Optique : Td 2 interferometrie mach zehnder
Télécharger PDFIntroduction à l'interféromètre de Mach-Zehnder
L'interféromètre de Mach-Zehnder est un dispositif optique qui, comme celui de Michelson, appartient à la famille des interféromètres à division d'amplitude. Sa particularité est de proposer deux sorties (deux plans d'observation des franges d'interférences) au lieu d'une seule. Il est constitué de deux miroirs (M1 et M2) et de deux séparatrices (S1 et S2) identiques. Ces séparatrices sont des lames à faces parallèles d'épaisseur négligeable, semi-réfléchissantes, et sont disposées à 45° de la direction de propagation des ondes. Elles possèdent une face réfléchissante et une autre traitée antireflet, entraînant un coefficient de réflexion différent selon la face éclairée.
Description du système optique
Une onde plane progressive harmonique, de front d'onde, d'amplitude complexe a0, se propageant selon l'axe Oz. Sa longueur d'onde est λ = 0,60 μm et son intensité est I0. Cette onde est séparée par la séparatrice S1 en deux ondes de même intensité.
Coefficients de réflexion et de transmission
Les coefficients de transmission et de réflexion en amplitude des séparatrices S1 et S2 sont définis comme suit :
- t : coefficient de transmission en amplitude.
- r : coefficient de réflexion en amplitude de la face avant des séparatrices.
- r' : coefficient de réflexion en amplitude de la face arrière des séparatrices.
En notation complexe, ces coefficients sont : r = i/√2, t = i/√2 et r' = - i/√2. Ces valeurs impliquent des déphasages spécifiques lors des réflexions et transmissions, et sont cohérentes avec les calculs d'intensité ultérieurs.
Les distances du chemin optique sont notées D = S1M1 = M2S2 et L = S1M2 = M1S2.
Trajets optiques possibles
Les ondes issues de la source initiale suivent différents chemins avant d'atteindre les écrans de sortie EA et EB. L'onde incidente d'amplitude a0 est divisée en deux par S1, puis chaque partie se divise à nouveau au niveau de S2 :
- Trajet S1 – M1 – S2 – EA : L'onde subit une réflexion sur S1 (face avant, coefficient r), une réflexion sur le miroir M1, puis une transmission à travers S2 (coefficient t). L'amplitude complexe de cette onde est a0rt.
- Trajet S1 – M1 – S2 – EB : L'onde subit une réflexion sur S1 (face avant, coefficient r), une réflexion sur le miroir M1, puis une réflexion sur S2 (face arrière, coefficient r'). L'amplitude complexe de cette onde est a0rr'.
- Trajet S1 – M2 – S2 – EA : L'onde subit une transmission à travers S1 (coefficient t), une réflexion sur le miroir M2, puis une réflexion sur S2 (face avant, coefficient r). L'amplitude complexe de cette onde est a0tr.
- Trajet S1 – M2 – S2 – EB : L'onde subit une transmission à travers S1 (coefficient t), une réflexion sur le miroir M2, puis une transmission à travers S2 (coefficient t). L'amplitude complexe de cette onde est a0tt.
Analyse des interférences et des intensités
1. Différence de marche et déphasage initiaux
La différence de marche δ1 entre le trajet 2 et le trajet 1, avant toute modification, est la différence de chemin géométrique. δ1 = (L + D) - (D + L) = 0. Le déphasage φ correspondant est φ = kδ1 = (2π/λ)δ1 = 0.
Nous définissons un déphasage de propagation φp = (2π/λ)(D + L) pour le chemin optique commun à tous les trajets. Ce déphasage sera inclus dans les amplitudes complexes sous la forme eiφp.
2. Amplitude et intensité sur l'écran EA
L'amplitude résultante Aa sur l'écran EA est la somme des amplitudes complexes des ondes qui atteignent cet écran. Les ondes correspondantes aux trajets S1–M1–S2–EA et S1–M2–S2–EA se superposent :
Aa = (a0rt)eiφp + (a0tr)eiφp = a0(rt + tr)eiφp.
Avec les coefficients r = i/√2 et t = i/√2 : rt = (i/√2)⋅(i/√2) = i2/2 = -1/2. Donc, Aa = a0(-1/2 - 1/2)eiφp = -a0eiφp.
L'intensité IA sur l'écran EA est donnée par IA = AaAa*. IA = (-a0eiφp)⋅(-a0*e-iφp) = a02. Puisque l'intensité incidente est I0 = a02, l'intensité sur l'écran EA est IA = I0.
3. Amplitude et intensité sur l'écran EB
L'amplitude résultante Ba sur l'écran EB est la somme des amplitudes complexes des ondes qui y parviennent. Les ondes correspondantes aux trajets S1–M1–S2–EB et S1–M2–S2–EB se superposent :
Ba = (a0rr')eiφp + (a0tt)eiφp = a0(rr' + tt)eiφp.
Avec les coefficients r = i/√2, t = i/√2 et r' = - i/√2 :
- rr' = (i/√2)⋅(-i/√2) = -i2/2 = 1/2.
- tt = (i/√2)⋅(i/√2) = i2/2 = -1/2.
Donc, Ba = a0(1/2 - 1/2)eiφp = 0.
L'intensité IB sur l'écran EB est IB = BaBa* = 0. Dans cette configuration initiale, l'éclairement sur l'écran EB est nul.
4. Conservation de l'énergie de l'onde électromagnétique
L'intensité de l'onde avant son entrée dans l'interféromètre par la séparatrice S1 est I0 = a02. L'intensité totale à la sortie de l'interféromètre est la somme des intensités sur les deux écrans, Itotal = IA + IB.
D'après nos calculs, IA = a02 et IB = 0. Par conséquent, Itotal = a02 + 0 = a02 = I0. L'énergie de l'onde électromagnétique est conservée. Cela signifie que l'interféromètre redistribue l'énergie lumineuse entre ses deux sorties sans en perdre ni en créer, illustrant le principe de conservation de l'énergie pour les ondes électromagnétiques.
5. Insertion d'une lame mince à faces parallèles
Une lame à faces parallèles (L1), d'épaisseur e et d'indice de réfraction n = 1,50, est insérée dans le trajet 1, spécifiquement entre S1 et M1, sous incidence normale.
a) Nouvelle différence de marche δe
La présence de la lame L1 dans le trajet 1 augmente son chemin optique. Le chemin optique supplémentaire introduit par la lame, par rapport à la même épaisseur d'air, est e(n - 1). Ce chemin supplémentaire est soustrait lors du calcul de la différence de marche entre le trajet 2 et le trajet 1 si l'on prend (trajet 2) - (trajet 1).
La nouvelle différence de marche δe est donc : δe = (L + D) - (D + L + e(n - 1)) = -e(n - 1).
b) Nouveau déphasage φe
Le nouveau déphasage φe dû à la lame est : φe = kδe = (2π/λ)⋅(-e(n - 1)) = -(2π/λ)e(n - 1).
c) Nouvelle amplitude résultante et intensité sur l'écran EB
La lame L1 étant sur le trajet 1, elle modifie uniquement l'amplitude complexe de l'onde qui passe par ce trajet avant d'atteindre EB. L'amplitude de l'onde suivant le trajet 1 vers EB devient a0rr'eiφpeiφe, tandis que l'amplitude de l'onde suivant le trajet 2 vers EB reste a0tteiφp.
L'amplitude résultante B'a sur l'écran EB est : B'a = a0rr'eiφpeiφe + a0tteiφp = a0eiφp(rr'eiφe + tt).
En utilisant rr' = 1/2 et tt = -1/2 : B'a = a0eiφp(1/2 eiφe - 1/2) = (a0/2)eiφp(eiφe - 1).
La nouvelle intensité I'B sur l'écran EB est I'B = B'aB'a*. I'B = (a0/2)eiφp(eiφe - 1) ⋅ (a0/2)e-iφp(e-iφe - 1) I'B = (a02/4) (eiφe - 1)(e-iφe - 1) I'B = (I0/4) (1 - eiφe - e-iφe + 1) I'B = (I0/4) (2 - (eiφe + e-iφe)).
En utilisant la formule d'Euler cos(x) = (eix + e-ix)/2, on a eix + e-ix = 2cos(x). Donc, I'B = (I0/4) (2 - 2cos(φe)) = (I0/2) (1 - cos(φe)).
Utilisant l'identité trigonométrique 1 - cos(x) = 2sin2(x/2) : I'B = (I0/2) (2sin2(φe/2)) = I0sin2(φe/2).
Substituons φe = -(2π/λ)e(n - 1) : φe/2 = -( π/λ)e(n - 1). Puisque sin2(-x) = sin2(x), l'intensité devient : I'B = I0sin2(( π/λ)e(n - 1)).
d) Conditions d'éclairement nul ou maximal sur l'écran EB
L'éclairement énergétique sur l'écran EB est nul (I'B = 0) lorsque sin2(( π/λ)e(n - 1)) = 0. Cela se produit quand (π/λ)e(n - 1) = Kπ, où K est un entier (K = 0, 1, 2, ...). Ainsi, e(n - 1) = Kλ, d'où e = Kλ/(n - 1).
Avec λ = 0,60 μm et n = 1,50 : e = K⋅(0,60 μm) / (1,50 - 1) = K⋅(0,60 μm) / 0,50 = K⋅(1,2 μm).
L'éclairement est nul pour des épaisseurs e égales à des multiples entiers de 1,2 μm (par exemple, 0 μm, 1,2 μm, 2,4 μm, etc.).
L'éclairement énergétique sur l'écran EB est maximal (I'B = I0) lorsque sin2(( π/λ)e(n - 1)) = 1. Cela se produit quand (π/λ)e(n - 1) = π/2 + Kπ = (2K + 1)π/2, où K est un entier (K = 0, 1, 2, ...). Ainsi, e(n - 1) = (2K + 1)λ/2, d'où e = (2K + 1)λ/(2⋅(n - 1)).
Avec λ = 0,60 μm et n = 1,50 : e = (2K + 1)⋅(0,60 μm) / (2 ⋅ 0,50) = (2K + 1)⋅(0,60 μm).
L'éclairement est maximal pour des épaisseurs e égales à des multiples impairs de 0,6 μm (par exemple, 0,6 μm, 1,8 μm, 3,0 μm, etc.).
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qui distingue l'interféromètre de Mach-Zehnder de celui de Michelson ?
L'interféromètre de Mach-Zehnder se distingue de celui de Michelson par sa configuration à deux sorties, permettant l'observation simultanée des franges d'interférence à deux endroits différents. Le Michelson n'offre généralement qu'une seule sortie pour l'observation des franges.
Comment la conservation de l'énergie est-elle démontrée dans un interféromètre de Mach-Zehnder ?
La conservation de l'énergie est démontrée en montrant que la somme des intensités lumineuses aux deux sorties de l'interféromètre (IA + IB) est égale à l'intensité de l'onde incidente (I0). Dans une configuration équilibrée, si une sortie montre une intensité maximale, l'autre montre une intensité nulle, assurant que l'énergie n'est ni perdue ni créée, mais seulement redistribuée.
Quel est l'effet de l'insertion d'une lame à faces parallèles dans l'un des bras de l'interféromètre ?
L'insertion d'une lame à faces parallèles dans l'un des bras modifie le chemin optique de ce bras. Cette modification introduit une différence de marche supplémentaire et, par conséquent, un déphasage additionnel. Cela a pour effet de faire varier l'intensité aux sorties de l'interféromètre en fonction de l'épaisseur de la lame et de son indice de réfraction, permettant ainsi d'ajuster les conditions d'interférence pour obtenir un éclairement nul ou maximal.