Ce document présente l'énoncé et le corrigé du deuxième contrôle continu d'analyse numérique, destiné aux étudiants du cycle préparatoire. Il propose une révision approfondie des techniques de résolution itérative de systèmes linéaires à travers des exercices pratiques et détaillés.
Le contenu aborde les thématiques académiques suivantes :
- Analyse de la convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel ;
- Calcul des matrices d'itération et détermination des rayons spectraux ;
- Conditions liées aux matrices à diagonale strictement dominante.
Analyse Numérique : Étude de la Convergence des Méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel
Ce cours présente des exercices d'analyse numérique portant sur la résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives. Nous étudions ici les conditions de convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel en fonction de paramètres réels.
Exercice 1 : Analyse d'une matrice paramétrée
Soit la matrice A définie par :
A =
[ 1 , 2(1 - θ) , 0 ]
[ 1 , 2 , 0 ]
[ 0 , 0 , 1 ]
où θ est un paramètre réel.
- Sans calculer les matrices d’itération G et J, donner une condition suffisante sur le paramètre θ pour que les méthodes de Gauss-Seidel et de Jacobi soient convergentes.
- Calculer la matrice d’itération J pour la méthode de Jacobi et G pour la méthode de Gauss-Seidel.
- Établir pour quelles valeurs de θ les méthodes sont convergentes. Quelle est la méthode qui converge le plus rapidement ?
Corrigé de l'exercice 1
1. Condition suffisante de convergence :
On sait que si la matrice A est une matrice à diagonale strictement dominante (DSD), alors les méthodes de Gauss-Seidel et de Jacobi sont convergentes. Pour satisfaire cette condition sur la première ligne, il faut imposer :
|2(1 - θ)| < 1, ce qui implique 1/2 < θ < 3/2.
2. Calcul des matrices d'itération :
On décompose A sous la forme A = D - L - U, où D est la diagonale, L la partie triangulaire inférieure et U la partie triangulaire supérieure.
D = diag(1, 2, 1).
La matrice de Jacobi est J = D⁻¹(L + U) :
J =
[ 0 , 2θ - 2 , 0 ]
[ -1/2 , 0 , 0 ]
[ 0 , 0 , 0 ]
La matrice de Gauss-Seidel est G = (D - L)⁻¹U :
G =
[ 0 , 2θ - 2 , 0 ]
[ 0 , 1 - θ , 0 ]
[ 0 , 0 , 0 ]
3. Analyse des valeurs propres et convergence :
Les valeurs propres de J sont {0, √(1 - θ), -√(1 - θ)}. Le rayon spectral est ρ(J) = √|1 - θ|.
Les valeurs propres de G sont {0, 0, 1 - θ}. Le rayon spectral est ρ(G) = |1 - θ|.
Les deux méthodes convergent si et seulement si leur rayon spectral est strictement inférieur à 1, soit :
|1 - θ| < 1, ce qui revient à 0 < θ < 2.
Dans cet intervalle, on remarque que ρ(G) = (ρ(J))². Comme le rayon spectral est inférieur à 1, la méthode de Gauss-Seidel converge plus rapidement que celle de Jacobi.
Exercice 2 : Application aux paramètres a et b
Soit la matrice A définie par les paramètres a et b tels que a > 0, b > 0 et a > b :
A =
[ a , -b ]
[ -a , a ]
Étude de la convergence de la méthode de Jacobi :
La décomposition donne D = diag(a, a) et L + U =
[ 0 , b ]
[ a , 0 ]
La matrice d’itération de Jacobi est J = D⁻¹(L + U) =
[ 0 , b/a ]
[ 1 , 0 ]
Les valeurs propres de J sont les solutions de λ² - b/a = 0, soit λ = ±√(b/a).
Le rayon spectral est ρ(J) = √(b/a).
Puisque par hypothèse a > b > 0, alors 0 < b/a < 1, d'où ρ(J) < 1.
En conclusion, la méthode de Jacobi converge pour toutes les valeurs respectant a > b > 0.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Qu'est-ce qu'une matrice à diagonale strictement dominante ?
C'est une matrice où, pour chaque ligne, la valeur absolue de l'élément diagonal est strictement supérieure à la somme des valeurs absolues de tous les autres éléments de la même ligne. C'est une condition suffisante pour la convergence de Jacobi et Gauss-Seidel.
2. Pourquoi la méthode de Gauss-Seidel est-elle souvent plus rapide ?
Dans de nombreux cas, comme celui étudié ici, le rayon spectral de la matrice de Gauss-Seidel est le carré de celui de Jacobi. Un rayon spectral plus petit signifie que l'erreur diminue plus rapidement à chaque itération.
3. Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour la convergence ?
Une méthode itérative de la forme x(k+1) = Mx(k) + c converge si et seulement si le rayon spectral ρ(M) de sa matrice d'itération est strictement inférieur à 1.