 amortisseurs en parallèle, les amortissements s’ajoutent. -2 amortisseurs en série, les inverses des amortissements s’ajoutent.
iii. La cinématique du système donne : θ = == xx x 12 3 lll 123 Utilisant la fonction de dissipation de Rayleigh: 22 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ l l U c x cx cx cx c c c x 1 111 1 2222 2 2 3 = = + + =+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 1 11 2 2 3 3 1 2 3 1 2 222 2 eq ll 11
6. La vitesse maximum atteinte par la masse d’un oscillateur harmonique simple est 10 cm.s-1, et la période d’oscillation est 2 s. Si la masse est lâchée avec un déplacement initial de 2 cm, trouver (a) l’amplitude, (b) la vitesse initiale, (c) l’accélération maximale, et (d) l’angle de phase.
Corrigé : L’oscillateur a un mouvement At sin( ) ω +ϕ . On a VA max = ω , 2 T π ω = , sin XA initial = ϕ . Il ne reste plus qu 'à calculer A,ω et φ. L’accélération maximale est Aω2.
7. Exprimer le temps correspondant à la réponse maximale d’un système en amortissement critique. Déterminer aussi la réponse maximum.
Corrigé :
La réponse d’un système à amortissement critique est : 00 0 ( ( )) nt n x x v x te ω ω − =++ . On utilise la dérivée pour déterminer temps correspondant à la réponse maximale. On en déduit ensuite la réponse maximum.
8. Une machine de 20kg est montée sur des amortisseurs et des ressorts tel que montré à la figure suivante. La raideur totale des ressorts est 8kN.m-1 et l’amortissement total est 130N.s.m-1. Si le système est initialement à l’équilibre et une vitesse de 100mm.s-1 est impulsée à la masse, déterminer (a) le déplacement et la vitesse de la masse en fonction du temps, et (b) le déplacement à t=10s.
Corrigé :
ωn=20 rad.s-1, ζ=0.1625 et ωd=19.7 rad.s-1. (a) En substituant : − 3.25 t xe A t A t =+ ( cos(19.7 ) sin(19.7 )) 12 −− tt 3.25 3.25 =− + + − + x e A tA t e A tA t 3.25 ( cos(19.7 ) sin(19.7 )) 19.7 ( sin(19.7 ) cos(19.7 )) 1 2 12 x(0) 0, (0) 100 . x mm s− == donc A1=0 et A2=5.07 que l’on a plus qu’à remplacer dans les expression précédentes.
(b) Le déplacement à t=1s est trouvé en substituant t dans l’équation du mouvement, on trouve x(t=1s)=0.162mm.
9. Trouver l’équation du mouvement et la fréquence naturelle du système montré figure suivante.
Corrigé :
Pour de petits déplacements, l’équation du mouvement est déterminée à partir de l’équilibre des moments : 22 ml ka θ =− θ soit 22 ml ka θθ + = 0 . La fréquence naturelle du système est ka 2 ml .
10. Représenter la dynamique du système x + 320 xx += ayant les conditions initiales 1 x(0) 1 . ms− = et x(0) 2 = m .
11. Une voiture de 2000kg est à l’origine d’une déflexion statique de ses suspensions de 0.02 m. Déterminer la fréquence naturelle de la voiture dans la direction verticale en supposant l’amortissement négligeable.
Corrigé :
En supposant l’amortissement négligeable, la déflexion statique des suspensions de la voiture compense le poids du véhicule. En modélisant les suspensions de la voiture par un amortisseur de rigidité k, l’équilibre des forces est : mg k x = Δ soit mg kx = Δ . On en déduit la fréquence naturelle du véhicule : n ω = km g x =Δ .
12. Un cylindre de masse w et de rayon r tourne sans glissement sur une surface cylindrique de rayon R, tel que montré à la figure suivante. Déterminer l’équation du mouvement pour de faibles amplitudes d’oscillations autour du point d’équilibre. La condition de roulement sans glissement est : rφ=Rθ.
Corrigé :
Pour déterminer l’énergie cinétique du système en notant que le cylindre est animé à la fois d’un mouvement de translation et de rotation. La vitesse de rotation du centre du cylindre est () R − r θ alors que sa vitesse de rotation est (φ −= − θθ ) () Rr 1 en utilisant la condition de roulement sans glissementφ = (R r)θ . 2 2 2 2 11 3 2 1 ωω ω θ θθ ⎡⎤ ⎛⎞ = −+ −= − ⎡⎤ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎣⎦ ⎝⎠ rR T Rr Rr . On obtient : () () 2 22 4 g gr g L’énergie potentielle en utilisant la position θ=0 comme référence est U Rr = −− ω ( )(1 cosθ ) ω θ ω θθ ⎡⎤ − +− = ⎢⎥ ⎣⎦ On obtient l’équation du mouvement suivante : () () 3 2sin 0 2Rr Rr g 2 0 g θθ + = − Pour de petits déplacements : () 3 Rr 2 g ω = − . La fréquence naturelle de rotation est : () 3 n R r
13. On considère un système masse-ressort-amortisseur, m=50kg, k=5000N.m-1. Trouver :
(a) l’amortissement critique.
(b) La fréquence naturelle amortie quand c=cc/2.
(c) Le décrément logarithmique.
Corrigé :
Le système est régit par l’équation suivante : mx cx kx + += 0 . (a) l’amortissement critique est 2 c c km = . (b) Pour c=cc/2, ζ=1/2 et 32 ωdn = ω π δ = . (c) 23
14. Trouver l’équation différentielle du système montré figure suivante. Déterminer une expression pour (a) l’amortissement critique, (b) la fréquence naturelle des oscillations amorties.
Corrigé :
L’équation du mouvement est déduite de l’équilibre des moments : 2 2 22 0 l ml ka ca soit m c k θ θ θ θθθ ⎛⎞ =− − + + = ⎜⎟ ⎝⎠ a L’amortissement critique est c km l a c = 2 ( ). On en déduit une expression pour la fréquence naturelle amortie.
15. Déterminer l’équation différentielle du mouvement et établir l’amortissement critique du système montré figure suivante.
Corrigé :
L’énergie cinétique du système est : I T mx I mx m m x 111 1 θ ⎛⎞ = + + = ++ ⎜⎟ ⎝⎠ 22 2 2 0 1 0 2 12 2 222 2 r L’énergie potentielle du système est : 11 ; ( - deformation du ressort ) 22 2 22 U kx kx x k =+ 22 12 2 Dissipation de Rayleigh : 1 2 D cx = 2 On en déduit l’équation du mouvement par l’équation de Lagrange puis l’amortissement critique. Équation de Lagrange : dL LD Q dt x x x ⎛⎞ ∂ ∂∂ ⎜⎟ −+ = ⎝⎠ ∂ ∂∂ ; L=T-V
FAQ
1. Comment déterminer le ressort équivalent d'un système de ressorts en parallèle et en série ?
Pour les ressorts en parallèle, les raideurs s’ajoutent. Pour les ressorts en série, les inverses des raideurs s’ajoutent.
2. Quelle est la formule pour calculer la fréquence naturelle d'un système masse-ressort ?
La fréquence naturelle d'un système masse-ressort est donnée par la formule : ω = √(k/m), où k est la raideur du ressort et m est la masse.
3. Comment déterminer l’amortissement critique d'un système masse-ressort-amortisseur ?
L’amortissement critique est donné par la formule : c = 2√(km), où k est la raideur du ressort et m est la masse.