Ce document est un examen final de vibrations pour les étudiants de MEC-2435, destiné à évaluer leurs connaissances en dynamique des systèmes mécaniques.
Il couvre les notions suivantes:
- Équations du mouvement sous forme matricielle
- Amortissement proportionnel
- Modes propres et équations modales découplées
- Réponse vibratoire sous conditions initiales spécifiques
- Réponse libre et forcée de systèmes mécaniques
- Transmissibilité et conditions aux frontières
MEC-2435 – Vibrations
Problème 1 (10 points)
Le système de la figure 1 est en équilibre quand les deux barres rigides sont verticales. Les barres sont identiques. Chacune pivote en son centre de masse et le moment d’inertie au point de pivot est GI. Deux disques de masse M et de rayon R sont attachés aux extrémités tel que montré à la figure. Les disques roulent sans glissement. Des couples T1(t) et T2(t) sont appliqués respectivement aux points de pivot haut et bas.
(a) En utilisant les coordonnées θ1 et θ2, obtenir les équations du mouvement sous forme matricielle.
(b) Montrer que le système est proportionnellement amorti.
(c) Sous certaines conditions concernant les dimensions et les caractéristiques du système, les matrices M, K et C sont :
10 0 40 20
⎡ ⎤⎡ ⎤ == ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
MK
, ; 0 10 20 40
C aM bK a b
= + =− =
; 0.1, 0.05;
M M
c
k
Déterminer les modes propres du système. En passant par la matrice modale [P], obtenir les équations modales découplées selon la coordonnée principale Y.
(d) Soit les couples T1 et T2 tels que T1(t) = 0.5sin(2t) et T2(t) = 0.5sin(2t), déterminer la réponse vibratoire du système pour les conditions initiales θ1(0) = 0, θ1(0) = 0, θ2(0) = 0, et θ2(0) = 0.5 rad/s.
Problème 2 (5 points)
Une machine industrielle de 300 kg repose sur des supports en néoprène qui subissent une compression statique de 3 mm. Lors d’un essai par lâcher, on observe que l’amplitude du déplacement après 5 cycles complets est réduite à 30% de sa valeur initiale.
(a) Obtenir la réponse libre du système si on lui donne une vitesse initiale de 1.5 m/s (on suppose x(0)=0).
(b) Déterminer la réponse forcée du système si on le soumet à la force harmonique F(t) = 1500cos(80t/3) + π. Quelle est la force maximale transmise aux supports ?
(c) Déterminer pour quelle gamme de fréquences la transmissibilité sera inférieure ou égale à 0.2.
Problème 3 (5 points)
Le câble présenté sur la Figure 2 est maintenu sous tension axiale (τ). Il est fixé à l’extrémité x=0 et attaché à un ressort de rigidité k à l’extrémité x=L. L’équation du mouvement transverse (w(x,t)) du câble est :
22
∂ ∂ = ∂ ∂
ww
c
2
22
tx
(a) Sachant que la force transverse dans le câble est donnée par τ∂w/∂x, écrire les conditions aux frontières (conditions limites) du câble.
(b) Effectuant la séparation de variables w(x,t) = X(x)T(t), on obtient l’équation spatiale X(x) + σX(x) = 0. Montrez que, pour kL =100 N/m, L = 0.5 m et τ = 100 N, l’équation caractéristique du câble est :
σ = −σ tan(σL/2)
La solution de cette équation caractéristique peut être approximée par (2n-1)σ = −nπ ; (cette approximation est la plus précise pour n 1). On utilise cette approximation aux questions (c) et (d).
(c) Obtenir l’expression des modes propres du câble et la forme générale de sa réponse en vibrations libres. La masse totale du câble vaut 0.5 kg.
(d) En partant de la solution générale pour la réponse en vibrations libres trouvée en (c), déterminez la réponse vibratoire du câble pour les conditions initiales suivantes :
w(x,0) = 0, ∂w/∂t(x,0) = 0.2sin(3πx/L)
FAQ
Qu'est-ce que la transmissibilité dans un système vibratoire ?
La transmissibilité est le rapport entre l'amplitude de la force transmise aux supports et l'amplitude de la force d'excitation appliquée au système.
Comment déterminer les modes propres d'un système vibratoire ?
Les modes propres d'un système vibratoire sont déterminés en résolvant l'équation caractéristique du système, qui est obtenue en annulant le déterminant de la matrice de masse et de la matrice de raideur.
Quelle est l'importance de l'amortissement dans un système vibratoire ?
L'amortissement est crucial dans un système vibratoire car il réduit l'amplitude des vibrations et permet au système de revenir à son état d'équilibre plus rapidement.
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