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Optique : Examen optique géométrique api 2eme semestre

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Optique Géométrique : Comprendre les Miroirs, les Prismes et les Phénomènes d'Ombre

Ce billet de blog explore des concepts fondamentaux de l'optique géométrique à travers la résolution de problèmes. Nous examinerons les propriétés des miroirs sphériques, le comportement de la lumière dans un prisme transparent et la formation des zones d'ombre et de pénombre lors d'une éclipse.

Problème 1 : Étude d'un Miroir Sphérique

Un miroir sphérique a son centre C, son sommet S et un rayon de courbure R = SC = -6 m. Il est utilisé dans les conditions de l'approximation de Gauss et est placé dans l'eau, dont l'indice de réfraction est n = 1,5. Nous utiliserons le centre C comme origine pour toutes les mesures algébriques (CS = position de S par rapport à C).

Formule de conjugaison du miroir sphérique avec origine au centre C :

La formule de conjugaison pour un miroir sphérique, avec l'origine au centre C, est :

1/CA' + 1/CA = 2/CS

Où :
- CA' est la position algébrique de l'image A' par rapport au centre C.
- CA est la position algébrique de l'objet A par rapport au centre C.
- CS est la position algébrique du sommet S par rapport au centre C. Étant donné R = SC = -6 m, et C est l'origine, alors la position de S est -6 m, donc CS = -6 m.
Cette formule permet de déterminer la position de l'image si la position de l'objet et les caractéristiques du miroir sont connues.
Expression du grandissement linéaire γ du miroir sphérique avec origine au centre C :

Le grandissement linéaire γ (gamma) mesure le rapport de la taille de l'image à celle de l'objet. Avec l'origine au centre C, son expression est :

γ = CA' / CA

Le signe de γ indique si l'image est droite (γ > 0) ou inversée (γ < 0). Sa valeur absolue indique si l'image est agrandie (|γ| > 1), réduite (|γ| < 1) ou de même taille (|γ| = 1).
Détermination des positions des foyers F et Fˈ par rapport au centre C :

Pour un miroir sphérique, les foyers objet F et image F' sont confondus. Ils sont situés au milieu du segment CS. Par conséquent :

CF = CF' = CS / 2

Sachant que CS = -6 m :

CF = CF' = -6 m / 2 = -3 m

Les foyers F et F' sont situés à -3 m du centre C (à 3 m à gauche de C).
Calcul des distances focales f et fˈ du miroir :

La distance focale f est la distance algébrique du sommet S au foyer F. Elle est également égale à la moitié du rayon de courbure algébrique (f = R/2). Puisque R = CS = -6 m (le rayon de courbure algébrique), alors :

f = f' = CS / 2 = -3 m

Les distances focales du miroir sont de -3 m.
Calcul de la vergence V du miroir et spécification de son type :

La vergence V d'un miroir est l'inverse de sa distance focale exprimée en mètres (V = 1/f). Elle est mesurée en dioptries (δ).

V = 1 / f = 1 / (-3 m) ≈ -0,33 δ

Pour déterminer le type du miroir :
- Si la distance focale f est négative, le miroir est divergent.
- Si la distance focale f est positive, le miroir est convergent.
Dans notre cas, f = -3 m, ce qui est négatif. Le miroir est donc divergent.
Position de l'objet ponctuel A pour un grandissement linéaire γ = -1/3 :

Nous utilisons la formule du grandissement γ = CA' / CA, ce qui implique CA' = γ * CA = (-1/3) * CA.

Substituons cette expression dans la formule de conjugaison : 1/CA' + 1/CA = 2/CS

1 / ((-1/3) * CA) + 1/CA = 2 / (-6 m)

-3/CA + 1/CA = -1/3

-2/CA = -1/3

CA = 6 m

L'objet ponctuel A doit être placé à 6 m du centre C. Étant donné que le sommet S (emplacement du miroir) est à -6 m, l'objet A est situé à droite du miroir. Il s'agit donc d'un objet virtuel.
Détermination de la position de l'image Aˈ par rapport au centre C :

En utilisant la relation CA' = γ * CA avec γ = -1/3 et CA = 6 m :

CA' = (-1/3) * 6 m = -2 m

L'image A' est située à -2 m du centre C. Comme le miroir est à -6 m, l'image A' est à 4 m à droite du miroir. Il s'agit donc d'une image virtuelle.
Taille, sens et nature de l'image AˈBˈ pour un objet AB de hauteur 1,5 m :

La hauteur de l'objet AB = 1,5 m. Le grandissement linéaire est γ = -1/3.

La hauteur de l'image A'B' est :

A'B' = γ * AB = (-1/3) * 1,5 m = -0,5 m
- Taille : L'image A'B' a une hauteur de 0,5 m. Elle est plus petite que l'objet (réduite).
- Sens : Le signe négatif de A'B' (ou de γ) indique que l'image est inversée par rapport à l'objet.
- Nature : Puisque l'objet est virtuel (CA = 6 m) et l'image est formée à droite du miroir (CA' = -2 m, S = -6 m), l'image est virtuelle. Pour un miroir divergent, une image inversée et virtuelle d'un objet virtuel est un résultat possible.
Construction géométrique de l'image (description) :

Pour une construction à l'échelle, il faudrait placer les points suivants :
- Le centre C à l'origine (0).
- Le sommet S (où se trouve le miroir) à -6 m.
- Les foyers F et F' à -3 m.
- L'objet virtuel AB à 6 m (donc B's position serait (6, 1.5) ou (6, -1.5) selon l'orientation de AB). Les rayons incidents convergent vers A.
- L'image virtuelle A'B' à -2 m (donc B's position serait (-2, -0.5) ou (-2, 0.5)). Les rayons réfléchis semblent diverger de A'.
Les rayons principaux pour la construction géométrique sont :
- Un rayon incident convergeant vers le foyer objet F (-3m) se réfléchit parallèlement à l'axe optique.
- Un rayon incident convergeant vers le centre de courbure C (0m) se réfléchit sur lui-même.
- Un rayon incident convergeant vers le sommet S (-6m) se réfléchit symétriquement par rapport à l'axe optique.
L'intersection de ces rayons réfléchis (ou de leurs prolongements) détermine la position et la nature de l'image.
Grandissement linéaire γ pour un objet au point D (CD = -60 m) et utilisation comme rétroviseur :

Si l'objet est au point D tel que CD = -60 m (donc CA = -60 m, c'est un objet réel, situé à 60 m à gauche de C).

Utilisons la formule de conjugaison : 1/CA' + 1/CA = 2/CS

1/CA' + 1/(-60 m) = 2/(-6 m) = -1/3

1/CA' = -1/3 + 1/60 = -20/60 + 1/60 = -19/60

CA' = -60/19 m ≈ -3,158 m

Le grandissement linéaire γ est :

γ = CA' / CA = (-60/19 m) / (-60 m) = 1/19 ≈ 0,0526

Analyse pour l'utilisation comme rétroviseur de voiture :
- Taille : γ = 1/19, donc l'image est fortement réduite.
- Sens : γ est positif, donc l'image est droite.
- Nature : L'objet est réel (CA = -60m). L'image est à CA' ≈ -3,158 m. Puisque le miroir est au sommet S (-6 m), l'image est formée à droite du miroir. C'est donc une image virtuelle.
Oui, ce miroir peut être utilisé comme rétroviseur de voiture. Les rétroviseurs utilisent généralement des miroirs divergents (convexes) car ils offrent un champ de vision plus large et produisent des images droites, réduites et virtuelles, ce qui est essentiel pour la sécurité routière.

Problème 2 : Déviation Minimale d'un Prisme

Nous considérons un prisme transparent d'indice de réfraction n et d'angle au sommet A. La déviation D passe par un minimum Dm lorsque l'angle d'incidence de sortie i' est égal à l'angle d'incidence d'entrée i (i' = i). En utilisant les quatre formules du prisme, nous allons trouver l'expression de l'indice de réfraction n en fonction de A et Dm.

Les quatre formules du prisme sont :

Loi de Snell-Descartes à l'entrée : sin(i) = n sin(r)
Loi de Snell-Descartes à la sortie : sin(i') = n sin(r')
Relation angulaire dans le prisme : A = r + r'
Déviation totale : D = i + i' - A

Dans les conditions de déviation minimale (Dm), nous avons i' = i et r' = r.

En utilisant la relation 3 :

A = r + r' = r + r = 2r

Donc, r = A / 2

En utilisant la relation 4 :

Dm = i + i' - A = i + i - A = 2i - A

Donc, i = (Dm + A) / 2

Maintenant, nous substituons les expressions de i et r dans la loi de Snell-Descartes à l'entrée (relation 1) :

sin((Dm + A) / 2) = n sin(A / 2)

En réarrangeant pour trouver n :

n = sin((Dm + A) / 2) / sin(A / 2)

Cette formule est fondamentale pour déterminer l'indice de réfraction d'un matériau de prisme en mesurant son angle au sommet et l'angle de déviation minimale.

Problème 3 : Formation de l'Ombre et de la Pénombre

Le Soleil, de rayon R = 6,9 x 10⁵ km, éclaire la Terre, de rayon r = 6,37 x 10³ km, créant derrière elle une zone d'ombre et une zone de pénombre. La distance entre le centre du Soleil et celui de la Terre est D = 1,5 x 10⁸ km.

Calcul de la longueur l du cône d'ombre :

Le cône d'ombre (umbra) est formé par les tangentes communes extérieures au Soleil et à la Terre. Par des considérations de triangles similaires, la longueur l du cône d'ombre à partir du centre de la Terre est donnée par la relation :

R / (D + l) = r / l

Résolvons pour l :

R * l = r * (D + l)

R * l = r * D + r * l

l * (R - r) = r * D

l = (r * D) / (R - r)

Calcul numérique :
- R - r = (6,9 x 10⁵ km) - (6,37 x 10³ km) = 690 000 km - 6 370 km = 683 630 km
- r * D = (6,37 x 10³ km) * (1,5 x 10⁸ km) = 9,555 x 10¹¹ km²
l = (9,555 x 10¹¹ km²) / (6,8363 x 10⁵ km) ≈ 1,3976 x 10⁶ km

La longueur du cône d'ombre est d'environ 1,4 million de kilomètres.
Calcul des rayons ρ1 et ρ2 (ombre et pénombre) :

Le plan est situé à une distance d = 3,84 x 10⁵ km du centre de la Terre, perpendiculairement à l'axe Soleil-Terre. C'est la distance moyenne de la Lune à la Terre.
- Rayon de l'ombre (ρ1) :
- Rayon de la pénombre (ρ2) :
Proportion de la Lune couverte lors d'une éclipse :

Le rayon de la Lune est r' = 1,7 x 10³ km = 1700 km. La question fait référence à un point P non défini sur une figure manquante. Nous allons supposer que le centre de la Lune passe par le centre de la zone d'ombre à la distance d de la Terre.

Le rayon de la zone d'ombre (l'umbra) à la distance de la Lune (d) est ρ1 ≈ 4620 km.

Puisque le rayon de l'ombre (ρ1 = 4620 km) est plus grand que le rayon de la Lune (r' = 1700 km), si le centre de la Lune passe par le centre de l'ombre, la Lune sera entièrement couverte par l'ombre.

La proportion de la Lune qui sera couverte est donc de 1 (ou 100%).

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

Qu'est-ce que l'approximation de Gauss en optique géométrique ?: L'approximation de Gauss, ou approximation paraxiale, est un ensemble de conditions sous lesquelles les formules de l'optique géométrique peuvent être simplifiées. Elle suppose que tous les rayons lumineux sont proches de l'axe optique et font de petits angles avec celui-ci. Dans ces conditions, les sinus des angles peuvent être approximés par les angles eux-mêmes (sin θ ≈ θ), et les tangentes par les angles (tan θ ≈ θ), ce qui simplifie les calculs de formation d'images et rend les systèmes optiques stigmatiques.
Pourquoi la vergence d'un miroir divergent est-elle négative ?: La vergence d'un miroir est l'inverse de sa distance focale (V = 1/f). Par convention, un miroir divergent (convexe) a une distance focale négative. Cela signifie qu'il fait diverger les rayons lumineux incidents. Les rayons parallèles à l'axe optique se réfléchissent comme s'ils provenaient d'un foyer virtuel situé "derrière" le miroir, d'où la distance focale et la vergence négatives.
Comment la formation de l'ombre et de la pénombre est-elle liée à la taille relative des corps célestes ?: La taille et la forme des zones d'ombre (umbra) et de pénombre dépendent directement des tailles relatives de la source lumineuse (le Soleil) et de l'objet opaque (la Terre), ainsi que de la distance qui les sépare. Si la source de lumière est plus grande que l'objet opaque (comme le Soleil par rapport à la Terre), il y aura toujours une zone de pénombre entourant une zone d'ombre. La longueur du cône d'ombre est finie et l'ombre se rétrécit derrière l'objet, tandis que la pénombre s'élargit. Ces phénomènes sont à l'origine des éclipses solaires et lunaires.

Examen optique géométrique api 2eme semestre-télécharge...

Optique Géométrique : Comprendre les Miroirs, les Prismes et les Phénomènes d'Ombre

Problème 1 : Étude d'un Miroir Sphérique

Problème 2 : Déviation Minimale d'un Prisme

Problème 3 : Formation de l'Ombre et de la Pénombre

Questions Fréquemment Posées (FAQ)

Qu'est-ce que l'approximation de Gauss en optique géométrique ?

Pourquoi la vergence d'un miroir divergent est-elle négative ?

Comment la formation de l'ombre et de la pénombre est-elle liée à la taille relative des corps célestes ?

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