Électronique numérique : Exercices portes logiques et algèbre de boole
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Rappel des théorèmes de Boole
Les théorèmes de Boole sont des règles essentielles pour simplifier les expressions logiques. Voici les principaux :
- Commutativité : X + Y = Y + X et X · Y = Y · X
- Associativité : X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z et X · (Y · Z) = (X · Y) · Z = XYZ
- Distributivité : X · (Y + Z) = XY + XZ et (W + X)(Y + Z) = WY + WZ + XY + XZ
- Élément neutre : X · 0 = 0 et X · 1 = X
- Élément absorbant : X + 0 = X et X + 1 = 1
- Idempotence : X + X = X et X · X = X
- Complémentarité : X + X̅ = 1 et X · X̅ = 0
- Simplification : X + XY = X et X · (X + Y) = X
Exercice 1
1) a. Déterminer l’équation du circuit de la figure suivante.
b. Dresser la table de vérité de ce circuit.
c. Identifier la fonction logique réalisée et son symbole.
2) Répondre aux mêmes questions pour le circuit de la figure suivante.
3) Répondre aux mêmes questions pour le circuit de la figure suivante.
Exercice 2
1. Déterminer l’équation du circuit de la figure suivante avec les entrées A, B, C, D et la sortie S.
2. Transformer le circuit ci-dessus en utilisant uniquement des portes NON-ET à deux entrées.
Exercice 3
1. Compléter la table de vérité du circuit logique suivant :
| A | B | C | S |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
2. Extraire l’équation logique de la sortie S à partir de la table de vérité.
3. Compléter le chronogramme suivant avec les valeurs de A, B, C et S :
| A | B | C | S |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 |
Exercice 4 : Simplification des équations logiques
Simplifier l’équation logique suivante en utilisant les théorèmes de Boole :
G = (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b)
Exercice 5 : Démonstration des relations par l’algèbre de Boole
Utiliser les théorèmes de l’algèbre de Boole pour démontrer les relations suivantes :
- X̅ + (X̅ · Y̅) = X̅
- (X + Y)(X + Y̅) = X
- X̅ · Y̅ = (X + Y)̅
- (X̅ + Y)(X + Y̅) = (X · Y) + (X̅ · Y̅)
FAQ
Qu’est-ce qu’une porte logique ? Une porte logique est un composant électronique qui réalise une fonction booléenne, c’est-à-dire une opération sur des signaux binaires (0 ou 1).
À quoi servent les théorèmes de Boole ? Ils permettent de simplifier les expressions logiques pour optimiser les circuits électroniques, réduire leur complexité et améliorer leur efficacité.
Comment construire une table de vérité ? Une table de vérité liste toutes les combinaisons possibles des entrées d’un circuit et les sorties correspondantes. Chaque ligne représente un cas unique.