Optique : Examen physique 4 optique physique
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Polarisation des Ondes Électromagnétiques
L'expression du champ électrique d'une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique est la suivante :
Ex(t,z) = Emx cos(ωt - kz)
Ey(t,z) = Emy cos(ωt - kz - φ)
Ez(t,z) = 0
où φ est la différence de phase entre les composantes du champ Ex et Ey.
Définition de la polarisation
La polarisation d'une onde électromagnétique décrit la trajectoire de l'extrémité du vecteur champ électrique dans un plan perpendiculaire à sa direction de propagation. Elle caractérise la manière dont l'orientation du champ électrique évolue au cours du temps à un point donné de l'espace.
Équation de la polarisation
À partir de l'expression du champ électrique E(t,z) au point z=0, l'équation décrivant l'état de polarisation (la trajectoire de l'extrémité du vecteur champ électrique) est la suivante :
(Ex / Emx)2 + (Ey / Emy)2 - 2 (Ex / Emx) (Ey / Emy) cosφ = sin2φ
Cette équation représente une ellipse et décrit la polarisation elliptique, qui est l'état de polarisation le plus général. L'analyse à z=0 permet de simplifier l'étude en se concentrant sur le comportement du champ électrique dans un plan transversal fixe, facilitant la visualisation de sa trajectoire.
Polarisation circulaire
Lorsque Emx = Emy = E et que φ = ±π/2, l'équation de polarisation se simplifie pour décrire une polarisation circulaire. Dans ce cas, la trajectoire du vecteur champ électrique est un cercle. Le sens de rotation du champ électrique peut être déterminé en analysant la dérivée temporelle du champ E(t,z) ou en examinant le produit vectoriel entre le vecteur unitaire de propagation et le champ électrique.
Pour confirmer ces résultats, on peut évaluer le vecteur champ électrique à des instants spécifiques tels que t=0, t=T/4, t=T/2, etc., où T est la période temporelle de l'onde plane progressive monochromatique (OPPM). Cette méthode permet de visualiser la rotation du vecteur champ électrique dans le plan de polarisation.
Exemple de polarisation
Pour une OPPM dont le champ électrique est donné par :
Ex(t,z) = E0 cos(ωt - kz - π/2) = E0 sin(ωt - kz)
Ey(t,z) = E0 sin(ωt - kz + π/2) = E0 cos(ωt - kz)
Ez(t,z) = 0
Cet état de polarisation correspond à une polarisation circulaire, car les amplitudes des composantes Ex et Ey sont égales (E0) et leur différence de phase est ±π/2. La composante Ez est nulle car les ondes électromagnétiques dans le vide sont des ondes transversales, signifiant que leurs champs électrique et magnétique sont toujours perpendiculaires à la direction de propagation (ici, l'axe z).
Interférence : Le Bi-miroir de Fresnel
Le bi-miroir de Fresnel est un dispositif optique qui permet d'observer des phénomènes d'interférence. Une onde monochromatique, émise par une source ponctuelle S, est divisée en deux ondes cohérentes, E1 et E2, d'égale amplitude. Les miroirs M1 et M2 sont inclinés l'un par rapport à l'autre d'un angle très faible.
Les sources ponctuelles S1 et S2 sont les images virtuelles de la source réelle S, formées par les miroirs. Elles agissent comme deux sources secondaires cohérentes. Des franges d'interférence sont observées dans la zone de recouvrement des deux ondes, sur un écran placé après les miroirs.
Les champs électriques des deux ondes sont donnés par :
E1(t,r1) = E0 cos(ωt - kr1)
E2(t,r2) = E0 cos(ωt - kr2)
où E0 est l'amplitude maximale, r1 et r2 sont les distances optiques des sources virtuelles S1 et S2 à un point M sur l'écran. Le vecteur unitaire du champ électrique est orthogonal au plan d'incidence.
Un laser He-Ne, dont la largeur à mi-hauteur (Δλ0) du spectre de fréquence est de 2 picomètres, est utilisé pour émettre la lumière. Cette faible largeur spectrale assure une excellente cohérence temporelle, essentielle pour l'observation d'interférences stables.
Champ électrique résultant et intensité
Le champ électrique résultant E en un point M sur l'écran est la superposition des deux ondes : E = E1 + E2. L'intensité lumineuse I observée sur l'écran est proportionnelle à la valeur moyenne temporelle du carré du champ électrique résultant, <E2>. Cette intensité peut être exprimée sous la forme :
I = I0 (1 + cos φ)
où I0 est l'intensité maximale de l'onde issue d'une seule source (proportionnelle à E02), et φ est le déphasage entre les deux ondes. Le déphasage est relié à la différence de marche δ = r2 - r1 par la relation φ = kδ, où k = 2π/λ0 est le nombre d'onde et λ0 est la longueur d'onde de la lumière.
Conditions d'interférence
L'interférence est constructive (franges brillantes) aux points où la différence de marche δ est un multiple entier de la longueur d'onde : δ = mλ0, où m = 0, ±1, ±2, ... Aux points d'interférence constructive, l'intensité I est maximale (2I0 si les amplitudes sont égales).
L'interférence est destructive (franges sombres) aux points où la différence de marche δ est un multiple impair de la demi-longueur d'onde : δ = (m + 1/2)λ0. Aux points d'interférence destructive, l'intensité I est minimale (nulle si les amplitudes sont égales).
Pour une différence de marche de 5,5λ0, l'interférence serait destructive, et l'ordre d'interférence de la dernière frange avant d'atteindre cette valeur est m=5. Les franges d'interférence sont parallèles à l'axe Oy, ce qui signifie que la coordonnée y est un invariant, et elles sont symétriques par rapport à l'axe Ox.
Différence de marche et interfrange dans le bi-miroir de Fresnel
L'angle α entre les miroirs de Fresnel est la cause de la différence de marche δ, qui varie en fonction de la position du point M sur l'écran. Les sources virtuelles S1 et S2 sont séparées par une distance 'a'. L'écran est perpendiculaire à l'axe Oz, et la distance entre les sources virtuelles et l'écran est d0.
La différence de marche δ peut être exprimée comme δ = ax/d0, où x est la coordonnée du point M sur l'écran. Cette relation est obtenue en utilisant des approximations de petits angles et des développements limités. La frange centrale, où δ = 0, est une frange brillante et est située aux coordonnées (0, 0) sur l'écran.
Le déphasage φ au point M est donc :
φ = (2π / λ0) × (ax / d0)
Dans la géométrie du bi-miroir de Fresnel, la distance 'a' entre les sources virtuelles est liée à l'angle α et au rayon R (distance entre S et le centre de courbure des miroirs) par la relation a = 2Rα (pour un petit angle α). Ainsi, le déphasage devient :
φ = (2π × 2Rα x) / (λ0 d0)
L'interfrange 'i' est la distance entre deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives). Elle est donnée par la formule :
i = λ0 d0 / a
En remplaçant 'a' par 2Rα, l'interfrange est :
i = (λ0 d0) / (2Rα)
Si l'angle α est maintenu constant, l'interfrange i augmente proportionnellement à la distance d0, ce qui signifie que les franges s'écartent lorsque l'écran est éloigné du bi-miroir de Fresnel. Inversement, si la distance d0 est fixe, l'interfrange i diminue lorsque l'angle α augmente, rendant les franges plus serrées.
Application numérique
Considérons un écran situé à 3 m du bi-miroir. La distance mesurée entre la frange sombre d'ordre 0 et la frange sombre d'ordre 7 est de 5,71 mm. Cette distance représente 7 interfranges.
L'interfrange i est donc : i = 5,71 mm / 7 ≈ 0,8157 mm = 0,8157 × 10-3 m.
Avec un laser He-Ne de longueur d'onde λ0 = 632,8 nm (ou 632,8 × 10-9 m) et un rayon R = 20 cm (ou 0,2 m), nous pouvons calculer l'angle α entre les miroirs plans M1 et M2 en utilisant la formule de l'interfrange :
α = (λ0 d0) / (2Ri)
En substituant les valeurs : d0 = 3 m, i = 0,8157 × 10-3 m, λ0 = 632,8 × 10-9 m, R = 0,2 m.
α = (632,8 × 10-9 × 3) / (2 × 0,2 × 0,8157 × 10-3) ≈ 5,81 × 10-6 radians.
Pour exprimer cet angle en minutes d'arc, sachant que 1 radian ≈ 3437,75 minutes d'arc :
α ≈ 5,81 × 10-6 × 3437,75 ≈ 0,020 minutes d'arc.
Questions Générales sur les Interférences
Interférences localisées ou non localisées ?
Il s'agit d'interférences non localisées. Dans le cas du bi-miroir de Fresnel, les sources virtuelles S1 et S2 sont fixes, et les franges peuvent être observées sur un écran placé à n'importe quelle distance des miroirs, y compris à l'infini. Cela est caractéristique des systèmes où les interférences ne se forment pas dans un plan spécifique mais dans tout l'espace de recouvrement des ondes.
Interférence par division d'amplitude ou de front d'onde ?
Il s'agit d'interférences par division de front d'onde. Le bi-miroir de Fresnel divise le front d'onde émis par la source ponctuelle unique S en deux parties, qui sont ensuite réfléchies pour créer les deux sources virtuelles S1 et S2. Ces deux parties du même front d'onde initial interfèrent, ce qui est le principe de la division de front d'onde.
Conditions pour l'observation des interférences
Pour que les interférences entre les ondes E1 et E2 soient observables et stables, quatre conditions principales doivent être remplies :
- Cohérence temporelle : Les ondes doivent maintenir une relation de phase constante pendant une durée suffisamment longue (temps de cohérence). L'utilisation d'un laser He-Ne, caractérisé par une très faible largeur spectrale (Δλ0 de 2 picomètres), garantit une excellente cohérence temporelle.
- Cohérence spatiale : Les ondes doivent avoir une relation de phase constante en différents points de leur front d'onde. La source S étant ponctuelle et le bi-miroir de Fresnel divisant son front d'onde, les sources virtuelles S1 et S2 sont cohérentes spatialement.
- Même état de polarisation : Les ondes doivent être polarisées de la même manière pour que leurs composantes puissent interférer efficacement. Le texte spécifie que le vecteur unitaire du champ électrique est orthogonal au plan d'incidence, suggérant un état de polarisation linéaire identique pour les deux ondes.
- Amplitudes comparables : Les amplitudes des ondes doivent être proches pour obtenir un contraste maximal des franges. Le bi-miroir de Fresnel est conçu pour que les deux ondes (E1 et E2) aient une amplitude égale (E0), ce qui permet d'obtenir un contraste élevé entre les franges brillantes et sombres.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la polarisation d'une onde électromagnétique ?
La polarisation d'une onde électromagnétique décrit la manière dont son champ électrique s'oriente et se déplace dans le plan perpendiculaire à sa direction de propagation. Elle peut être linéaire, circulaire ou elliptique, selon la forme de la trajectoire que suit l'extrémité du vecteur champ électrique au fil du temps.
Pourquoi le bi-miroir de Fresnel est-il utilisé en interférométrie ?
Le bi-miroir de Fresnel est utilisé en interférométrie pour créer deux sources lumineuses virtuelles et cohérentes à partir d'une seule source réelle. Ce dispositif divise le front d'onde de la source originale en deux, permettant ainsi l'observation d'interférences stables grâce à la cohérence des deux ondes résultantes.
Quelles sont les conditions essentielles pour observer des interférences lumineuses stables ?
Pour observer des interférences lumineuses stables, il est crucial que les ondes soient cohérentes (temporellement et spatialement), qu'elles possèdent le même état de polarisation et qu'elles aient des amplitudes comparables. Une source monochromatique et des dispositifs de division du front d'onde, comme le bi-miroir de Fresnel, sont généralement employés pour remplir ces conditions.