Exercices physique ondes interféromètre de michelson Op...

Optique : Exercices physique ondes interféromètre de michelson

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Exercice 1: Caractéristiques d'une onde plane, sinusoïdale et monochromatique

Le champ électrique d'une onde électromagnétique se propageant dans le vide (avec une célérité c = 3 x 10⁸ m/s) est donné par une expression de la forme générale :

E(z,t) = E₀ * cos(kz - ωt + φ₀) * e_y

D'après l'énoncé, l'expression du champ électrique est :

E(z,t) = 3 * cos((2π/3 * 10⁸)z - (8 * 10⁸)t + φ₀) * e_y

La relation entre le champ magnétique et le champ électrique pour une onde plane dans le vide est B = (1/c) * (u_k × E), où u_k est le vecteur unitaire de la direction de propagation.

Détermination des caractéristiques de l'onde

Amplitude maximale et phase initiale à l'origine du temps et de l'espace :

L'amplitude maximale est le coefficient devant le cosinus, soit E₀ = 3 V/m.

La phase initiale φ₀ est la constante d'intégration dans l'argument du cosinus. Sans information supplémentaire, elle est désignée par φ₀ dans l'expression donnée.
Cosinus directeurs et sens de sa direction de propagation :

Le vecteur d'onde k est identifié par le terme kz. Ici, k est dirigé selon l'axe z. Le vecteur d'onde est donc k = (2π/3 * 10⁸) * e_z. Les cosinus directeurs sont (α, β, γ) = (0, 0, 1). Le sens de propagation est dans la direction positive de l'axe z.
Longueur d'onde et région spectrale :

Le nombre d'onde k = 2π/λ. D'après l'expression, k = 2π/3 * 10⁸ m^-1.

Donc, λ = 2π / k = 2π / (2π/3 * 10⁸) = 3 * 10^-8 m = 30 nm.

Cette longueur d'onde appartient à la région ultraviolette (UV) ou aux rayons X mous du spectre électromagnétique.
Fréquence temporelle :

La pulsation ω = 2πf. D'après l'expression, ω = 8 * 10⁸ rad/s.

Donc, f = ω / (2π) = (8 * 10⁸) / (2π) ≈ 1.27 * 10⁸ Hz = 127 MHz.
Nombre d'onde :

Le nombre d'onde k = 2π/3 * 10⁸ m^-1.
État de polarisation :

Le champ électrique est dirigé selon le vecteur unitaire e_y. L'onde est donc polarisée linéairement selon l'axe y.
Vecteur densité du flux magnétique :

Le vecteur densité du flux magnétique est le champ magnétique B. Pour une onde plane dans le vide, B = (1/c) * (u_k × E).

Avec u_k = e_z et E = E_y * e_y, où E_y = 3 * cos((2π/3 * 10⁸)z - (8 * 10⁸)t + φ₀).

Alors, B = (1/c) * (e_z × E_y * e_y) = (E_y / c) * (e_z × e_y) = (E_y / c) * (-e_x).

Soit B(z,t) = - (3 / (3 * 10⁸)) * cos((2π/3 * 10⁸)z - (8 * 10⁸)t + φ₀) * e_x.

B(z,t) = - 10^-8 * cos((2π/3 * 10⁸)z - (8 * 10⁸)t + φ₀) * e_x Tesla.

Problème: Interférences et interféromètre de Michelson

Un interféromètre de Michelson divise une onde plane monochromatique en deux ondes, E₁ et E₂, qui se propagent le long de chemins optiques différents puis se recombinent. Les champs électriques des deux ondes sont donnés par :

E₁(r,t) = E₀ * cos(ωt - kr₁) * u

E₂(r,t) = E₀ * cos(ωt - kr₂) * u

où E₀ est l'amplitude maximale et u est le vecteur de polarisation. Une réflexion "dure" introduit un déphasage supplémentaire de π. Si les deux ondes subissent ce même déphasage lors de leur recombinaison (par exemple si les deux se réfléchissent sur la lame séparatrice avant de se superposer), cela n'affecte pas leur différence de phase relative, qui est la clé de l'interférence.

Questions sur l'interféromètre de Michelson

Expression du champ électrique résultant sur l'écran de la caméra :

Le champ électrique résultant est la somme des deux champs : E_R(r,t) = E₁(r,t) + E₂(r,t).

E_R(r,t) = E₀ * u * [cos(ωt - kr₁) + cos(ωt - kr₂)].

En utilisant la formule de somme des cosinus (cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)) :

E_R(r,t) = 2E₀ * u * cos(ωt - k(r₁+r₂)/2) * cos(k(r₂-r₁)/2).

En définissant la différence de marche optique δ = k(r₂-r₁), on a :

E_R(r,t) = 2E₀ * u * cos(ωt - k(r₁+r₂)/2) * cos(δ/2).
Valeur de E² sur l'écran :

E²_R(r,t) = |E_R(r,t)|² = (2E₀)² * cos²(ωt - k(r₁+r₂)/2) * cos²(δ/2).

E²_R(r,t) = 4E₀² * cos²(ωt - k(r₁+r₂)/2) * cos²(δ/2).
Valeur moyenne temporelle <E²> et relation avec l'éclairement :

La valeur moyenne temporelle de cos²(X) sur une période est 1/2.

Donc, <E²_R> = 4E₀² * (1/2) * cos²(δ/2) = 2E₀² * cos²(δ/2).

L'éclairement I est proportionnel à la valeur moyenne temporelle de E². Si I_max est l'éclairement maximal, alors I = I_max * cos²(δ/2). Dans le contexte de l'énoncé, si I₀ représente 4E₀² (soit 2I_max), l'expression donnée I = I₀/4 * cos²(δ/2) est peu conventionnelle. Généralement, si I_inc est l'intensité d'une seule onde incidente, alors I_max = 4I_inc, et l'intensité résultante est I = 4I_inc * cos²(δ/2). Pour que la relation donnée soit correcte, I₀ devrait être définie de manière spécifique pour que I₀/4 corresponde à l'intensité maximale, ou il pourrait s'agir d'une erreur de frappe et I₀ devrait être l'intensité maximale I_max.

La différence de phase δ = k(r₂-r₁) où k est le nombre d'onde.
Calcul de l'éclairement aux points singuliers, leur représentation et ordre d'interférence :
- Éclairement aux points singuliers :
  
  Pour l'interférence constructive, la différence de phase δ = 2mπ (ou différence de marche k(r₂-r₁) = mλ). Alors cos²(δ/2) = cos²(mπ) = 1. L'éclairement est maximal : I = I_max.
  
  Pour l'interférence destructive, la différence de phase δ = (2m+1)π (ou différence de marche k(r₂-r₁) = (m+1/2)λ). Alors cos²(δ/2) = cos²((m+1/2)π) = 0. L'éclairement est nul : I = 0.
- Représentation des points singuliers :
  
  Les points d'interférence constructive correspondent aux franges brillantes (maximum d'éclairement), et les points d'interférence destructive correspondent aux franges sombres (minimum ou annulation d'éclairement).
- Valeur relative de l'éclairement à δ = 7.75λ :
  
  Si la différence de marche est ΔL = 7.75λ, alors la différence de phase est δ = k * ΔL = (2π/λ) * 7.75λ = 15.5π.
  
  L'éclairement relatif est I/I_max = cos²(δ/2) = cos²(15.5π/2) = cos²(7.75π).
  
  cos²(7.75π) = cos²(7π + 0.75π) = cos²(0.75π) = (-1/√2)² = 1/2.
  
  Donc, I/I_max = 1/2.
- Ordre d'interférence de la dernière frange juste avant d'atteindre cette valeur :
  
  Pour une différence de marche de 7.75λ :
  
  La dernière frange brillante avant cette valeur est à 7λ, correspondant à un ordre m=7 (constructif).
  
  La dernière frange sombre avant cette valeur est à 7.5λ, correspondant à un ordre m=7 (destructif, car (7+1/2)λ = 7.5λ).
  
  L'éclairement à 7.75λ est à mi-chemin entre une frange sombre et une frange brillante.
Démonstration de δ = 2d * cos(θ_i) :

Dans un interféromètre de Michelson configuré pour former une lame d'air d'épaisseur d, la différence de marche δ entre les deux ondes (qui semblent provenir de sources virtuelles image de la source réelle) est donnée par la distance supplémentaire parcourue par l'une des ondes. Pour un rayon incident avec un angle θ_i par rapport à la normale à la lame d'air, la différence de marche est δ = 2d * cos(θ_i). Ce résultat provient de la géométrie des trajets optiques dans la lame d'air équivalente formée par les miroirs M₁ et M₂.
Retrouver la relation 2d(1-cos(θ_p)) = pλ₀ :

Pour une frange sombre d'ordre m, la condition est 2d * cos(θ_p) = (m + 1/2)λ₀. Si le centre (θ₀ = 0) est une frange sombre, alors 2d * cos(0) = (m₀ + 1/2)λ₀, ce qui donne 2d = (m₀ + 1/2)λ₀.

Soustraire la condition pour la frange d'ordre m_p et la condition pour le centre :

2d - 2d * cos(θ_p) = (m₀ + 1/2)λ₀ - (m_p + 1/2)λ₀

2d(1 - cos(θ_p)) = (m₀ - m_p)λ₀.

Si p est le numéro de la frange noire à partir du centre (p = m₀ - m_p), alors on retrouve la relation :

2d(1 - cos(θ_p)) = pλ₀.
Calcul de l'ordre d'interférence au centre :

Pour une frange sombre au centre (θ₀ = 0), nous avons 2d = (m₀ + 1/2)λ₀.

Avec λ₀ = 632.8 nm = 632.8 × 10^-9 m et d = 1 cm = 0.01 m.

m₀ + 1/2 = 2d / λ₀ = (2 × 0.01) / (632.8 × 10^-9) = 0.02 / (6.328 × 10^-7) ≈ 31605.56.

m₀ ≈ 31605.56 - 0.5 = 31605.06.

L'ordre d'interférence est le nombre entier m₀ = 31605.
Démonstration de la relation pour le rayon des anneaux sombres :

Pour les petits angles, l'approximation cos(θ) ≈ 1 - θ²/2 peut être utilisée.

La relation 2d(1 - cos(θ_p)) = pλ₀ devient :

2d(1 - (1 - θ_p²/2)) = pλ₀.

2d(θ_p²/2) = pλ₀.

dθ_p² = pλ₀, d'où θ_p = √(pλ₀/d).

Dans le plan focal d'une lentille de distance focale f, le rayon r_p d'un anneau est lié à l'angle θ_p par r_p = f * tan(θ_p). Pour les petits angles, tan(θ_p) ≈ θ_p.

Ainsi, r_p = f * θ_p = f * √(pλ₀/d).

L'expression r_p² = pλ₀f²/d est également couramment utilisée.
Détermination des rayons du 1er et 2ème anneaux sombres :

En utilisant la formule r_p = f * √(pλ₀/d) avec f = 20 cm = 0.2 m, λ₀ = 632.8 × 10^-9 m, et d = 0.01 m.
- Pour le 1er anneau sombre (p=1) :
  
  r₁ = 0.2 * √(1 * 632.8 × 10^-9 / 0.01) = 0.2 * √(6.328 × 10^-5) ≈ 0.2 * 0.007955 ≈ 0.001591 m.
  
  r₁ ≈ 1.59 mm.
- Pour le 2ème anneau sombre (p=2) :
  
  r₂ = 0.2 * √(2 * 632.8 × 10^-9 / 0.01) = 0.2 * √(1.2656 × 10^-4) ≈ 0.2 * 0.011249 ≈ 0.002250 m.
  
  r₂ ≈ 2.25 mm.
Type d'interférences (localisées ou non localisées) :

Il s'agit d'interférences non localisées, souvent dites "localisées à l'infini". Les franges d'égale inclinaison sont observées dans le plan focal d'une lentille, ce qui correspond à l'observation de franges à l'infini.
Type d'interférence (par division d'amplitude ou de front d'onde) :

Il s'agit d'interférences par division d'amplitude. La lame séparatrice divise l'amplitude d'une seule onde incidente en deux ondes cohérentes, qui parcourent ensuite des chemins différents avant de se recombiner.
Les 4 conditions d'interférences sont-elles remplies? Justification :

Pour que les interférences soient durables et observables, quatre conditions principales doivent être remplies :
- Cohérence spatiale : La source laser He-Ne est intrinsèquement très cohérente spatialement, agissant comme une source quasi-ponctuelle. La division d'amplitude par la lame séparatrice crée deux sources virtuelles très proches et corrélées.
- Cohérence temporelle : Le laser He-Ne émet une lumière quasi-monochromatique. La largeur à mi-hauteur du spectre de fréquence (Δf = 1500 MHz) permet de calculer la longueur de cohérence L_c = c / Δf. L_c = (3 × 10⁸ m/s) / (1.5 × 10⁹ Hz) = 0.2 m = 20 cm. La différence de chemin optique dans l'interféromètre est 2d, et d < 1 cm, donc 2d < 2 cm. Puisque 2d << L_c, la cohérence temporelle est largement maintenue.
- Fréquences identiques : Les deux ondes proviennent de la même source laser, elles ont donc la même fréquence.
- Polarisations parallèles : Le problème indique que le vecteur unitaire u est orthogonal au plan d'incidence et que les deux ondes ont ce même vecteur de polarisation u, ce qui assure que leurs polarisations sont parallèles.
Toutes les conditions nécessaires à l'observation d'interférences durables sont donc remplies.

Exercice 2: Diffraction

Questions sur la diffraction

Condition pour le phénomène de diffraction et son type :

Le phénomène de diffraction est significatif lorsque la taille de l'ouverture (ou de l'obstacle) a est du même ordre de grandeur ou plus petite que la longueur d'onde λ de la lumière incidente (a ≤ λ ou a ≈ λ). Si a ≫ λ, la diffraction est négligeable et la lumière se propage selon les lois de l'optique géométrique.

Concernant le type de diffraction :
- La diffraction de Fraunhofer (ou diffraction en champ lointain) se produit lorsque la source lumineuse et l'écran d'observation sont suffisamment éloignés de l'ouverture diffractante, ou lorsque des lentilles sont utilisées pour collecter la lumière à l'infini.
- La diffraction de Fresnel (ou diffraction en champ proche) se produit lorsque la source lumineuse ou l'écran d'observation (ou les deux) sont relativement proches de l'ouverture diffractante.
Sans les figures de diffraction, il est impossible de déterminer le type spécifique, mais les formes observées dépendent de ces conditions de distance.
Forme géométrique des ouvertures ou obstacles :

Les figures (a), (b), (c) et (d) ne sont pas fournies dans l'énoncé. Par conséquent, il n'est pas possible de déterminer les formes géométriques correspondantes des ouvertures ou obstacles.

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un interféromètre de Michelson ?

L'interféromètre de Michelson est un dispositif optique qui divise un faisceau lumineux en deux, les dirige le long de chemins optiques différents, puis les recombine pour créer un motif d'interférence. Il est principalement utilisé pour mesurer de petites variations de longueur ou pour analyser la cohérence de la lumière.

Quelle est la différence entre l'interférence par division d'amplitude et par division de front d'onde ?

L'interférence par division d'amplitude se produit lorsqu'une seule onde lumineuse est divisée en deux (ou plusieurs) ondes qui parcourent des chemins différents, puis sont recombinées. L'interféromètre de Michelson en est un exemple. L'interférence par division de front d'onde, en revanche, se produit lorsqu'un front d'onde unique est échantillonné en deux (ou plusieurs) points, et les ondes provenant de ces points interfèrent. Les fentes de Young sont un exemple classique de division de front d'onde.

Quelles sont les conditions essentielles pour observer des interférences lumineuses durables ?

Pour que les interférences lumineuses soient stables et bien définies, quatre conditions principales doivent être remplies : les sources doivent être (1) cohérentes spatialement et (2) cohérentes temporellement, (3) avoir des fréquences identiques et (4) des polarisations parallèles ou avec des composantes parallèles.