Mécanique du point : Td mecanique du point
Télécharger PDFTravaux dirigés de mécanique du point — Année 2011-2012
Présentation
Tous les exercices de mécanique du point abordés en travaux dirigés cette année sont regroupés dans ce fascicule. Ils sont organisés par thème, chacun introduit par un personnage historique ayant contribué à son développement. Les objectifs du thème sont clairement énoncés, suivis d'un questionnaire de type QCM à réaliser seul avant la séance. Ce travail préparatoire permet de vérifier la compréhension des notions essentielles.
Les questions sont notées de 0 à 2 points selon les critères suivants :
- Pas de réponse : 0 point
- Aucune erreur : 2 points
- 1 erreur : 1 point
- 2 erreurs ou plus : 0 point
Le niveau d'acquisition des connaissances est évalué comme suit :
- Connaissances acquises : supérieur à 7 points (sur 10 maximum)
- Connaissances en voie d'acquisition : entre 4 et 7 points
- Connaissances non acquises : inférieur à 4 points
Les étudiants doivent préparer les exercices avant chaque séance, en particulier ceux à faire avant le TD. Certains exercices ne seront pas traités en TD, mais il est vivement conseillé de les résoudre pour s'entraîner.
Thème 1 : Calcul vectoriel et systèmes de coordonnées
Personnage historique : Nicolas Copernic (1473-1543) — Théoricien de l'héliocentrisme.
Objectifs
- Différencier une base et un repère.
- Calculer la norme d'un vecteur et les produits scalaire et vectoriel entre deux vecteurs.
- Définir une base orthonormée.
- Calculer les projections d'un vecteur sur les axes d'un repère orthonormé.
- Définir les systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques et intrinsèques.
- Calculer les dérivées de vecteurs de base et de vecteurs quelconques dans un repère donné.
Questionnaire
- Le produit scalaire de deux vecteurs e1 et e2 :
- Est un nombre sans dimensions.
- Est fonction de cos(θ12).
- Le produit vectoriel de deux vecteurs e1 et e2 :
- Est un vecteur perpendiculaire au plan constitué par les deux vecteurs.
- Les vecteurs normés e1, e2 et e3 constituent une base orthonormée directe si :
- e1 × e2 = e3.
- En amenant e1 sur e2, on obtient e3 en tournant dans le sens direct.
- Concernant le produit scalaire de deux vecteurs a et b :
- Si a · b = 0, alors les vecteurs a et b sont perpendiculaires.
- a · b est caractéristique de la surface du parallélogramme construit sur a et b.
- Concernant le produit vectoriel de deux vecteurs a et b :
- Si a × b = 0, alors les vecteurs a et b sont colinéaires.
- a × b est caractéristique de la surface du parallélogramme construit sur a et b.
Exercices
- Produits de vecteurs (À faire avant le TD)
Soit les trois vecteurs : a = (2, 2, 1), b = (2, 2, 2) et c = (2, 2, 0).
- Calculer a · b, b · c et c · a, puis en déduire les expressions des vecteurs unitaires au, bu et cu des directions de a, b et c.
- En considérant les angles θa, θb et θc compris entre 0 et π, calculer cos(θa), cos(θb) et cos(θc).
- Calculer les composantes des vecteurs cu × a, ac × b et ba × c.
- En déduire sin(θa), sin(θb) et sin(θc).
- Montrer que au, bu et cu peuvent constituer une base. Cette base est-elle normée ?
- Système de coordonnées (À faire avant le TD)
Dans un repère cartésien (O, xe, ye, ze), la position d'un point M est définie par le vecteur position OM.
- Positionner sur un schéma les vecteurs xe, ye, ze, ρe et φe.
- Rajouter les 6 grandeurs x, y, z, r, ρ et φ. Préciser leur dimension physique et leur domaine de variation.
- Donner les composantes du vecteur position OM en projection sur xe, ye et ze, puis sur ρe, φe et ze.
- Exprimer ρ, φ et r en fonction de x, y et z.
- Donner les composantes du vecteur déplacement élémentaire dr dans le repère cartésien et dans le repère cylindrique.
- En déduire les expressions du volume élémentaire dV et du travail élémentaire δW pour une force F = k.
- Dérivation des vecteurs unitaires (À faire avant le TD)
Dans un repère cartésien (O, xe, ye, ze), un point P se déplace dans le plan (xOy) avec des coordonnées polaires ρ et φ.
- Calculer d(ρe)/dt et d(φe)/dt en projection dans la base cartésienne.
- En déduire les expressions de ces dérivées dans la base cylindrique.
- Calculer d(ρe)/dt et d(φe)/dt dans la base cylindrique en fonction de dφ/dt.
- Démontrer que la dérivée d'un vecteur unitaire n'a pas de composante sur lui-même.
- Montrer qu'il existe un vecteur Ω tel que d(ρe)/dt = ρe × Ω, d(φe)/dt = φe × Ω et d(ze)/dt = ze × Ω. Déterminer ses composantes.
- Expliquer pourquoi d(ρe)/dt = 0 et d(φe)/dt = 0 dans le repère cylindrique.
- Calculer d(xe)/dt et d(ye)/dt en projection sur la base cylindrique, puis sur la base cartésienne.
- Vecteur vitesse (À faire avant le TD)
Le point P a des coordonnées cartésiennes (x, y, z) et cylindriques (ρ, φ, z) fonction du temps.
- Exprimer d(OP)/dt en projection dans la base cartésienne en fonction de x, y et z.
- Écrire d(OP)/dt dans la base cylindrique en fonction de ρ, dρ/dt, φ, dφ/dt et z.
- Retrouver ce résultat directement à partir de l'expression de OP dans la base cylindrique.
- Calculer directement d(OP)/dt dans la base cylindrique.
- Dérivation — suite (À faire après le TD)
Dans un repère cartésien (O, xe, ye, ze), la position d'un point M est définie par le vecteur position OM. Le repère cylindrique Rcyl (O, Bcyl) est associé à la base orthonormée (ze, φe, ρe).
- Exprimer le vecteur position OM dans la base cartésienne
Cela peut vous intéresser :
- Exprimer le vecteur position OM dans la base cartésienne