Ce document propose le corrigé détaillé de la première série de travaux dirigés en méthodes numériques, destiné aux étudiants de deuxième année en Sciences et Techniques (2ème ST). Il constitue un support pédagogique essentiel pour maîtriser les outils fondamentaux du calcul scientifique et de l'analyse numérique.
Le contenu traite principalement des thématiques suivantes :
- Analyse des erreurs absolues, relatives et détermination des chiffres significatifs.
- Développements en séries de Taylor et application du reste de Lagrange.
- Approximation de fonctions et calcul d'intégrales par méthodes polynomiales.
Analyse d'erreurs et séries de Taylor : Solutions de Travaux Dirigés
Exercice 1 : Concepts des chiffres significatifs et erreurs
Pour une approximation, si l'erreur absolue est $\Delta x \le 0,5 \times 10^{-m}$, alors le premier chiffre significatif au sens étroit correspond à la m-ième puissance de dix. Si $\Delta x \le 10^{-m}$, on parle de chiffre significatif au sens large. Dans les calculs suivants, nous adoptons la première définition.
- Cas 1 : $x_1 = 0,1342 \Rightarrow \Delta x_1 \le 0,5 \times 10^{-4} \Rightarrow \delta_1 = \frac{0,5 \times 10^{-4}}{0,1342} \approx 4 \times 10^{-2} \%$
- Cas 2 : $x_2 = 7,480 \Rightarrow \Delta x_2 \le 0,5 \times 10^{-3} \Rightarrow \delta_2 = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{7,480} \approx 7 \times 10^{-3} \%$
- Observation : Bien que $\Delta x_1 < \Delta x_2$, l'erreur relative $\delta_1 > \delta_2$. Cela démontre l'intérêt du concept de l'erreur relative pour évaluer la précision.
- Cas 3 : $x_3 = 3,1415 \Rightarrow \delta_3 \approx 1,6 \times 10^{-3} \%$
- Cas 4 : $x_4 = 0,34235 \times 10^{-3} \Rightarrow \delta_4 \approx 1,5 \times 10^{-3} \%$
Exercice 2 : Détermination de l'approximation selon l'erreur relative
a) Pour $x = 3,14156$ :
- Si $\delta = 0,1\% = 10^{-3}$, alors $\Delta x \approx 0,3 \times 10^{-2} \le 0,5 \times 10^{-2}$. L'approximation est $x \approx 3,14$.
- Si $\delta = 1\% = 10^{-2}$, alors $\Delta x \approx 0,3 \times 10^{-1} \le 0,5 \times 10^{-1}$. L'approximation est $x \approx 3,1$.
b) Pour $x = 392,12$ :
- Si $\delta = 0,01\% = 10^{-4}$, alors $\Delta x \approx 0,4 \times 10^{-1} \le 0,5 \times 10^{-1}$. L'approximation est $x \approx 392,1$.
- Si $\delta = 1\% = 10^{-2}$, alors $\Delta x \approx 0,4 \times 10^{1} \le 0,5 \times 10^{1}$. L'approximation est $x \approx 3,9 \times 10^2$ (le zéro final n'étant pas significatif).
Exercice 3 : Propagation d'erreurs
Soit $S = \ln(a + \sqrt{b})$ avec $a = 10,3$ et $b = 4,4$. La valeur calculée est $S = 2,51750433$. En utilisant la différentielle totale pour évaluer la propagation des erreurs $\Delta a$ et $\Delta b$ :
$\Delta S = \left| \frac{1}{a + \sqrt{b}} \right| \Delta a + \left| \frac{1}{2\sqrt{b}(a + \sqrt{b})} \right| \Delta b$
Avec $\Delta a = \Delta b = 0,5 \times 10^{-1}$, l'application numérique donne $\Delta S = 0,5 \times 10^{-2}$, d'où $S \approx 2,52$.
Exercice 4 : Développement de Taylor de la fonction ln(2x+1)
Le développement d'ordre quatre au point $x_0 = 0$ pour $f(x) = \ln(2x+1)$ est :
$f(x) = 2h - 2h^2 + \frac{8}{3}h^3 + R_3(h)$
Pour $x = 0,1$, l'approximation est $y^* \approx 0,1826666667$. La comparaison avec la valeur exacte donne une erreur $\Delta y \approx 0,35 \times 10^{-3}$. Le chiffre des millièmes est donc significatif : $f(0,1) \approx 0,182$.
L'estimation du reste de Taylor-Lagrange confirme cette précision : $|R_3(0,1)| \le 4(0,1)^4 = 0,4 \times 10^{-3}$, ce qui est inférieur au seuil de $0,5 \times 10^{-3}$.
Exercice 5 : Racine cubique et erreur de troncature
Pour $f(x) = \sqrt[3]{2x+1}$, le développement d'ordre trois donne :
$f(x) \approx 1 + \frac{2}{3}h - \frac{4}{9}h^2$
Pour calculer $\sqrt[3]{1,4}$, on pose $h = 0,2$, ce qui donne une valeur approchée de $1,115555556$. La majoration du reste montre que $|R_2(0,2)| \le 0,4 \times 10^{-2}$, donc l'approximation avec trois chiffres significatifs est $1,12$.
Exercice 6 : Approximation de sin(x)
Pour $f(x) = \sin(x)$ au voisinage de $0$, le développement est $f(h) = h + R_2(h)$.
- Pour $x = 0,1$ rad, $\sin(0,1) \approx 0,100$ avec trois chiffres significatifs.
- L'erreur relative est de $0,17 \%$.
- Pour que l'erreur relative reste inférieure à $1\%$, l'angle $x$ doit être inférieur à environ $0,25$ rad (soit environ $14^\circ$).
Exercice 7 et 8 : Précision du cosinus
Le développement $\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ offre une précision inférieure à $0,1\%$ pour $x = 0,3$ rad. Pour atteindre différentes précisions :
- Précision au centième ($0,5 \times 10^{-2}$) : $x \le 0,59$ rad.
- Précision au millième ($0,5 \times 10^{-3}$) : $x \le 0,33$ rad.
- Précision au dix-millième ($0,5 \times 10^{-4}$) : $x \le 0,19$ rad.
Exercice 9 et 10 : Intégration numérique
Pour calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{1/2} \frac{\sin(x)}{x} dx$ avec une précision de $0,5 \times 10^{-4}$, il est nécessaire d'utiliser un polynôme de Taylor de degré quatre pour $\sin(x)$. L'approximation obtenue est $I \approx 0,4931$.
Pour $I = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} \cos(x) dx$, l'utilisation d'un polynôme de degré six pour $\cos(x)$ permet d'obtenir $I \approx 0,6076$ avec quatre chiffres significatifs.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Quelle est la différence entre l'erreur absolue et l'erreur relative ?
L'erreur absolue mesure la différence directe entre la valeur exacte et l'approximation, tandis que l'erreur relative rapporte cette différence à la valeur exacte, exprimant ainsi la qualité de la mesure en pourcentage.
2. Pourquoi le reste de Taylor-Lagrange est-il important ?
Il permet de quantifier l'erreur maximale commise lors de l'utilisation d'un polynôme de Taylor à la place de la fonction réelle, ce qui est crucial pour garantir la fiabilité des calculs numériques.
3. Quand peut-on dire qu'un chiffre est significatif ?
Un chiffre est considéré comme significatif au sens étroit si l'erreur absolue de l'approximation est inférieure ou égale à la moitié de l'unité de l'ordre de grandeur de ce chiffre.