Optique : Td optique physique rattrapage
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1. Principe de superposition des ondes
Puisque les deux champs électriques E₁ et E₂ sont parallèles aux plans d'incidence définis par les vecteurs d'onde et l'axe Oz, l'approche scalaire permet d'écrire l'amplitude de l'onde résultante en un point M comme la somme des amplitudes des deux ondes cohérentes:
E(r,t) = E₁(r,t) + E₂(r,t)
où E₁(r,t) = E₀ cos(k⋅r₁ - ωt) et E₂(r,t) = E₀ cos(k⋅r₂ - ωt) sont les champs électriques des deux ondes, avec E₀ l'amplitude, k le vecteur d'onde, r₁ et r₂ les positions des sources virtuelles, et ω la pulsation.
2. Calcul de l'intensité instantanée
L'intensité instantanée est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ électrique. Nous calculons E²(r,t) :
E²(r,t) = (E₀ cos(k⋅r₁ - ωt) + E₀ cos(k⋅r₂ - ωt))²
E²(r,t) = E₀² [cos²(k⋅r₁ - ωt) + cos²(k⋅r₂ - ωt) + 2 cos(k⋅r₁ - ωt) cos(k⋅r₂ - ωt)]
En utilisant les identités trigonométriques cos²θ = (1 + cos(2θ))/2 et 2 cos A cos B = cos(A-B) + cos(A+B), l'expression de l'intensité instantanée peut être simplifiée. En optique physique, nous nous intéressons généralement à l'intensité moyenne sur une période de temps.
3. Calcul de la valeur moyenne de l'intensité
La valeur moyenne de l'intensité sur une période T est donnée par ⟨E²⟩ = (1/T) ∫₀ᵀ E²(t) dt. Nous savons que la valeur moyenne sur une période d'un terme oscillant comme cos²(kx - ωt) est 1/2 et celle de cos(2(kx - ωt)) est 0. De plus, la valeur moyenne de cos(A - ωt)cos(B - ωt) est 1/2 cos(A-B) pour des termes indépendants du temps.
En moyenne, l'intensité est la somme des contributions de chaque terme :
- Le premier terme : ⟨E₀² cos²(k⋅r₁ - ωt)⟩ = E₀²/2
- Le deuxième terme : ⟨E₀² cos²(k⋅r₂ - ωt)⟩ = E₀²/2
- Le troisième terme (terme d'interférence) : ⟨2 E₀² cos(k⋅r₁ - ωt) cos(k⋅r₂ - ωt)⟩ = E₀² cos(k(r₁ - r₂)).
En additionnant tous les termes, l'intensité moyenne I est :
I = E₀²/2 + E₀²/2 + E₀² cos(k(r₁ - r₂))
I = E₀² (1 + cos(k(r₁ - r₂)))
On définit la différence de marche optique δ = r₁ - r₂ et le déphasage φ = kδ = (2π/λ)δ. En posant I₀ = E₀²/2 comme l'intensité d'une seule source, on obtient la forme suivante pour l'intensité des franges d'interférence :
I = 2I₀ (1 + cos(φ))
En utilisant l'identité trigonométrique 1 + cos(φ) = 2 cos²(φ/2), on obtient aussi la forme suivante :
I = 4I₀ cos²(φ/2)
4. Conditions d'interférence constructive et destructive
L'intensité des franges d'interférence est comprise entre les valeurs extrêmes 0 (minimum) et 4I₀ (maximum), où I₀ est l'intensité d'une source unique. Ces valeurs dépendent du déphasage φ entre les deux ondes interférant.
Interférence constructive (maxima)
L'interférence constructive se produit aux points où les ondes sont en phase, ce qui correspond à une différence de marche δ = mλ, où m = 0, ±1, ±2, ... est l'ordre d'interférence. Ces différences de marche sont équivalentes à un déphasage φ = 2mπ.
L'intensité correspondante est :
I = 4I₀ cos²(2mπ/2) = 4I₀ cos²(mπ) = 4I₀ (1)² = 4I₀
Ces points représentent les maxima des interférences, c'est-à-dire les franges « brillantes ».
Interférence destructive (minima)
L'interférence destructive se produit aux points où les ondes sont en opposition de phase, ce qui correspond à une différence de marche δ = (m + 1/2)λ, où m = 0, ±1, ±2, .... Ces différences de marche sont équivalentes à un déphasage φ = (2m + 1)π.
L'intensité correspondante est :
I = 4I₀ cos²((2m + 1)π/2) = 4I₀ (0)² = 0
Ces points représentent les minima des interférences, c'est-à-dire les franges « sombres ».
À titre d'exemple, si la différence de marche est δ = 5.25λ, cela correspond à m=5 et une phase supplémentaire de π/2. Le déphasage total est φ = (2π/λ) (5.25λ) = 10.5π. L'intensité relative serait alors 4I₀ cos²(10.5π/2) = 4I₀ cos²(5.25π) = 4I₀ cos²(π/4) = 4I₀ (√2/2)² = 2I₀. Soit 50% de l'intensité maximale.
5. Démonstration de la différence de marche optique
Pour un point d'observation M quelconque sur l'axe des x, la différence de chemin optique δ est δ = r₂ - r₁, où :
r₁ = √(d₀² + (x - a/2)²)
r₂ = √(d₀² + (x + a/2)²)
où a est la distance entre les sources virtuelles S₁ et S₂, et d₀ est la distance entre le plan des sources et l'écran d'observation.
Généralement, pour que les franges d'interférence soient observables et ne soient pas trop serrées, d₀ doit être très grand comparativement à x et a/2. d₀ est de l'ordre du mètre, alors que a et x sont de l'ordre du millimètre. On peut alors utiliser le développement limité √(1 + u) ≈ 1 + u/2 pour u << 1.
Ainsi, en factorisant d₀² sous la racine :
r₁ = d₀ √(1 + ((x - a/2)/d₀)²) ≈ d₀ (1 + (x - a/2)²/(2d₀²))
r₂ = d₀ √(1 + ((x + a/2)/d₀)²) ≈ d₀ (1 + (x + a/2)²/(2d₀²))
La différence de marche devient :
δ = r₂ - r₁ = d₀ [ (1 + (x + a/2)²/(2d₀²)) - (1 + (x - a/2)²/(2d₀²)) ]
δ = (1/(2d₀)) [ (x + a/2)² - (x - a/2)² ]
δ = (1/(2d₀)) [ (x² + ax + a²/4) - (x² - ax + a²/4) ]
δ = (1/(2d₀)) [ 2ax ]
δ = ax/d₀
Ceci est l'expression de la différence de marche optique, ce qu'il fallait démontrer.
6. Localisation de la frange centrale
La frange centrale correspond à une différence de marche δ = 0. D'après la formule δ = ax/d₀, cela implique x = 0 (en supposant a ≠ 0 et d₀ ≠ 0). La frange centrale brillante est donc située au point x = 0 sur l'écran d'observation.
Dans le cas du bi-miroir de Fresnel, les franges d'interférence sont dites non localisées, ce qui signifie qu'elles peuvent être observées dans tout le volume où les deux faisceaux se superposent, et pas uniquement dans un plan focal spécifique.
7. Lien entre la distance des sources et l'angle du miroir
La différence de marche optique est δ = ax/d₀, et le déphasage correspondant est φ = (2π/λ)δ = (2π/λ) (ax/d₀).
Lorsque le miroir plan tourne d'un angle α, les rayons lumineux réfléchis tournent de 2α (ceci est un principe fondamental de l'optique géométrique). Dans le montage du bi-miroir de Fresnel, les deux sources virtuelles S₁ et S₂ sont formées par la réflexion d'une source ponctuelle S sur les deux miroirs inclinés. La distance a entre ces deux sources virtuelles est donnée par a = 2Rα, où R est la distance entre la source réelle S et l'intersection des deux miroirs. Cette relation est valide pour de petits angles α.
En substituant cette expression de a dans la formule du déphasage, on obtient : φ = (2π/λ) (2Rαx/d₀).
8. Calcul de l'interfrange
L'interfrange i est la distance entre deux franges brillantes (ou sombres) consécutives. Pour des franges brillantes, la différence de marche est δ = mλ. En utilisant la relation δ = ax/d₀, on a ax/d₀ = mλ, ce qui donne la position de la frange d'ordre m : x_m = mλd₀/a.
L'interfrange est alors la différence entre les positions de deux franges consécutives :
i = x_{m+1} - x_m = (m+1)λd₀/a - mλd₀/a = λd₀/a.
En substituant la relation a = 2Rα (déduite de la géométrie du bi-miroir) dans l'expression de l'interfrange, on obtient :
i = λd₀ / (2Rα)
9. Variation de l'interfrange
L'interfrange i = λd₀ / (2Rα) varie en fonction de plusieurs paramètres :
- Si la distance d₀ entre le bi-miroir et l'écran d'observation augmente, l'interfrange i augmente. Les franges s'allongent ou s'étirent sur l'écran.
- Si l'angle α entre les miroirs diminue, la distance a entre les sources virtuelles diminue (a = 2Rα). Puisque α est au dénominateur de l'expression de i, une diminution de α entraîne une augmentation de l'interfrange i. Les franges s'allongent également.
Pour des angles α inférieurs à environ 1°, les franges sont suffisamment espacées pour être visibles à l'œil nu et facilement mesurables.
10. Calcul de l'angle α
On nous donne les informations suivantes pour le calcul de l'angle α entre les deux miroirs :
- Longueur d'onde : λ = 632.8 nm = 632.8 × 10⁻⁹ m.
- Distance source-intersection des miroirs : R = 0.15 m.
- Distance bi-miroir-écran : d₀ = 2.75 m.
- Distance mesurée entre la frange sombre d'ordre 0 et la frange sombre d'ordre 20 : Δx = 30 ± 1 mm.
La distance entre la frange sombre d'ordre 0 et celle d'ordre 20 correspond à 20 fois l'interfrange i. Ainsi, l'interfrange est :
i = Δx / 20 = 30 mm / 20 = 1.5 mm = 1.5 × 10⁻³ m.
En utilisant la formule de l'interfrange i = λd₀ / (2Rα), nous pouvons trouver α :
α = λd₀ / (2Ri)
α = (632.8 × 10⁻⁹ m) × (2.75 m) / (2 × 0.15 m × 1.5 × 10⁻³ m)
α ≈ 3.867 × 10⁻³ radians
Convertissons ce résultat en minutes et secondes d'arc :
α (degrés) = 3.867 × 10⁻³ × (180/π) ≈ 0.2215 degrés
α (minutes d'arc) = 0.2215 × 60 ≈ 13.29 minutes
Le résultat final est donc α ≈ 13'17'' (où 0.29 × 60 ≈ 17.4 secondes).
11. Calcul de l'incertitude de l'angle α
L'angle α dépend de quatre variables mesurées : λ, d₀, R et i. Pour estimer l'incertitude Δα, nous utilisons la formule de propagation des incertitudes dans le cas le plus défavorable (somme des incertitudes absolues) :
Δα = |∂α/∂λ|Δλ + |∂α/∂d₀|Δd₀ + |∂α/∂R|ΔR + |∂α/∂i|Δi
Sachant que α = λd₀ / (2Ri), les dérivées partielles sont :
- ∂α/∂λ = d₀ / (2Ri) = α/λ
- ∂α/∂d₀ = λ / (2Ri) = α/d₀
- ∂α/∂R = -λd₀ / (2R²i) = -α/R
- ∂α/∂i = -λd₀ / (2Ri²) = -α/i
L'incertitude relative est Δα/α = Δλ/λ + Δd₀/d₀ + ΔR/R + Δi/i.
Les valeurs des incertitudes sont :
- λ = 632.8 × 10⁻⁹ m. L'incertitude Δλ est liée à la largeur de raie en fréquence Δf par Δλ = (λ²/c)Δf. Avec c = 3 × 10⁸ m/s et Δf = 1.500 × 10⁸ Hz, on obtient Δλ ≈ 2.00 × 10⁻¹² m.
- d₀ = 2.75 m, Δd₀ = 1 × 10⁻² m (l'incertitude est de ±1 cm).
- R = 0.15 m, ΔR = 2 × 10⁻³ m (l'incertitude est de ±2 mm).
- i = 1.5 × 10⁻³ m. L'incertitude sur la mesure de la distance Δx est de ±1 mm. L'incertitude sur l'interfrange est Δi = (1 mm) / 20 = 0.05 mm = 5 × 10⁻⁵ m.
En substituant les valeurs dans l'expression de Δα/α :
Δα/α = (2.00 × 10⁻¹²)/(632.8 × 10⁻⁹) + (1 × 10⁻²)/(2.75) + (2 × 10⁻³)/(0.15) + (5 × 10⁻⁵)/(1.5 × 10⁻³)
Δα/α ≈ 3.16 × 10⁻⁶ + 0.00364 + 0.01333 + 0.03333 ≈ 0.0503
Alors, Δα = α × 0.0503 = (3.867 × 10⁻³ rad) × 0.0503 ≈ 1.945 × 10⁻⁴ radians.
Convertissons Δα en minutes et secondes d'arc :
Δα (minutes d'arc) = 1.945 × 10⁻⁴ × (180/π) × 60 ≈ 0.66878 minutes
Ce qui correspond à 0'40'' (car 0.66878 × 60 ≈ 40.12 secondes).
Par conséquent, l'angle α est finalement exprimé avec son incertitude comme : α = 13'17'' ± 0'40''.
12. Détermination de la distance des sources virtuelles avec une lentille
Cette section aborde une méthode alternative pour déterminer la distance a entre les sources virtuelles S₁ et S₂, en utilisant une lentille convergente.
En optique géométrique, si on place une lentille après le bi-miroir, elle forme une image des sources virtuelles. En choisissant une convention de signe appropriée, la relation de grandissement et la formule des lentilles minces peuvent être utilisées. On peut montrer que la taille Y de l'image des sources est liée à la distance réelle a entre les sources virtuelles, à la distance focale f de la lentille et à la distance p entre les sources virtuelles et la lentille par la relation Y = a f / (f - p) (ou une forme équivalente selon les conventions de signe).
À titre d'application numérique, la distance a entre les sources virtuelles S₁ et S₂, calculée à partir de l'angle α ≈ 3.867 × 10⁻³ radians et de la distance R = 0.15 m, est :
a = 2Rα = 2 × 0.15 m × 3.867 × 10⁻³ radians ≈ 1.16 × 10⁻³ m = 1.16 mm.
13. Nature des interférences
Dans le cas du bi-miroir de Fresnel, il s'agit d'interférences non localisées. Cela signifie que les franges ne sont pas formées dans un plan particulier mais peuvent être observées dans tout l'espace où les deux ondes cohérentes se superposent. On peut les observer sur un écran parallèle au plan des sources virtuelles à n'importe quelle distance d₀.
14. Mécanisme de division du front d'onde
Il s'agit d'interférences par division de front d'onde. Ce phénomène se produit parce que le front d'onde incident primaire est divisé en deux parties par les miroirs : une partie est réfléchie par le miroir M₁ vers l'écran d'observation, et l'autre est réfléchie par le miroir M₂ vers le même écran. Ces deux ondes, issues des sources virtuelles cohérentes, interfèrent ensuite.
15. Conditions d'interférence
Les conditions essentielles pour observer des interférences stables et visibles avec le bi-miroir de Fresnel sont les suivantes :
Monochromaticité et cohérence temporelle
Les deux ondes E₁(r,t) et E₂(r,t) doivent osciller à la même fréquence (f ou ω). L'utilisation d'un laser He-Ne, qui émet une lumière hautement monochromatique (longueur d'onde λ = 632.8 nm), assure cette condition.
De plus, la différence de marche δ = r₁ - r₂ doit être inférieure à la longueur de cohérence L_c de la source lumineuse. Pour le laser He-Ne mentionné, avec une largeur de raie Δf = 1.500 × 10⁸ Hz (déduite de la section 11), la longueur de cohérence est L_c = c/Δf = (3 × 10⁸ m/s) / (1.500 × 10⁸ Hz) = 2 mètres. Étant donné que la différence de marche δ = ax/d₀ est généralement de l'ordre de quelques millimètres pour les franges observables, cette condition est largement remplie.
Cohérence spatiale (polarisation)
Il faut que les polarisations des deux ondes ne soient pas orthogonales. Cela signifie que les composantes des vecteurs champs électriques qui se superposent ne doivent pas être nulles. Dans le cas du bi-miroir de Fresnel, les deux ondes E₁(r,t) et E₂(r,t) sont toutes deux polarisées de manière identique (par exemple, perpendiculaires au plan d'incidence si la source est non polarisée ou polarisée ainsi). Cette condition est donc remplie.
Intensités égales
Il faut que les intensités des deux ondes (I₁ et I₂) soient égales pour obtenir le meilleur contraste possible des franges d'interférence. Le contraste est défini par C = (I_{max} - I_{min}) / (I_{max} + I_{min}). Si I₁ = I₂ = I₀, alors I_{max} = 4I₀ et I_{min} = 0, ce qui donne un contraste maximal de C = (4I₀ - 0) / (4I₀ + 0) = 1, soit 100%. Cette condition est naturellement remplie dans le bi-miroir de Fresnel puisque les deux sources virtuelles proviennent de la même source réelle et subissent les mêmes réflexions (en négligeant les pertes mineures). Le contraste des franges d'interférence est donc maximal, rendant les franges nettes et bien visibles à l'œil humain.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le bi-miroir de Fresnel et comment fonctionne-t-il ?
Le bi-miroir de Fresnel est un dispositif optique qui produit des franges d'interférence à partir d'une source lumineuse ponctuelle. Il est composé de deux miroirs plans inclinés d'un très petit angle l'un par rapport à l'autre. Une source lumineuse réelle est placée de manière à se réfléchir sur les deux miroirs, créant ainsi deux sources virtuelles cohérentes. Ces deux sources virtuelles produisent ensuite un schéma d'interférence (franges claires et sombres) sur un écran où leurs ondes se superposent.
Comment l'interfrange est-elle calculée et de quels paramètres dépend-elle ?
L'interfrange (i) est la distance entre deux franges lumineuses (ou sombres) consécutives sur l'écran d'observation. Elle est calculée par la formule i = λd₀/a, où λ est la longueur d'onde de la lumière utilisée, d₀ est la distance entre le plan des sources virtuelles et l'écran d'observation, et a est la distance entre les deux sources virtuelles. La distance a dépend elle-même de l'angle d'inclinaison des miroirs (α) et de la distance de la source réelle aux miroirs (R) par la relation a = 2Rα.
Quelles sont les conditions essentielles pour observer des interférences stables avec le bi-miroir de Fresnel ?
Pour observer des interférences stables et bien contrastées, plusieurs conditions doivent être remplies : la source lumineuse doit être monochromatique (lumière d'une seule couleur) et hautement cohérente temporellement (la différence de marche doit être inférieure à la longueur de cohérence de la source). De plus, les ondes interférant doivent avoir des polarisations parallèles, et leurs intensités doivent être égales pour maximiser le contraste des franges.