Ce document présente les solutions détaillées du troisième travail dirigé (TD) portant sur la résolution des systèmes d'équations linéaires. Destiné aux étudiants de deuxième année en Sciences et Technologies (ST), ce support pédagogique permet de maîtriser les outils fondamentaux des méthodes numériques par une approche pratique et rigoureuse.
Il couvre principalement les notions et méthodes suivantes :
- Le calcul de déterminants et l'application de la méthode de Cramer ;
- L'élimination de Gauss pour la triangularisation de systèmes ;
- L'inversion de matrices et la décomposition LU.
Méthodes Numériques : Solutions des Systèmes d'Équations Linéaires
Ce document présente les solutions détaillées pour divers exercices portant sur la résolution de systèmes d'équations linéaires, l'inversion de matrices et les méthodes de décomposition. Ces méthodes sont fondamentales pour les étudiants en deuxième année de Licence Science et Technologie (2ème ST).
Exercice 1 : Méthode de Cramer et Condition d'Unicité
Le système peut être mis sous la forme matricielle Ax = b avec la matrice A comportant les coefficients en fonction de α. Le déterminant de la matrice A est calculé comme suit :
det(A) = 2α(1 - 2α)
Pour que le système admette une solution unique, le déterminant de A doit être différent de zéro :
- det(A) ≠ 0 ⇒ α ≠ 0 et α ≠ 1/2
Selon la méthode de Cramer, les solutions sont données par xi = det(Ai) / det(A). Après calculs, nous obtenons :
- x1 = (1 - 4α) / (α(1 - 2α))
- x2 = (1 + α) / (1 - 2α)
- x3 = 1 / (1 - 2α)
Exercice 2 : Analyse de Systèmes Paramétriques
Pour le premier système, le déterminant est det(A) = (α - 2)(α - 3). Le système possède une solution unique si α ≠ 2 et α ≠ 3.
Pour le deuxième système, le déterminant est det(A) = 2α(1 - α). La condition d'unicité est α ≠ 0 et α ≠ 1. Les solutions sont exprimées en fonction de α en utilisant les rapports de déterminants.
Exercice 3 : Méthode de Gauss (Triangularisation)
La méthode de Gauss consiste à transformer la matrice A en une matrice triangulaire supérieure par des opérations élémentaires sur les lignes (L) :
- Étape 1 : Élimination des termes sous le premier pivot en utilisant L2 ← L2 + 2L1, L3 ← L3 + L1, L4 ← L4 + L1.
- Étape 2 : Élimination sous le deuxième pivot : L3 ← L3 - 2L2, L4 ← L4 + 2L2.
- Étape 3 : Élimination sous le troisième pivot : L4 ← L4 - 3L3.
Une fois le système triangulaire obtenu, la résolution s'effectue par remontée triangulaire. Dans cet exercice, nous trouvons x4 = -2, x3 = -2, x2 = 2, et x1 = 1. Le déterminant de la matrice est le produit des éléments diagonaux : det(A) = 2 × 2 × 1 × 2 = 8.
Exercice 5 : Inversion de Matrice par la Méthode de Gauss
Pour inverser une matrice A, on utilise le système augmenté [A | I], où I est la matrice identité. On applique les opérations de Gauss pour transformer A en une matrice triangulaire, puis on résout les systèmes correspondants pour trouver les colonnes de la matrice inverse A⁻¹.
Exemple pour la matrice A du premier cas :
A⁻¹ =
[ -12, 20, -9 ]
[ -5, 7, -3 ]
[ 1, -2, 1 ]
Exercice 6 : Décomposition LU
La décomposition LU consiste à factoriser une matrice A en un produit d'une matrice triangulaire inférieure (L) avec des 1 sur la diagonale, et d'une matrice triangulaire supérieure (U). Cette méthode simplifie la résolution de Ax = b en deux étapes :
- Résoudre Ly = b par descente triangulaire.
- Résoudre Ux = y par remontée triangulaire.
Dans cet exercice, après décomposition, nous trouvons les matrices L et U, permettant de calculer x = [0, -1, 1]. La décomposition LU est également utilisée pour calculer la matrice inverse colonne par colonne.
Exercice 8 : Cas Particulier avec Paramètre
Le système est triangularisé par la méthode de Gauss. Le déterminant final est det(A) = 4 - 7α. La solution unique existe si α ≠ 4/7. Les valeurs finales des variables sont :
- x1 = x2 = (α - 1) / (7α - 4)
- x3 = 3 / (7α - 4)
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Quand doit-on utiliser la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer est idéale pour les petits systèmes (2x2 ou 3x3) avec des coefficients symboliques ou des paramètres. Pour des systèmes plus grands, elle devient inefficace en raison du coût de calcul des déterminants.
2. Quelle est la différence entre la méthode de Gauss et la décomposition LU ?
La méthode de Gauss transforme directement le système pour trouver une solution unique. La décomposition LU stocke les étapes de la triangularisation dans deux matrices (L et U), ce qui est beaucoup plus efficace si vous devez résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice A mais des vecteurs b différents.
3. Que signifie un déterminant nul pour un système linéaire ?
Si le déterminant de la matrice est nul (det A = 0), le système n'admet pas de solution unique. Il peut soit n'avoir aucune solution (système incompatible), soit en avoir une infinité.