Ce document contient un ensemble de problèmes et de solutions relatifs aux systèmes masse-ressort, destiné aux étudiants de niveau universitaire. Il couvre les notions suivantes:
- Détermination du coefficient d'amortissement d'un système masse-ressort.
- Équation du mouvement et réponse en amplitude et phase.
- Amplitude et phase du mouvement d'une masse excitée par un amortisseur.
- Calcul de la masse à partir de l'amplitude du mouvement forcé.
- Équation du mouvement et force transmise au support.
- Mouvement d'un étage soumis à une accélération harmonique.
- Coefficient d'amortissement d'une pièce de machine vibrante.
- Pourcentage d'augmentation de l'amplitude des vibrations forcées.
- Travail fourni par une force harmonique.
- Amplitude de vibration d'une plaque métallique soumise à une force harmonique.
- Amplitude de déplacement d'un véhicule motorisé sur une route accidentée.
- Constante d'amortissement et amplitude de la force dynamique d'un support.
- Diamètre de l'arbre d'une turbine Francis pour éviter le contact entre rotor et stator.
Exercices TD Physique Vibrations - Vibrations
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1. Système Masse-Ressort
Un système masse-ressort est excité par une force F0sin(ωt). À la résonance, l’amplitude mesurée est de 0,58 cm. À 80% de la fréquence de résonance, l’amplitude mesurée est de 0,46 cm. Déterminer le coefficient d’amortissement du système.
Corrigé :
À la résonance, on a la relation suivante :
0 = ζ k = (0² F kXres = ζ).
À une fréquence f1=0,8frésonance, l’amplitude X1 vérifie :
Xk 1 = 1 2 2 2 0 F.
En substituant, il reste à résoudre :
⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎡ ⎤ ⎢⎥ −+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ωω ζ 12 ωω nn 1 1 = , pour trouver ζ.
ζ X ζ 2 1 0,8 2 0,8 résonance 2 2 2 ⎡⎤ −+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣⎦ () ()
2. Équation du Mouvement
On considère le système montré à la figure suivante. Déterminer l’équation du mouvement et trouver l’amplitude et l’angle de phase de la réponse en utilisant la méthode complexe.
Corrigé :
L’équation du mouvement est : 1 1 12 mx cx k x x = −− − ().
On obtient donc l’équation différentielle suivante à résoudre :
mx cx kx kx 111 2 + += .
Solution particulaire : 11 xt X t ( ) sin( ) =− ω θ.
kX X et ( ( )) 12 θ ωω tan c km − =− .
Soit = 2 1 2 2 2 () () km c ω ω −+ .
Pour la méthode complexe voir notes de cours Sec2.4.1.
[Sous forme complexe, on obtient la relation : 2 − + += m X ic X kX kX ωω 1 11 2 ]
3. Amplitude et Phase du Mouvement
Le système montré à la figure suivante est composé d’une masse m reliée à un mur par un ressort k. La masse est excitée à travers un amortisseur, c, composé d’un piston animé d’un mouvement y=Asin(ωt). Déterminer l’amplitude du mouvement de la masse et sa phase en fonction du piston.
Corrigé :
L’équation du mouvement du système est mx c x y kx =− − − () soit mx cx kx cy + += .
Solution particulaire : 11 xt X t ( ) sin( ) =− ω θ.
ω cA X et ( ( )) 12 θ tan c km ω ωπ 2 − = −+ = () () 2 2 2 ω ω −+ km c.
4. Masse Suspendue
Une masse, m, est suspendue à un ressort de raideur 4000N.m-1 et est soumise à une force harmonique d’une amplitude de 100 N et d’une fréquence de 5 Hz. L’amplitude du mouvement forcé de la masse est de 20mm. Trouver la valeur de m.
Corrigé :
On utilise la relation reliant l’amplitude de vibration à la force d’excitation pour un système F Xkmω = − , pour déterminer la masse.
5. Équation du Mouvement et Force Transmise
Sur la figure suivante, x et y sont respectivement le déplacement absolu de la masse et la fin de l’amortisseur c1. (i). Dériver l’équation du mouvement de la masse m, et (ii) trouver la force transmise au support quand l’amortisseur est soumis à un mouvement harmonique y(t)=Ycos(ωt).
Corrigé :
L’équation du mouvement est : mx c x y c x k x =− − − − 1 22 () soit ( ) 21 2 1 1 mx c c x k x c y c Y t + + + = =− ω sinω.
La force transmise au support P est F cy ky t = 22 + .
|--> correction: Ft=c2 x dx/dt + k2x x.
On peut ensuite en déduire l’amplitude de vibration de la masse, X : ω cY X 1 = 2 2 22 () () ω ω km c c − ++ 12.
Finalement, on obtient l’amplitude de la force transmise au support, ()2 2 F Xk c t =+22ω.
6. Mouvement de l’Étage
Le sol de l’étage d’un bâtiment est soumis à une accélération harmonique telle que montrée sur la figure suivante. Trouver le mouvement de l’étage.
Corrigé :
D’après la modélisation du système, on remarque que les deux ressorts sont en parallèle. On en déduit l’équation du mouvement suivante : () mx k x x = −− g .
xg est déduit de l’accélération par deux intégrations successives, on obtient donc : A mx kx k t F t ω ω ω + =− = 2 cos( ) cos o.
On trouve l’équation d’amplitude suivante : 2 kA Xkm ω − = − .
2 ω.
Il n’y a pas de déphasage étant donné qu’il n’y a pas d’amortissement, le mouvement de l’étage est donc : x = Xt cos( ) ω.
7. Coefficient d’Amortissement
Une pièce de machine de 1,95 kg vibre dans un milieu visqueux. Déterminer le coefficient d’amortissement quand une force harmonique de 24,46 N résulte en une amplitude de résonance de 1,27 cm avec une période de 0,20 s.
Corrigé :
On considère un système masse-amortisseur. La relation suivante exprime l’amplitude de la réponse en fonction de l’amplitude de la force harmonique et des paramètres du système : F X 0 = 2 2 2 () () mc ω ω + .
Soit () ()2 2 0 c FX m =− ω ω.
8. Augmentation de l’Amplitude
En supposant le système (en exercice 7) excité par une force harmonique de fréquence 4 Hz, quel sera le pourcentage d’augmentation de l’amplitude des vibrations forcées quand l’amortisseur sera retiré?
Corrigé :
F X F Xmω = .
On compare = 0 2 2 2 () () mc ω ω + et 02.
9. Travail Fournit
Une force F= 10 sin (πt) N agit sur un déplacement x= 2 sin (πt-π/6) m. Déterminer (a) le travail fourni durant les 6 premières secondes; (b) les travail fourni durant la première 1/2s.
Corrigé :
Le travail fournit par une force F sur un déplacement x est W Fxdt = ∫ en substituant F=F0sin(ωt) et x= Xsin(ωt-φ), on trouve sur un cycle d’oscillation : 0 W FX = π sinϕ.
(a) On remarque que 6s correspond à trois cycles d’oscillations.
(b) Il faut cette fois intégrer l’expression entre 0 et 0,5s.
10. Amplitude de Vibration de la Plaque
Une pompe à piston, de 50 kg, est montée au milieu d’une plaque en métal d’une épaisseur de 1 cm, de largeur 40 cm, et de longueur 2,5 m, encastrée dans deux murs comme montré à la figure suivante. Pendant l’utilisation de la pompe, la plaque est soumise à une force harmonique, F(t)=50 cos( 20πt) kg. Trouver l’amplitude de vibration de la plaque.
Corrigé :
On modélise la plaque de métal par une barre fixée aux deux extrémités, la raideur équivalente est 192EI kl = .
On en déduit la réponse à une excitation harmonique par la relation : F Xkmω = − 0 2.
11. Amplitude de Déplacement du Véhicule
La figure suivante montre une modélisation simple d’un véhicule motorisé pouvant vibrer dans la direction verticale en passant sur une route accidentée. Le véhicule pèse 1200 kg. Le système de suspension a une raideur de 400 kN.m-1 et un coefficient d’amortissement ζ=0,5. Si le véhicule a une vitesse de 100 km.h-1, déterminer l’amplitude de déplacement du véhicule. La surface de la route varie sinusoïdalement avec une amplitude Y=0,05m et une période de 6m.
Corrigé :
On trouve la fréquence d’excitation due à la route en divisant la vitesse du véhicule par la période des bosses. La fréquence naturelle du véhicule se déduit de sa masse et de la raideur de ses suspensions. On trouve finalement le rapport des fréquences, r. Le rapport d’amplitude vérifie la relation suivante : 12 2 ⎧ ⎫ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ −+ ⎪ ⎩⎭ () ζ X r 12 2 2 2 Y rr () () ζ 12 12.
12. Constante d’Amortissement du Support
Une machine de 3000 N est posée sur un support. La déflexion statique du support due au poids de la machine est de 7,5 cm. On observe que la machine vibre avec une amplitude de 1 cm quand la base du support est soumise à des oscillations harmoniques à la fréquence non amortie du système avec une amplitude de 0,25 cm. Trouver la constante d’amortissement du support, l’amplitude de la force dynamique au niveau de la base, et l’amplitude des déplacements de la machine par rapport à la base.
Corrigé :
La raideur k du support se déduit du poids de la machine et de la déflexion statique. À la résonance, le rapport entre l’amplitude des oscillations du support et l’amplitude des vibrations de la machine vérifie la relation : 1 2 2 ⎧ + ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪⎩⎭⎪ () ζ X Y 12 () ζ 2 2.
On en déduit l’amortissement du support. L’amplitude de la force dynamique au niveau de la base est F k y x c y x mx t = −+ −= ( )( ) soit Ft=kX vu qu’on est à la résonance (en utilisant la méthode complexe).
L’amplitude du déplacement relatif à r=1 est Z=Y/(2ζ). Pour cela, on réécrit l’équation du mouvement en fonction du déplacement relatif, z, et du déplacement de la base, y.
13. Diamètre de l’Arbre
Le schéma d’une turbine Francis est montré à la figure suivante sur laquelle l’eau s’écoule de A vers les aubes B et s’échappe par C. Le rotor a une masse de 250 kg et une masse non balancée de 5 kg.mm. Le jeu radial entre le rotor et le stator est de 5mm. La turbine fonctionne sur une plage de vitesse de 600 à 6000 tr.min-1. L’arbre portant le rotor peut être modélisé comme encastré au niveau des roulements. Déterminer le diamètre de l’arbre pour que le rotor ne soit jamais en contact avec le stator sur la plage de vitesse de rotation considérée. On suppose l’amortissement négligeable.
Corrigé :
L’amplitude maximum due la masse non balancée est calculée par la relation suivante : 22 ωω me me XkM kr ω == − − .
2 2 1 () On connaît la valeur maximale de l’amplitude souhaitée et la plage de fréquence utilisée, on peut donc calculer la raideur correspondante au cas où l’amplitude maximale serait atteinte pour chaque fréquence, kfmax et kfmin. Comme l’amplitude de vibration d’une masse non balancée peut être minimisée en prenant r très grand, on choisit la plus grande raideur trouvée.
On en déduit le diamètre nécessaire en utilisant la relation reliant la rigidité d’un arbre ayant 4 Ed kl⎛⎞ π = ⎜⎟ ⎝⎠ une masse à son extrémité à ses caractéristiques : 3 64 3.
14. Amplitude de Vibration
Une barre fixée aux deux extrémités, d’une longueur de 5m, large de 50 cm, et profonde de 0,1 m, transporte un moteur électrique de 75 kg tournant à une vitesse de 1200 tr.min-1 en son milieu, voir figure suivante. Une force rotative F0=5000N est développée à cause d’une masse non balancée sur le rotor du moteur. Trouver l’amplitude de vibration en négligeant la masse de la barre. Quelle sera l’amplitude de vibration si on prend en compte la masse de la barre?
Corrigé :
192EI kl = .
La barre fixée peut être modélisée par la raideur suivante : 3.
On obtient ainsi un système masse-ressort excité par une force harmonique dont on connaît l’amplitude et la fréquence. Si l’on prend en compte la masse ajoutée de la barre, l’inertie du système sera plus importante donc l’amplitude des vibrations réduites.
15. Dimensions de la Section de la Barre
On reprend l’exercice précédent en considérant cette fois le moteur à l’extrémité libre d’une barre de 5m, fixe de l’autre coté. Déterminer les dimensions de la section de la barre nécessaires pour obtenir des vibrations limitées à 0,5 cm en amplitude. On prend en compte le poids de la barre dans les calculs.
Corrigé :
3EI kl = et une masse ajoutée.
Cette fois la barre est modélisée par une raideur équivalente 3 valant 0,23m. Il ne reste plus qu’à déterminer I correspondant à Xmax=0,5 cm.
FAQ
1. Comment déterminer le coefficient d’amortissement d’un système masse-ressort?
Pour déterminer le coefficient d’amortissement d’un système masse-ressort, il faut mesurer l’amplitude de vibration à la résonance et à une fréquence donnée, puis utiliser les relations mathématiques appropriées pour résoudre l’équation différentielle.
2. Quelle est l’équation du mouvement d’un système masse-ressort?
L’équation du mouvement d’un système masse-ressort est donnée par mx cx kx =− − − ().
3. Comment trouver l’amplitude et l’angle de phase de la réponse d’un système masse-ressort?
Pour trouver l’amplitude et l’angle de phase de la réponse d’un système masse-ressort, on utilise la méthode complexe en résolvant l’équation différentielle et en utilisant les relations trigonométriques appropriées.