Optique : Controle optique geometrique td
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ENSA Khouribga - Juin 2019 - Matière : Optique géométrique
Années Préparatoires Intégrées (API), Semestre 2 - Professeur : Ouafaa IBRIHICH
Problème 1 : Miroir Sphérique
1. La formule de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C s'écrit :
1/CA + 1/CA' = 2/CS
Où :
- CS est la distance algébrique entre le centre C du miroir et le sommet S du miroir. Par convention, CS est l'opposé du rayon de courbure R (R=SC).
- CA représente la distance algébrique entre le centre C du miroir et le point objet A.
- CA' représente la distance algébrique entre le centre C du miroir et le point image A'.
2. L'expression du grandissement linéaire γ du miroir sphérique avec origine au centre C s'écrit :
γ = CA' / CA
3. Le foyer objet F est le point objet pour lequel l'image se trouve à l'infini dans l'espace image. Alors, en utilisant la formule de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C, on peut écrire :
1/CF + 1/∞ = 2/CS
Ce qui donne :
CF = CS/2
De même, le foyer image F' est l'image d'un objet qui se trouve à l'infini dans l'espace objet. Alors, en utilisant la formule de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C, on peut écrire :
1/∞ + 1/CF' = 2/CS
Ce qui donne :
CF' = CS/2
On obtient CF = CF' = CS/2, ce qui signifie que le foyer objet F et le foyer image F' d'un miroir sphérique coïncident et sont situés au milieu du segment [SC]. Ce point est le foyer principal du miroir.
4. Pour le miroir sphérique, le foyer image F' coïncide avec le foyer objet F et par conséquent les distances focales f et f' sont égales (f = f'). De plus, elles sont données par :
f = f' = SF = SC + CF
Application Numérique (A.N.) : f = f' = -3 m.
5. Par analogie au dioptre sphérique, on peut définir la vergence du miroir sphérique par :
V = -n/f = n'/f'
Où n' représente l'indice de réfraction que subit la lumière réfléchie sur le miroir et qui vaut n' = -n (car le sens de propagation de la lumière est inversé par rapport à l'incidence). La vergence s'exprime en dioptries (δ).
A.N. : V = 0,5 δ.
Le miroir est convergent parce que sa vergence V est positive.
6. D'après l'expression du grandissement linéaire γ du miroir sphérique avec origine au centre, on peut écrire :
CA' = γCA
Cependant, en utilisant la formule de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C, on obtient :
1/CA + 1/(γCA) = 2/CS
Alors :
CA = (CS/2) * (1 + 1/γ)
A.N. : CA = -6 m.
7. D'après la question précédente, on a :
CA' = γCA
A.N. : CA' = 2 m.
8. L'objet AB est situé en A perpendiculairement à l'axe optique. Alors, d'après la définition du grandissement linéaire (ou grandissement transversal) γ, on peut écrire :
γ = A'B' / AB
D'où :
A'B' = γAB
A.N. : A'B' = -0,5 m.
L'image A'B' a une taille de 0,5 m et elle est orientée dans le sens opposé de celui de l'objet AB. Le signe négatif du grandissement indique que l'image est renversée. De plus, l'image est réelle car elle se trouve après la face de sortie du miroir dans le sens de propagation de la lumière réfléchie, ce qui signifie que les rayons lumineux convergent réellement pour la former.
9. Construction géométrique :
La construction géométrique de l'image d'un objet par un miroir sphérique repose sur le tracé de rayons particuliers : le rayon parallèle à l'axe optique (qui passe par le foyer après réflexion), le rayon passant par le centre de courbure (qui revient sur lui-même après réflexion) et le rayon passant par le foyer (qui se réfléchit parallèlement à l'axe optique). L'intersection de ces rayons réfléchis détermine la position de l'image.
10. L'expression du grandissement linéaire du miroir sphérique avec origine au centre C, est donnée par :
γ = CD' / CD
Où la distance algébrique CD' est donnée, selon la formule de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C, par :
CD' = (2/CS - 1/CD)^(-1)
A.N. : CD' = 2,857 m et γ = -0,048.
Ce miroir ne peut pas être utilisé comme rétroviseur de voiture parce qu'il renverse les images (γ < 0). Pour un rétroviseur, il est impératif d'avoir une image droite pour des raisons de sécurité et de confort visuel.
Problème 2 : Formules du prisme
Les formules d'un prisme d'angle A et d'indice de réfraction n s'écrivent :
- sin i = n sin r
- sin i0 = n sin r0
- A = r + r0
- D = i + i0 - A
La déviation D passe par un minimum Dm pour i0 = i (c'est-à-dire aussi pour r0 = r). Dans ce cas, selon les formules du prisme, on a :
- De sin i = n sin r, on déduit n = sin i / sin r.
- De A = r + r (puisque r0 = r), on déduit r = A/2.
- De Dm = 2i - A (puisque i0 = i), on déduit i = (Dm + A)/2.
Alors, en substituant les expressions de i et r, on obtient la formule de l'indice de réfraction n en fonction de l'angle du prisme A et de la déviation minimale Dm :
n = sin((Dm + A)/2) / sin(A/2)
Problème 3 : Ombre et Pénombre
1. D'après une figure décrivant la géométrie de l'ombre (non fournie), on établit une relation de proportionnalité pour la longueur du cône d'ombre (l) :
tan v = r/l = R/(D+l)
Où r est le rayon du corps occultant, R le rayon de la source lumineuse ou du corps occulté, et D la distance entre leurs centres.
En résolvant pour l :
r(D+l) = Rl
rD + rl = Rl
rD = l(R-r)
D'où :
l = rD/(R-r)
A.N. : l = 1,398 × 10^6 km.
2. Cette section explore les dimensions de l'ombre et de la pénombre. Le texte original est fragmenté ici, mais on peut interpréter les formules pour le rayon de l'ombre (r_1) et le rayon de la pénombre (r_2).
Pour le rayon de l'ombre (r_1) à une certaine distance d_l depuis la pointe du cône d'ombre (l étant la longueur totale du cône) :
r_1 / d_l = r / l
Soit : r_1 = r * d_l / l
On considère ensuite le rayon de la pénombre (r_2) à une distance (d+x) du corps occultant, où x est la distance entre la pointe du cône d'ombre et le centre du corps occultant.
On a : tan u = r/x = r_2/(d+x)
Soit : r_2 = r * (d+x)/x
L'expression de x peut être extraite de la relation de similarité de triangles (formés par la source lumineuse, le corps occultant et la zone de pénombre) :
tan u = r/x = R/(D-x)
Soit :
r(D-x) = Rx
rD - rx = Rx
rD = x(R+r)
Ou encore :
x = rD/(R+r)
En substituant x dans l'expression de r_2 :
r_2 = r * (d / (rD/(R+r)) + 1)
r_2 = r * ( (d(R+r) + rD) / (rD) )
r_2 = (dR + dr + rD) / D
3. Si le centre de la Lune passe par le point P (supposé dans la zone d'ombre), alors la Lune sera totalement couverte par l'ombre de la Terre. Ceci est vérifié parce que le rayon de la Lune r' qui vaut 1,7 × 10^3 km est inférieur au rayon r_1 de l'ombre qui vaut 4,62 × 10^3 km (c'est-à-dire r' < r_1).
Dans ce scénario, la Lune subirait une éclipse totale de Lune, car elle serait entièrement immergée dans le cône d'ombre de la Terre.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce que la formule de conjugaison d'un miroir sphérique avec origine au centre C ?
La formule 1/CA + 1/CA' = 2/CS relie les positions du point objet A et du point image A' par rapport au centre de courbure C du miroir, ainsi que la position du sommet S du miroir. CA et CA' sont des distances algébriques qui permettent de déterminer la nature et la position de l'image.
Pourquoi un miroir avec un grandissement négatif n'est-il pas adapté pour un rétroviseur de voiture ?
Un grandissement négatif (γ < 0) indique que l'image formée est renversée par rapport à l'objet. Pour un rétroviseur de voiture, il est essentiel que l'image soit droite (non renversée) afin que le conducteur puisse interpréter correctement et rapidement les distances et les positions des objets situés derrière lui, garantissant ainsi la sécurité routière.
Comment la vergence est-elle définie pour un miroir sphérique et quand est-il considéré comme convergent ?
La vergence d'un miroir sphérique est définie par V = -n/f = n'/f', où n est l'indice du milieu de provenance de la lumière et n' = -n pour la lumière réfléchie (car le sens de propagation est inversé). Un miroir est considéré comme convergent si sa vergence V est positive, ce qui signifie qu'il fait converger les rayons lumineux incidents parallèles vers son foyer après réflexion.