Mécanique des Fluides : Td mécanique des fluides corrigé pdf.pdf
Télécharger PDFExercice 1 : Deux objets flottants
A) On considère un récipient cônique de hauteur H, de rayon R, et de faible épaisseur e, composé d’un matériau de densité ρc. Il flotte à la surface de l’eau (densité ρe) en position verticale.
1) Expression du volume V et du poids P du récipient
Le volume du récipient cônique est donné par la formule : V = (1/3) × π × R² × H.
Son poids s’exprime par : P = ρc × V × g, où g est l’accélération due à la gravité.
2) Calcul de la profondeur h d’immersion
La profondeur d’immersion h est déterminée par l’équilibre des forces, où le poids du récipient est compensé par la poussée d’Archimède. Elle se calcule en utilisant la relation : ρc × V × g = ρe × g × Vimmergé.
Le volume immergé du cône est : Vimmergé = (1/3) × π × (r2) × h, avec r = (R/H) × h (proportionnalité des rayons).
La profondeur h est donc obtenue en résolvant l’équation : ρc × (1/3) × π × R² × H = ρe × g × (1/3) × π × (R² × h² / H²) × h.
3) Application numérique : densité maximale ρc pour R = 1 m, H = 2 m, ρe = 1000 kg/m3, e = 1 cm, g = 9.8 m/s2
La densité maximale ρc au-delà de laquelle le récipient coule est calculée en remplaçant h par H dans l’équation d’équilibre (immersion totale).
Résultat : ρc = ρe × (3e / H).
Exercice 2 : Barrage
Un barrage ABC est maintenu en position par des poteaux BD. Il retient de l’eau de densité ρe.
On considère un barrage de longueur 10 m.
1) Résultante des efforts de pression sur le barrage
Dans le repère (x, y), la résultante des efforts de pression est calculée en intégrant la pression hydrostatique sur la surface du barrage.
2) Moment en A des efforts de pression
Le moment en A est obtenu par l’intégrale du produit de la pression par la distance à l’axe de rotation.
3) Position du centre de poussée des efforts de pression
Le centre de poussée est déterminé par la relation : yCP = MA / Rx, où MA est le moment en A et Rx la composante horizontale de la résultante.
4) Effort de compression dans le poteau
L’effort de compression est égal à la résultante des efforts de pression appliquée au poteau.
5) Application numérique : résultante des efforts de pression pour H = 2 m, α = 60°, ρe = 1000 kg/m3, g = 9.8 m/s2
La pression maximale est Pmax = ρe × g × H.
La résultante est calculée en intégrant la pression sur la surface inclinée du barrage.
Exercice 3 : Théorème d’Archimède
Énoncé du théorème
Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement ou partiellement immergé, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et appelée poussée d’Archimède, dont l’intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé.
Exercice 4 : Vanne secteur
Explication du moment nul en O
Le moment des efforts de pression en O est nul car les forces s’appliquent symétriquement par rapport à l’axe de rotation, annulant ainsi leur effet tournant.
Exercice 5 : Réservoir
Contenu non spécifié dans l’extrait fourni.
FAQ
1) Qu’est-ce que la poussée d’Archimède ?
La poussée d’Archimède est une force verticale ascendante exercée par un fluide sur un corps immergé, égale au poids du volume de fluide déplacé.
2) Comment calculer la profondeur d’immersion d’un objet flottant ?
Elle se détermine en égalant le poids de l’objet à la poussée d’Archimède, puis en résolvant l’équation pour trouver h.
3) Pourquoi le centre de poussée est-il important dans un barrage ?
Il permet de localiser le point d’application de la résultante des efforts de pression pour dimensionner correctement les structures de soutien.