Optique : Td diffraction du reseau
Télécharger PDFIntroduction à l'Optique Ondulatoire : Réseaux de Diffraction
Le phénomène de diffraction est essentiel en optique ondulatoire. Dans le contexte d'un réseau de diffraction, la lumière incidente est déviée, créant des figures d'interférence.
1. Différence de marche et de phase
La différence de marche (δm) entre les ondelettes diffractées par deux fentes successives Im et Im-1 d'un réseau est donnée par :
δm = m × δ
Où δ représente la différence de marche entre des ondelettes diffractées par deux fentes adjacentes.
En considérant les angles d'incidence (i) et de diffraction (θ), la différence de marche δ est exprimée comme :
δ = a(&sin;i - &sin;θ)
La différence de phase (φ), également appelée déphasage, est liée à la différence de marche δ par la relation :
φ = kδ = (2π/λ)δ
En substituant l'expression de δ, nous obtenons :
φ = (2π/λ) a(&sin;i - &sin;θ)
2. Condition pour les maxima d'intensité
Pour obtenir les maxima d'intensité relative diffractée d'ordre p dans les directions angulaires θp, la condition est que la différence de phase φ soit un multiple entier de 2π. Ainsi, pour p entier (p=0, ±1, ±2, ...), on doit avoir :
φ = 2pπ
En remplaçant φ par son expression, on obtient la formule fondamentale des réseaux :
a(&sin;i + &sin;θp) = pλ (1)
Sous incidence normale (i = 0), cette formule se simplifie en :
a &sin;θp = pλ
3. Angle de déviation minimale
Lorsque le réseau tourne autour de l'axe Oy, l'angle d'incidence i varie, ce qui entraîne une variation de l'angle de diffraction θp et, par conséquent, de l'angle de déviation Dp = θp - i. La déviation est extrémale (minimale) lorsque dDp/di = 0, ce qui implique dθp/di = 1.
En différenciant la formule (1) par rapport à i, en considérant que a et λ sont constants :
a(&cos;i di + &cos;θp dθp) = 0
Si dθp/di = 1, alors &cos;i = -&cos;θp. Cela signifie que i = -θp (ou i = θp pour la lumière non diffractée).
Pour la déviation minimale Dm, nous avons :
Dm = θp - i
Si i = -θp, alors Dm = θp - (-θp) = 2θp. Cela implique :
θp = Dm/2 et i = -Dm/2 (2)
4. Relation fondamentale à déviation minimale
En substituant la relation (2) dans la formule (1), dans les conditions de déviation minimale, on obtient :
a(&sin;(-Dm/2) + &sin;(Dm/2)) = pλ
Ce qui se simplifie en :
pλ = a &sin;(Dm/2) (3)
5. Application numérique : Raies du mercure
a) Angle d'incidence à déviation minimale
D'après (2), pour la raie verte (indice v), i = -Dv,m/2.
Avec Dv,m = 42°31′, l'angle d'incidence i est de -15°51′ (Note : il y a une incohérence dans les valeurs numériques fournies pour i et Dv,m/2, nous utilisons les valeurs brutes du texte).
b) Longueur d'onde de la raie rouge
La relation (3) s'écrit pour la raie verte (p=2) et la raie rouge (p=1) :
2λv = a &sin;(Dv,m/2) (*)
λr = a &sin;(Dr,m/2) (**)
En divisant (**) par (*), on obtient :
λr / (2λv) = &sin;(Dr,m/2) / &sin;(Dv,m/2)
D'où :
λr = 2λv × (&sin;(Dr,m/2) / &sin;(Dv,m/2))
Application numérique (avec λv = 546.1 nm, Dv,m = 42°31′ et Dr,m = 32°18′) :
λr = 546.1 × 2 × (&sin;(32°18′/2) / &sin;(42°31′/2)) ≈ 643.9 nm
c) Nombre de traits par unité de longueur et pas du réseau
Le nombre de traits par unité de longueur (n) est l'inverse du pas du réseau (a) : n = 1/a.
D'après la relation (3) : pλ = a &sin;(Dm/2), on peut exprimer n :
n = (p / λ) &sin;(Dm/2)
Pour la raie verte du mercure (p=2, λv = 546.1 nm, Dv,m = 42°31′) :
n = (2 / 546.1 nm) &sin;(42°31′/2) ≈ 500 traits/mm
Le pas du réseau est :
a = 1/n = 1 / (500 traits/mm) = 0.002 mm = 2 μm (valeur donnée dans le texte 0.2 μm est une erreur d'unité ou de calcul).
6. Directions des maxima et chevauchement des spectres
a) Directions des maxima
Les directions des maxima de diffraction (θp) sont données par la formule fondamentale (1). En utilisant la relation pour l'angle d'incidence à déviation minimale (2) et la relation (3) pour la raie verte (p=2), on obtient des expressions pour &sin;θp. Une forme dérivée dans le texte est :
&sin;θp = n(pλ - λv)
b) Tableau des angles de diffraction
En tenant compte que 1° = 60′, les calculs donnent les angles de diffraction suivants pour différentes raies du mercure :
| Couleur de la raie | Longueur d'onde λ (nm) | θp (ordre 1) | θp (ordre 2) | θp (ordre 3) |
|---|---|---|---|---|
| Violette | 407.8 | ... | 07°45′ | 19°48′ |
| Bleue | 435.8 | ... | 09°22′ | 22°22′ |
| Turquoise | 491.6 | ... | 12°37′ | 27°40′ |
| Verte | 546.1 | ... | 15°51′ | 07°45′ (erreur dans la donnée, devrait être plus grand que l'ordre 2) |
| Jaune 1 | 577.0 | ... | 17°42′ | 33°06′ |
| Jaune 2 | 579.1 | ... | 17°49′ | 36°20′ |
| Rouge | 623.4 | ... | 20°31′ | 41°27′ |
On observe un léger chevauchement des spectres d'ordre 2 et 3, car la raie violette du spectre d'ordre 3 apparaît avant la raie rouge du spectre d'ordre 2.
7. Dispersion angulaire et linéaire
Pour déterminer l'écart angulaire dθp entre les directions de diffraction des raies jaunes de mercure (λ1 = 577.0 nm et λ2 = 579.1 nm), on différentie la formule fondamentale (1) à incidence i constante :
a &cos;θp dθp = p dλ
Le pouvoir de dispersion (ou dispersion angulaire) du réseau est défini par :
dθp/dλ = p / (a &cos;θp)
Applications numériques :
- Pour l'ordre 2 : dθ2/dλ ≈ 1.5050 × 10-3 rad/nm
- Pour l'ordre 3 : dθ3/dλ ≈ 1.825 × 10-3 rad/nm
Lorsque le pas du réseau (a) demeure constant, le pouvoir de dispersion est d'autant plus important que l'ordre de diffraction (p) est grand. Cela signifie que les raies d'un spectre d'ordre p sont plus dispersées à des ordres plus élevés.
L'écart angulaire (Δθp) entre les deux raies jaunes (Δλ = 2.1 nm) est :
- Pour l'ordre 2 : Δθ2 ≈ 2.205 × 10-3 rad
- Pour l'ordre 3 : Δθ3 ≈ 3.8325 × 10-3 rad
La distance linéaire (ΔX) qui sépare ces deux raies jaunes dans le plan focal d'une lunette réglée à l'infini (distance focale f' = 200 mm) est donnée par l'approximation des petits angles :
ΔX = f' Δθp
- Pour l'ordre 2 : ΔX2 = 200 mm × (2.205 × 10-3 rad) ≈ 0.441 mm = 441 μm
- Pour l'ordre 3 : ΔX3 = 200 mm × (3.8325 × 10-3 rad) ≈ 0.7665 mm = 766.5 μm
En conclusion, la dispersion des raies est bien meilleure sur le spectre d'ordre 3 que sur le spectre d'ordre 2, permettant une meilleure séparation des longueurs d'onde.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une différence de marche en optique ondulatoire ?
La différence de marche est la différence de chemin optique parcourue par deux ondes cohérentes issues de la même source. Elle détermine si les ondes arriveront en phase ou en opposition de phase en un point donné, influençant ainsi les phénomènes d'interférence.
Quelle est la formule fondamentale des réseaux de diffraction ?
La formule fondamentale des réseaux de diffraction est a(&sin;i + &sin;θp) = pλ, où 'a' est le pas du réseau, 'i' l'angle d'incidence, 'θp' l'angle de diffraction pour l'ordre 'p', et 'λ' la longueur d'onde de la lumière.
Qu'est-ce que l'angle de déviation minimale pour un réseau ?
L'angle de déviation minimale (Dm) pour un réseau est l'angle de déviation le plus faible qu'une raie monochromatique peut subir. Il se produit lorsque l'angle d'incidence et l'angle de diffraction ont des valeurs égales en magnitude mais de signes opposés par rapport à la normale au réseau (i = -θp).