Optique : Examen optique geometrique smp2
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Corrigé de l'épreuve d'optique géométrique – SMP2 Session normale - Juin 2012
Questions de cours
1°) Les quatre formules fondamentales du prisme
Les quatre formules qui régissent le fonctionnement d'un prisme sont :
- Loi de Snell-Descartes pour l'entrée : sin i = n sin r (1)
- Loi de Snell-Descartes pour la sortie : n sin r' = sin i' (2)
- Relation angulaire dans le prisme : A = r + r' (3)
- Déviation totale : D = i + i' - A (4)
2°) Angle de réfraction limite (λ)
L'angle de réfraction limite λ est atteint lorsque le rayon émerge tangentiellement à la surface (émergence rasante), ce qui correspond à un angle de sortie i' = 90°.
En utilisant la formule (2) : n sin λ = sin 90° = 1.
Par conséquent, λ = arcsin(1/n).
Application numérique : Pour n = 1.5 (indice typique du verre), λ ≈ 41.8°.
3°) Condition d'émergence sur l'angle au sommet A
Pour qu'un rayon puisse traverser le prisme et émerger, il faut que la réflexion totale interne ne se produise pas sur la face de sortie. La condition d'émergence sur l'angle au sommet A est A ≤ 2λ.
Si l'angle au sommet A = 60° et 2λ = 83.6°, alors la condition A ≤ 2λ (60° ≤ 83.6°) est vérifiée, assurant une émergence possible.
4°) Condition d'émergence sur l'angle d'incidence i
Sur la face de sortie du prisme, la condition d'émergence s'écrit : r' ≤ λ.
D'après la relation (3), r' = A - r. Donc, la condition devient A - r ≤ λ, ce qui implique r ≥ A - λ.
Comme la fonction sinus est croissante sur l'intervalle [-π/2, π/2], on peut écrire : sin r ≥ sin (A - λ).
Multipliant par n : n sin r ≥ n sin (A - λ).
En utilisant la formule (1), sin i = n sin r, on obtient : sin i ≥ n sin (A - λ).
Ceci peut être écrit comme sin i ≥ sin i0, où sin i0 = n sin (A - λ).
On a donc : i ≥ i0.
D'un autre côté, pour que r' soit un angle de réfraction valide, r ≤ λ, ce qui implique i ≤ 90°.
La condition d'émergence relative à l'angle d'incidence i s'écrit alors : i0 ≤ i ≤ 90°.
L'angle limite d'incidence i0 est donné par : i0 = arcsin (n sin (A - λ)).
Application numérique : Pour les valeurs précédentes, i0 ≈ 27.9°.
5°) Cas de l'incidence normale (i = 0°)
Pour une incidence normale (i = 0°), le rayon lumineux traverse la première face (AB) sans être dévié. Dans ce cas :
- i = 0° implique r = 0° (d'après sin i = n sin r).
- D'après A = r + r', on a A = r' = 60°.
Or, la condition d'émergence sur la face de sortie est r' ≤ λ (r' ≤ 41.8°). Puisque r' = 60° est supérieur à λ (60° > 41.8°), la condition d'émergence n'est pas vérifiée. Le rayon subira alors une réflexion totale interne sur la face de sortie (AC).
Problème
Partie A : Étude d'un système optique centré
1°) Nature des dioptres sphériques (DS1 et DS2)
Un dioptre sphérique est une surface réfringente. Sa nature (convergente ou divergente) dépend de l'indice des milieux et de la position de son centre de courbure.
- **Dioptre sphérique DS1 :** Il sépare l'air (indice n1=1) et un milieu d'indice n (n2=n). Il est divergent car son centre de courbure C1 est situé dans le milieu le moins réfringent (l'air).
- **Dioptre sphérique DS2 :** Il sépare le milieu d'indice n (n1=n) et l'air (n2=1). Il est convergent car son centre de courbure C2 est situé dans le milieu le plus réfringent (le milieu d'indice n).
2°) Relations de conjugaison de position et de grandissement des dioptres sphériques
En utilisant l'origine au sommet S du dioptre, les relations de conjugaison sont :
- **Pour DS1 (passage de l'air à l'indice n) :**
Relation de position : n/SA1' - 1/SA = (n-1)/R1 (1)
Relation de grandissement : γ1 = (1/n) × (SA1'/SA)
- **Pour DS2 (passage de l'indice n à l'air) :**
Relation de position : 1/SA' - n/SA1 = (1-n)/R2 (2)
Relation de grandissement : γ2 = (n/1) × (SA'/SA1)
Où SA, SA1, SA1' et SA' sont les positions algébriques des objets et images par rapport au sommet S, et R1, R2 sont les rayons de courbure des dioptres. SA1 représente l'image formée par DS1, qui agit comme objet pour DS2.
3°) Distances focales objet et image des dioptres DS1 et DS2
- **Pour DS1 :**
- Foyer objet F1 : Si l'objet est en F1 (A ≡ F1), son image est à l'infini (SA1' ≡ ∞).
En utilisant la relation (1) : n/∞ - 1/SF1 = (n-1)/R1 ⇒ SF1 = -R1/(n-1)
- Foyer image F1' : Si l'objet est à l'infini (A ≡ ∞), son image est en F1' (SA1' ≡ F1').
En utilisant la relation (1) : n/SF1' - 1/∞ = (n-1)/R1 ⇒ SF1' = nR1/(n-1)
- Foyer objet F1 : Si l'objet est en F1 (A ≡ F1), son image est à l'infini (SA1' ≡ ∞).
- **Pour DS2 :**
- Foyer objet F2 : Si l'objet est en F2 (SA1 ≡ F2), son image est à l'infini (A' ≡ ∞).
En utilisant la relation (2) : 1/∞ - n/SF2 = (1-n)/R2 ⇒ SF2 = -nR2/(1-n)
- Foyer image F2' : Si l'objet est à l'infini (SA1 ≡ ∞), son image est en F2' (A' ≡ F2').
En utilisant la relation (2) : 1/SF2' - n/∞ = (1-n)/R2 ⇒ SF2' = R2/(1-n)
- Foyer objet F2 : Si l'objet est en F2 (SA1 ≡ F2), son image est à l'infini (A' ≡ ∞).
4°) Relations de conjugaison de position et de grandissement du système centré (lentille mince)
En considérant que les dioptres DS1 et DS2 forment une lentille mince, leurs sommets S1 et S2 sont confondus en S. L'image SA1' du DS1 devient l'objet SA1 pour le DS2 (SA1' = SA1).
En additionnant les deux relations de position (1) et (2) de la question 2°, on trouve :
(n/SA1' - 1/SA) + (1/SA' - n/SA1) = (n-1)/R1 + (1-n)/R2
Puisque SA1' = SA1, les termes n/SA1' et -n/SA1 s'annulent :
1/SA' - 1/SA = (n-1)/R1 + (1-n)/R2
Cette relation (3) est la formule de conjugaison de la lentille mince. On peut la simplifier :
1/SA' - 1/SA = (n-1) * (1/R1 - 1/R2)
Le grandissement linéaire total du système est le produit des grandissements de chaque dioptre :
γ = γ1 × γ2 = ((1/n) × (SA1'/SA)) × ((n/1) × (SA'/SA1))
Comme SA1' = SA1, on obtient : γ = SA'/SA
Ce système centré est donc équivalent à une lentille mince L1, avec son centre optique O1 confondu avec le sommet S. Sa vergence est V = (n-1)(1/R1 - 1/R2), et sa distance focale image est f' = 1/V.
5°) Foyers objet F et image F’ de la lentille mince L1
Pour une lentille mince, les positions des foyers sont données par :
- Foyer objet F : Si A ≡ F, alors A' ≡ ∞. En utilisant la relation (3) : 1/∞ - 1/SF = (n-1)(1/R1 - 1/R2) = 1/f'. Donc SF = -f'.
- Foyer image F' : Si A ≡ ∞, alors A' ≡ F'. En utilisant la relation (3) : 1/SF' - 1/∞ = (n-1)(1/R1 - 1/R2) = 1/f'. Donc SF' = f'.
Si la lentille L1 est divergente (f' < 0), alors SF = -f' > 0 (le foyer objet F est réel) et SF' = f' < 0 (le foyer image F' est virtuel). La conclusion que les foyers F et F’ sont virtuels signifierait que f' < 0 et -f' < 0, ce qui n'est pas cohérent. Il est plus probable que le foyer image soit virtuel pour une lentille divergente.
6°) Points principaux et points nodaux de la lentille mince L1
Pour une lentille mince, les points principaux H1 et H'1 sont confondus avec son centre optique O1 (et donc avec S). Ainsi, H1 ≡ O1 ≡ S ≡ H'1.
De plus, lorsque les milieux extrêmes de la lentille sont identiques (ici, l'air, donc ne = ns = 1), les points nodaux N1 et N'1 sont également confondus avec les points principaux H1 et H'1 respectivement.
Par conséquent, N1 ≡ O1 ≡ S ≡ N'1.
7°) Relation de Gullstrand pour le système centré
La relation de Gullstrand permet de calculer la vergence d'un système optique composé de plusieurs éléments. Pour un système centré formé par l'association de deux dioptres sphériques, elle s'écrit généralement :
V = V1 + V2 - (e/n)V1V2
Où V est la vergence du système, V1 et V2 sont les vergences des dioptres DS1 et DS2, e est la distance entre les points principaux des deux dioptres, et n est l'indice du milieu entre eux.
Ici, les points principaux du DS1 sont confondus avec S1 ≡ S, et ceux du DS2 sont confondus avec S2 ≡ S. Cela implique que la distance e entre les sommets (et donc les points principaux) est nulle (e=0) pour une lentille mince.
La formule se simplifie donc à : V = V1 + V2.
Les vergences des dioptres sont :
- V1 = (n-1)/R1
- V2 = (1-n)/R2
Donc, la vergence de la lentille mince est : V = (n-1)/R1 + (1-n)/R2 = (n-1)(1/R1 - 1/R2).
Sachant que n > 1, la nature de la lentille dépend du terme (1/R1 - 1/R2). Si ce terme est négatif, alors V < 0, et la lentille est divergente.
Si la lentille mince L1 est divergente, cela signifie que sa vergence V est négative (V < 0).
8°) Association de deux lentilles
a- Méthode de construction graphique
Pour construire l'image d'un objet à travers une association de lentilles, on peut utiliser des rayons remarquables. Par exemple, pour un système de deux lentilles L1 et L2, on peut tracer un rayon passant par le foyer objet de L1, émergeant parallèle à l'axe optique de L1. Ce rayon, une fois réfracté par L2, passera par le foyer image de L2.
La vergence d'un doublet de lentilles minces L1 et L2 séparées par une distance d est donnée par la formule de Gullstrand :
V = VL1 + VL2 - d × VL1 × VL2
Où VL1 = 1/f1' et VL2 = 1/f2' sont les vergences des lentilles L1 et L2 respectivement, placées dans l'air.
b- Condition pour qu'un doublet soit afocal
Un doublet est afocal si sa vergence totale V est nulle (V = 0).
En utilisant la formule de Gullstrand pour un doublet :
V = VL1 + VL2 - d × VL1 × VL2 = 0
Ce qui implique : 1/f1' + 1/f2' - d/(f1'f2') = 0
Multipliant par f1'f2' : f2' + f1' - d = 0
Donc, la condition pour qu'un doublet soit afocal est : d = f1' + f2'.
Note : Une autre méthode pour qu'un doublet soit afocal est que le foyer image de la première lentille (F1') soit confondu avec le foyer objet de la seconde lentille (F2). Cela signifie que les rayons parallèles incidents sur L1 émergent parallèles de L2. Cette condition est équivalente à d = f1' + f2 (où f2 est la distance focale objet de L2).
Partie B : Miroir équivalent
1°) Images Σ et Ω
Le système étudié implique la formation d'images par le dioptre sphérique DS1 dans le sens de la lumière réfléchie. Pour déterminer l'image d'un point par un dioptre, on utilise la relation de conjugaison : n2/SA' - n1/SA = (n2-n1)/R.
- **Image Σ :** C'est l'image du sommet S du miroir réel à travers le dioptre sphérique DS1.
Si l'on utilise la relation de conjugaison du DS1 avec l'origine au centre C1, on cherche Σ (image) de S (objet). La relation est n2/C1Σ - n1/C1S = 0 (pour conjugaison par rapport au centre).
Ainsi, Σ est déterminé par cette relation. Si le point S est à la même position que Σ (Σ ≡ S), cela signifie que S est au centre de courbure C1, ou que la réflexion interne est considérée.
- **Image Ω :** C'est l'image du centre C2 du miroir réel à travers le dioptre sphérique DS1.
La relation de conjugaison du DS1 avec l'origine au sommet S est utilisée pour trouver Ω (image) de C2 (objet). n/SΩ - 1/SC2 = (n-1)/R1.
Ω est calculé à partir de cette relation.
2°) Rayon de courbure du miroir équivalent
Le rayon de courbure ρ du miroir équivalent est lié aux positions des points Σ et Ω. Si Σ est le sommet du miroir équivalent et Ω son centre de courbure, alors le rayon de courbure est ρ = ΣΩ.
Application numérique : Si le calcul de ρ donne une valeur négative (par exemple, si ρ < 0), cela indique que le miroir équivalent est sphérique concave et donc convergent.
3°) Condition pour un miroir équivalent plan
Un miroir équivalent devient un miroir plan lorsque son rayon de courbure ρ devient infini (ρ → ∞).
La condition ΣΩ → ∞ implique que les termes dans la formule de ρ (qui dépendent de n et R) doivent s'annuler ou tendre vers zéro, pour que le dénominateur tende vers zéro, rendant ρ infini. Cela dépend des paramètres spécifiques de n et R1 (ou R2).
Foire aux questions (FAQ)
Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'un rayon lumineux traverse un prisme sans subir de réflexion totale interne ?
Pour qu'un rayon traverse un prisme et en émerge, deux conditions principales doivent être remplies. Premièrement, l'angle au sommet A du prisme doit être inférieur ou égal à deux fois l'angle de réfraction limite (A ≤ 2λ). Deuxièmement, l'angle d'incidence i sur la première face doit se situer dans un intervalle spécifique, c'est-à-dire i0 ≤ i ≤ 90°, où i0 est une valeur minimale dépendant des propriétés du prisme.
Quelle est la différence entre un dioptre sphérique convergent et divergent ?
La nature (convergente ou divergente) d'un dioptre sphérique dépend de plusieurs facteurs : le sens de propagation de la lumière, les indices de réfraction des milieux de part et d'autre du dioptre, et la courbure de la surface. Généralement, un dioptre est considéré convergent s'il fait converger les rayons lumineux incidents (par exemple, vers un point réel), et divergent s'il les fait diverger (par exemple, à partir d'un point virtuel). La position du centre de courbure par rapport aux milieux réfringents est un indicateur clé.
Comment savoir si un système optique composé de plusieurs lentilles est afocal ?
Un système optique composé de deux lentilles minces est dit afocal si sa vergence totale est nulle. Cela signifie que tout rayon lumineux incident parallèle à l'axe optique en ressortira également parallèle à l'axe optique. La condition mathématique pour un doublet de lentilles minces séparées par une distance d est que la somme de leurs distances focales images doit être égale à la distance d entre elles (d = f'1 + f'2), ou, de manière équivalente, le foyer image de la première lentille doit coïncider avec le foyer objet de la seconde.