Ce document constitue un support pédagogique d'analyse numérique destiné aux étudiants de première année en génie mécatronique. Il propose une série d'exercices pratiques visant à maîtriser les techniques fondamentales de résolution numérique des équations non linéaires.
Il couvre principalement les notions suivantes :
- L'étude de la convergence et la sélection de fonctions de point fixe optimales ;
- L'application de la méthode de dichotomie et l'estimation de l'erreur ;
- La mise en œuvre et l'analyse de convergence de la méthode de Newton.
Analyse Numérique : Résolution d'Équations Non Linéaires
Ce document présente des exercices pratiques d'analyse numérique portant sur la recherche de racines d'équations non linéaires, destinés aux étudiants en première année du cycle ingénieur en mécatronique. L'objectif est de maîtriser les méthodes itératives telles que le point fixe, la dichotomie et la méthode de Newton.
Exercice 1 : Étude de l'équation f(x) = e^x - 9x + 1
On se propose de résoudre numériquement l'équation (E) : f(x) = e^x - 9x + 1 = 0.
1. Existence et unicité de la solution dans ]0, 1[
Pour montrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle ]0, 1[, on vérifie les conditions du théorème des valeurs intermédiaires. La fonction f est continue sur [0, 1]. En calculant les images aux bornes : f(0) = 2 et f(1) = e - 8 ≈ -5,28. Comme f(0) et f(1) sont de signes opposés, il existe au moins une solution α dans ]0, 1[. De plus, la dérivée f'(x) = e^x - 9 est strictement négative sur cet intervalle, ce qui assure la stricte monotonie et donc l'unicité de la solution.
2. Comparaison des méthodes du point fixe
On examine deux fonctions de point fixe : g1(x) = ln(9x - 1) et g2(x) = (1 + e^x) / 9.
La méthode à privilégier est celle associée à g2(x). En effet, pour assurer la convergence, la valeur absolue de la dérivée de la fonction de point fixe doit être inférieure à 1 au voisinage de la solution. Pour g2, on a g2'(x) = e^x / 9. Sur l'intervalle [0, 1], la valeur maximale est e/9 ≈ 0,302, ce qui garantit une convergence efficace.
3. Estimation du nombre d'itérations
Pour calculer la solution avec une tolérance de 10⁻¹⁰ en partant de x0 = 0,5, on utilise la formule de majoration de l'erreur. Le nombre d'itérations nécessaires n dépend de la constante de contraction k et de la distance initiale |x1 - x0|.
Exercice 2 : Approximation de la solution de e^x - 2x² = 0
L'exercice porte sur l'équation f(x) = e^x - 2x² = 0 sur l'intervalle [0, 2].
1. Application de la méthode de la dichotomie
La dichotomie est applicable sur [0, 2] car f(0) = 1 (positif) et f(2) = e^2 - 8 ≈ -0,61 (négatif). Le changement de signe garantit la présence d'une racine. Pour obtenir une précision de 2⁻⁶, le nombre d'itérations n doit satisfaire l'inégalité (b - a) / 2^n ≤ ε. Avec un intervalle de largeur 2, on obtient n ≥ 7 itérations.
2. Convergence de la méthode de Newton
La méthode de Newton est définie par la relation : xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn). Dans ce cas précis, la formule devient xn+1 = [(xn - 1)e^xn - 2xn²] / (e^xn - 4xn). Cette méthode converge très rapidement (convergence quadratique) si la valeur initiale x0 est choisie suffisamment proche de la racine et si la dérivée ne s'annule pas.
3. Conditions de garantie de convergence
Pour garantir que la méthode de Newton converge vers la solution unique dans [1, 2], il est nécessaire de choisir x0 tel que f(x0) et f''(x) aient le même signe sur l'intervalle, évitant ainsi les oscillations ou la divergence hors de l'intervalle d'étude.
FAQ : Foire Aux Questions
Pourquoi la méthode de Newton est-elle plus rapide que la dichotomie ?
La méthode de Newton possède une convergence quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres significatifs exacts double approximativement à chaque itération, tandis que la dichotomie a une convergence linéaire beaucoup plus lente.
Qu'est-ce qu'une fonction contractante dans la méthode du point fixe ?
Une fonction g est dite contractante sur un intervalle si la valeur absolue de sa dérivée |g'(x)| est strictement inférieure à un nombre k < 1 pour tout x dans cet intervalle. Cela garantit que les itérations se rapprochent de la solution.
Comment choisir la valeur initiale x0 ?
Le choix de x0 est crucial pour les méthodes de Newton et du point fixe. Il doit être situé dans un domaine où la fonction respecte les critères de convergence, souvent déterminé par l'étude graphique de la fonction.