Electricité: électrostatique : Td d'electrostatique et de magnétostatique (em1)
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Exercice 1 : Deux charges ponctuelles
1) Soient deux charges ponctuelles de même valeur q placées en deux points A et B et séparées d’une distance 2a.
a) Déterminer le champ électrique Er suivant Ox (plan médiateur du segment AB).
b) Déterminer le potentiel suivant Ox. En déduire le champ Er.
2) La charge située en B est maintenant –q.
a) Déterminer à nouveau le champ électrique Er suivant Ox.
b) Quelle est la valeur du potentiel suivant Ox ?
Exercice 2 : Ionisation de l’hydrogène et atome de fer
1°) Calculer l’ordre de grandeur du champ électrique qu’il faut appliquer à un atome d’hydrogène pour l’ioniser, sachant que la distance moyenne entre le noyau et l’électron est 0,1 nm.
Données utiles : ε0 = 8,85 × 10-12 F/m et e = 1,6 × 10-19 C.
2°) Le noyau d’un atome de fer a un rayon d’environ 4 × 10-15 m et contient 26 protons.
a) Quelle est la grandeur de la force électrostatique de répulsion entre deux protons séparés par une distance équivalente au rayon ?
b) Quelle est la grandeur de la force gravitationnelle entre ces deux mêmes protons ?
Données utiles : mproton = 1,67 × 10-27 kg et G = 6,67 × 10-11 N·m-2·kg-2.
Exercice 3 : Systèmes de coordonnées
1) Soit un repère cartésien d’origine O, de vecteurs unitaires xu, yu, zu. M est un point quelconque de coordonnées (x, y, z).
a) Exprimer le vecteur OM en fonction des vecteurs unitaires xu, yu, zu.
b) Soit M’, un point très proche de M. Exprimer le vecteur MM', correspondant à un déplacement élémentaire dans ce repère.
c) Donner l’expression du volume élémentaire dans ce repère.
2) Soit un repère cylindrique d’origine O, de vecteurs unitaires ru, θu, zu. M est un point quelconque de coordonnées (r, θ, z).
a) Exprimer le vecteur OM en fonction des vecteurs unitaires ru, θu, zu.
b) Soit M’, un point très proche de M. Exprimer le vecteur MM', correspondant à un déplacement élémentaire dans ce repère.
c) Donner l’expression du volume élémentaire dans ce repère.
3) Soit un repère sphérique d’origine O, de vecteurs unitaires ru, θu, φu. M est un point quelconque de coordonnées (r, θ, φ).
a) Exprimer le vecteur OM en fonction des vecteurs unitaires ru, θu, φu.
b) Soit M’, un point très proche de M. Exprimer le vecteur MM', correspondant à un déplacement élémentaire dans ce repère.
c) Donner l’expression du volume élémentaire dans ce repère.
Exercice 4 : Intégration
Calculer en prenant le repère le plus approprié :
a) l’aire d’un rectangle
b) la surface d’un disque
c) la surface d’une sphère
d) le volume d’une sphère
Exercice 5 : Fil chargé
1) Soit un fil de longueur 2L portant une densité linéique de charge λ. Un point M est situé à une distance x sur sa médiatrice.
a) Donner le champ électrique dEd produit par la charge élémentaire dq = λdz en M.
b) Par des considérations de symétrie, déterminer la composante utile à l’intégration de dE.
c) Calculer le champ électrique E généré par le fil de longueur 2L.
d) Trouver E dans le cas d’un fil infini.
e) Donner le potentiel V(M).
2) Considérons deux fils infinis, parallèles, distants de 2a, portant respectivement des densités linéiques de charge +λ et –λ. Soit un plan P perpendiculaire à la direction des fils et un point M dans ce plan. Calculer le potentiel créé par les deux conducteurs. On prendra le potentiel zéro au centre de la distance séparant les deux fils.
Exercice 6 : Disque chargé
Soit un disque, de densité surfacique de charge σ > 0.
a) Donner l’expression de la charge dq portée par l’élément de surface ds au point P.
b) Donner l’expression de dE au point M.
c) Par des considérations de symétrie, déterminer la composante utile à l’intégration de dE.
d) Calculer le champ électrostatique E(M) généré par tout le disque.
e) Déduire l’expression de E(M) pour un plan infini.
Exercice 7 : Distribution linéique de charges
1) Une distribution linéique de charges avec une densité uniforme λ (λ > 0), présente une forme circulaire de centre A, de rayon R et d’axe Oz. Le point A est situé à la cote z sur cet axe par rapport à l’origine O.
a) Calculer le potentiel électrostatique V au point O résultant de la présence de cette distribution de charges. Montrer que ce potentiel est identique à celui dû à une charge ponctuelle Q située à la distance r du point O (les quantités Q et r seront explicitées).
b) En déduire les composantes du champ électrostatique E obtenu au point O.
2) On considère une association de nombreuses spires jointives précédentes sur une longueur L : N étant le nombre de spires par unité de longueur, dn = N dz représente le nombre de spires présentes dans l’intervalle dz. L’ensemble constitue un cylindre de densité surfacique σ et d’axe Oz. Du point O, les extrémités du cylindre sont observées sous les angles α1 et α2.
a) Écrire le champ électrostatique E au point O résultant de la présence d’une seule spire chargée située à la position z. Expliciter la contribution dE au champ électrostatique due uniquement à un ensemble de dn spires vu du point O sous l’angle α. Donner la correspondance entre λ et σ.
b) En déduire le champ électrostatique E dû à l’ensemble des spires au point O, en fonction de σ, α1 et α2.
Exercice 8 : Dipôle électrostatique
Deux charges élémentaires +q et –q sont distantes de 2a sur l’axe z. Soit p le moment dipolaire tel que : p = 2aq. On suppose que OM ≫ 2a. Montrer que le potentiel électrique V en tout point M éloigné du dipôle s’écrit sous la forme :
V(M) = 1/(4πε0) · (p·ru)/r3.
Exercice 9 : Fil et disque infinis chargés
Retrouver l’expression du champ électrique à l’aide du théorème de Gauss :
1) pour le fil infini (exercice 5)
2) pour le plan infini chargé (exercice 6)
Exercice 10 : Charge volumique entre deux plans
Soit une densité de charge volumique ρ constante entre deux plans A et B, parallèles et distants de 2d.
a) Étudier les symétries de la densité de charges.
b) Déterminer en appliquant le théorème de Gauss, le champ E(x) :
- à l’extérieur des deux plans (x > d, x < -d)
- entre les deux plans A et B (d > x > -d).
c) En déduire le potentiel V(x), en tout point (entre les plans et à l’extérieur), en supposant V(0) = 0.
d) Tracer l’allure des courbes E(x) et V(x).
Exercice 11 : Compteur de Geiger-Müller
La cellule détectrice d’un compteur de Geiger-Müller est constituée d’un cylindre creux (rayon R, longueur L), dont la surface latérale métallique est chargée négativement (–Q) et d’un fil central fin (diamètre d) chargé positivement (+Q). L’espace est rempli d’un gaz neutre sous basse pression.
1) En supposant L ≫ R, calculer le champ électrique E(r) dans la cellule en fonction de Q, L et r, distance à l’axe de la cellule (avec r < R). On négligera les effets de bord.
2) On donne L = 25 cm, R = 1,5 cm, d = 50 μm. Pour obtenir un fonctionnement correct de ce détecteur, il est nécessaire que le champ électrique maximum E(R) atteigne 3 × 104 V/m dans la cellule. Calculer d’abord littéralement, puis numériquement, la différence de potentiel qu’il est nécessaire d’appliquer entre le fil central et le cylindre externe pour obtenir cette valeur de champ.
Exercice 12 : Densité volumique de charges
Une distribution volumique de charge, comprise entre deux sphères de centre O et de rayon a et b, a pour valeur :
ρ = 0 si r < a
ρ = constante si a < r < b
ρ = 0 si r > b
a) Pour ρ = constante, tracer les courbes E(r) et V(r).
b) En déduire le champ et le potentiel d’une sphère uniformément chargée.
c) En déduire le champ et le potentiel d’une surface sphérique uniformément chargée.
Exercice 13 : Condensateur plan
Un condensateur plan est formé de deux armatures de surface S (10 cm2). L’une, d’abscisse –e/2, porte la charge +Q, l’autre, d’abscisse +e/2, porte la charge –Q (e = 1 mm).
a) Calculer, à l’aide du théorème de Gauss, le champ électrique E entre les plaques.
b) Donner le potentiel électrique en fonction de z.
c) Calculer la capacité C de ce condensateur.
d) Que devient cette capacité si on introduit entre les plaques du condensateur une lame métallique parallèle aux armatures et d’épaisseur h ?
e) La capacité dépend-elle de la position de la lame ?
f) Démontrer la formule d’association de capacité en série et en parallèle.
Exercice 14 : Deux sphères conductrices
Deux sphères conductrices, de rayon a1 et a2, de charge Q1 et Q2, sont suffisamment éloignées pour être considérées sans influence.
a) Donner le champ électrostatique, le potentiel et la capacité de chaque sphère.
b) Quelle est l’énergie Wé du système défini par les deux sphères ?
c) Quelle est l’énergie dissipée lorsqu’on les relie entre elles ?
Exercice 15 : Condensateurs cylindrique et sphérique
1) Deux conducteurs cylindriques coaxiaux très longs, de rayons a et b, constituent les deux armatures d’un condensateur. L’armature intérieure et extérieure possèdent respectivement une charge +Q et –Q sur une longueur L.
a) Calculer le champ électrostatique.
b) Donner la différence de potentiel entre les deux armatures.
c) Donner la capacité de ce condensateur par unité de longueur.
d) Montrer que si b – a ≪ 1, on tend vers la capacité d’un condensateur plan.
2) Un condensateur est formé de deux sphères concentriques de rayon R = 1 mm et R’ = 50 cm.
a) Calculer le champ électrostatique E(r).
b) Calculer la capacité du condensateur formé par les deux sphères.
c) Que devient l’expression de la capacité si les rayons des sphères tendent vers l’infini (R – R’ = constante) ?
Exercice 16 : Champ magnétique créé par un courant
1°) Un conducteur filiforme est parcouru par un courant I.
a) Donner l’expression du champ magnétique dBr produit, au point M, par un segment dl du conducteur, à l’aide de la loi de Biot et Savart.
b) Donner l’expression du champ magnétique Br pour un fil de longueur finie A1A2.
c) En déduire l’expression du champ magnétique Br pour un fil de longueur infinie.
d) Retrouver cette expression en utilisant le théorème d’Ampère.