Ce document est un examen de contrôle pour le cours MEC2435 – Vibrations, destiné aux étudiants de l'École Polytechnique de Montréal. Il couvre les notions suivantes:
- Détermination du moment d'inertie équivalent, de la rigidité équivalente et de l'amortissement équivalent.
- Obtention de l'équation de mouvement du système.
- Calcul de la transmissibilité de déplacement.
- Détermination du coefficient d'amortissement pour un système en amortissement critique.
- Analyse de la réponse vibratoire de la masse m.
- Étude du ratio d'amortissement, du défaut de balourd, de l'amplitude de vibration et de la force maximale transmise pour un moteur fixé à une poutre.
Examen Vibrations MEC2435 - Vibrations
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MEC2435 – Vibrations Examen de contrôle – le 27 octobre 2015
Professeur : Njuki Mureithi
Durée : 105 minutes, Documentation : notes de cours (chapitres 1-2) seulement
Problème 1 (12 points)
Un disque de masse M et rayon R est attaché à un bloc de masse m par des tiges de masses négligeables (Figure 1). Le disque roule sans glissement. Le déplacement du support B lié au ressort k est défini par y 2( t ) et celui du support A de l’amortisseur c, est donné par y 1( t ) .
(a) Déterminer le moment d’inertie équivalent I e, la rigidité équivalente k e, et l’amortissement équivalent c e du système par rapport aux petites oscillations angulaires, θ , du disque. Pour trouver les paramètres équivalents on suppose que y 2 () t = y 1 () t = 0 , i.e. supports A et B immobiles.
(b) Obtenir l’équation de mouvement du système (en termes de θ ) pour les déplacements y 1 ( t ) = Y 1 sin ω 1 t du support A, et y 2 ( t ) = Y 2 sin ω 2 t du support B.
(c) En supposant un mouvement du disque, en régime permanent, θ ( t ) = Θ sin( ω t - φ ) obtenir une expression pour la transmissibilité de déplacement T . R . 1 = R Θ Y1 du système ( R étant le rayon du disque), en supposant y 2( t ) = 0 (support B immobile).
(d) Pour L = 2 m, R = 0.5 m, m = 4 3 M = 8 kg et k=50 kN/m, déterminer le coefficient d’amortissement c nécessaire à l’obtention d’un système en amortissement critique.
(e) Pour le système en amortissement critique et y 1 ( t ) = y 2 ( t ) = 0.4 2 cos50 t , trouvez la réponse vibratoire de la masse m. Les conditions initiales du système sont θ (0) θ= x (0) = 0 .
(f) question bonus (1 point) Écrire une expression pour T . R . 2 = R Θ Y2 , en supposant y 1( t ) = 0 .
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Problème 2 (8 points)
Le moteur de la figure 2a est fixé à une poutre supportée par des appuis simples à ses extrémités. La masse totale du moteur est de 10 kg. On a observé que :
i) Au repos, le moteur est posé sur la poutre. Cette dernière fléchit de 39.24 × 10- 3 mm (déplacement statique).
ii) À la vitesse de rotation de 3600 tr/min l’amplitude de vibration est de 0.5 mm.
iii) Lorsque le moteur tourne à une vitesse Ω 1tr/min, un oscilloscope permet de tracer l’évolution temporelle de la réponse vibratoire y(t), montré à la figure 2b. Dans ce graphe, l’échelle verticale est inconnue. L’échelle horizontale montre le temps t en secondes.
A partir de ces observations, déterminez :
a) Le ratio d’amortissement ζ du système;
b) Le défaut de balourd mε ;
c) L’amplitude de vibration à la vitesse Ω 1, correspondant à la réponse de la figure 2b;
d) La force maximale transmise aux supports de la poutre à la vitesse Ω 1tr/min durant le mouvement de la figure 2b.
FAQ
Qu'est-ce que la transmissibilité de déplacement ?
La transmissibilité de déplacement est une mesure de l'efficacité avec laquelle les vibrations sont transmises d'une source à une structure ou à un système.
Comment déterminer le moment d'inertie équivalent ?
Le moment d'inertie équivalent peut être déterminé en considérant les masses et les distances des composants du système par rapport à l'axe de rotation.
Qu'est-ce que l'amortissement critique ?
L'amortissement critique est le niveau d'amortissement nécessaire pour qu'un système revienne à son état d'équilibre sans osciller.