Exercices corrigés mecanique du solide indeformable série 1

Ce document propose une série d'exercices corrigés sur les torseurs et glisseurs, concepts fondamentaux en mécanique du solide indéformable, destinés aux étudiants universitaires.

Il couvre les notions suivantes :

Définition et propriétés des torseurs
Caractérisation des glisseurs et des couples
Calcul des éléments de réduction et des axes centraux
Somme et équivalence de torseurs

Chaque exercice est accompagné d'une solution détaillée pour faciliter l'apprentissage.

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Exercices Corrigés sur les Torseurs et Glisseurs

Cet article propose des exercices corrigés sur les torseurs et glisseurs, des concepts fondamentaux en mécanique du solide indéformable. Ces problèmes sont issus d'une série d'exercices de niveau universitaire.

Exercice 1

On considère dans l'espace R³ le champ de vecteurs : V(P) = (1 + 3y − tz, 3x − 2tz, 2 − tx + t³z − t²).

Pour quelle valeur de t ce champ est-il un torseur ?
Lorsque c’est un torseur, calculer sa résultante.

Solution Exercice 1

1) Le champ vectoriel V(P) est un torseur si l’application linéaire qui lui est associée est antisymétrique. Fixons un point A ∈ R³. L'application linéaire L associée au champ V_t, en prenant A = O (l'origine du repère R³), est définie par L(AP) = V_t(P) - V_t(A). Sa matrice dans la base (e_x, e_y, e_z) de R³ est :

A = [[0, -3, t], [3, 0, -2t], [-t, 2t, 0]]

La matrice A est antisymétrique si et seulement si A = -A^T. Cette condition implique 2t = 0, soit t = 0. Donc, le champ V_t(P) est un torseur si et seulement si t = 0.

2) La résultante R du torseur V₀(P) (pour t=0) est calculée. Nous utilisons la Méthode 2 : R = (1/2) ∑_i (e_i ∧ L(e_i)).

Pour t = 0, l'opérateur linéaire L tel que L(e₁) = -3e₂, L(e₂) = 3e₁, et L(e₃) = 0. On a :

e₁ ∧ L(e₁) = e₁ ∧ (-3e₂) = -3(e₁ ∧ e₂) = -3e₃
e₂ ∧ L(e₂) = e₂ ∧ (3e₁) = 3(e₂ ∧ e₁) = -3e₃
e₃ ∧ L(e₃) = e₃ ∧ 0 = 0

D’où la somme ∑_i (e_i ∧ L(e_i)) = -3e₃ - 3e₃ + 0 = -6e₃.

Ainsi, la résultante du torseur est R = (1/2)(-6e₃) = -3e₃. Elle s'écrit (0, 0, -3) dans la base (e_x, e_y, e_z).

Exercice 2

Montrer qu’un torseur C = (R, U) est nul si et seulement si sa résultante générale est nulle et il existe un point C en lequel son moment est nul : C = (R, U) = 0 ⇔ R = 0 et ∃ C / U(C) = 0.
Montrer que deux torseurs C₁ = (R₁, U₁) et C₂ = (R₂, U₂) sont égaux si et seulement si ils ont la même résultante générale et il existe un point C en lequel leurs moments sont égaux : C₁ = C₂ ⇔ R₁ = R₂ et ∃ C / U₁(C) = U₂(C).
Soit F un vecteur lié (F ≠ 0) d’origine A, qu’on note (A, F). Montrer alors que le champ vectoriel M : P → M(P) = PA ∧ F est un torseur qu’on note C_F = (F, M), et que ce torseur est un glisseur.
Soit f(a) un champ de vecteurs défini pour tout point a ∈ Ω d'un domaine Ω de l’espace R³. Montrer que le champ vectoriel M : P → M(P) = ∫_Ω PA ∧ f(a) da est un torseur qu’on note C_f = (R, M), et qu’il est donné par : R = ∫_Ω f(a) da et M(P) = ∫_Ω PA ∧ f(a) da.
Montrer qu’un torseur C = (R, U) non nul est un couple si et seulement si son champ de moments est uniforme.

Solution Exercice 2

1) Implication directe : Supposons que le torseur C = (R, U) est nul. Cela signifie que U(P) = 0 pour tout point P ∈ R³. D'après la formule de distribution des moments, U(P) = U(Q) + R ∧ QP pour tout couple (P, Q) ∈ R³ × R³. Puisque U(P) = U(Q) = 0, il s'ensuit que R ∧ QP = 0. Le vecteur R étant parallèle à tout vecteur QP, il vérifie nécessairement R = 0. Donc, on a bien : R = 0 et ∃ C / U(C) = 0 (cette dernière condition est alors vérifiée pour tous les points de R³).

Implication réciproque : Supposons que le torseur C = (R, U) est tel que R = 0 et ∃ C / U(C) = 0. Soit P ∈ R³. Par la formule de distribution, on a : U(P) = U(C) + R ∧ CP = 0 + 0 ∧ CP = 0. Donc, U(P) = 0 pour tout P ∈ R³, ce qui signifie que le torseur C = (R, U) est nul.

2) Implication directe : Supposons que C₁ = C₂. Alors U₁(P) = U₂(P) pour tout point P ∈ R³. Le torseur C = C₁ - C₂ est donc nul. D’après la question 1, cela signifie que sa résultante est nulle et son moment est nul en un point C. C'est-à-dire : R₁ - R₂ = 0 et ∃ C / (U₁ - U₂)(C) = 0. D'où : R₁ = R₂ et ∃ C / U₁(C) = U₂(C).

Implication réciproque : Supposons que R₁ = R₂ et ∃ C / U₁(C) = U₂(C). Soit P ∈ R³. Par la formule de distribution, on a : U₁(P) = U₁(C) + R₁ ∧ CP. Puisque U₁(C) = U₂(C) et R₁ = R₂, on peut écrire U₁(P) = U₂(C) + R₂ ∧ CP, ce qui est égal à U₂(P) par la formule de distribution appliquée à C₂. Donc U₁(P) = U₂(P) pour tout point P ∈ R³. Cela signifie que C₁ = C₂.

3) Soit F un vecteur lié d’origine A (F ≠ 0). Montrons que le champ vectoriel (moment) M : P → M(P) = PA ∧ F est un torseur.

Soit (P, Q) ∈ R³ × R³. On a : M(P) = PA ∧ F. En utilisant la relation de Chasles, PA = PQ + QA. Donc, M(P) = (PQ + QA) ∧ F = PQ ∧ F + QA ∧ F. On reconnaît M(Q) = QA ∧ F. La formule devient M(P) = F ∧ PQ + M(Q). D'où M(P) = M(Q) + F ∧ QP, qui est la propriété fondamentale qui caractérise un torseur. Ce torseur particulier est noté C_F = (F, M), où F est la résultante et M est le moment en un point donné.

Montrons que ce torseur est un glisseur.

Un torseur est un glisseur si son moment est nul en au moins un point de son support. Pour le torseur C_F = (F, M), nous avons M(A) = AA ∧ F = 0. Comme F ≠ 0 et M(A) = 0, le torseur C_F est un glisseur. On peut le représenter sous la forme C_F = (A, F).

4) Soit f(a) un champ de vecteurs défini pour tout point a ∈ Ω d'un domaine Ω de l’espace R³. Montrons que le champ vectoriel M : P → M(P) = ∫_Ω PA ∧ f(a) da est un torseur.

Soit (P, Q) ∈ R³ × R³. On a : M(P) = ∫_Ω PA ∧ f(a) da. En utilisant la relation de Chasles, PA = PQ + QA. Donc :

M(P) = ∫_Ω (PQ + QA) ∧ f(a) da = ∫_Ω PQ ∧ f(a) da + ∫_Ω QA ∧ f(a) da

M(P) = PQ ∧ (∫_Ω f(a) da) + ∫_Ω QA ∧ f(a) da

Soit R = ∫_Ω f(a) da (la résultante générale du système de vecteurs). Alors M(P) = R ∧ PQ + M(Q). D'où M(P) = M(Q) + R ∧ QP, ce qui est la propriété fondamentale d'un torseur. Ce torseur est noté C_f = (R, M).

Remarque : le torseur C_f n’est pas nécessairement un glisseur (voir exercice 5).

5) Implication directe : Supposons que C = (R, U) est un couple non nul. Par définition, R = 0 et le moment U est non nul et uniforme. Soit P ∈ R³, avec A un point fixe quelconque, alors U(P) = U(A) (puisque R = 0, la formule de distribution U(P) = U(A) + R ∧ AP devient U(P) = U(A)). Donc, le champ U est uniforme et non nul.

Implication réciproque : Supposons que le champ de moments U est uniforme et non nul. Soit A un point fixe et P ∈ R³ un point quelconque. Alors la relation de distribution permet d’écrire : U(P) = U(A) + R ∧ AP. Puisque U(P) = U(A) (champ uniforme), on en déduit que R ∧ AP = 0 pour tout vecteur AP. Le vecteur R est donc parallèle à tous les vecteurs de R³, il est donc nécessairement nul (R = 0). Le champ U définit ainsi un torseur (0, U) qui, par définition, est un couple (car U est non nul).

Exercice 3

Soient C = (R, U) et C' = (R', U') deux torseurs donnés. Montrer que : C = C' ⇔ ∃ P₁, P₂, P₃ (3 points non alignés) tels que : U(P_i) = U'(P_i) pour i = 1, 2, 3.

Solution Exercice 3

Implication directe : Supposons que C = C'. Alors R = R' et U(P) = U'(P) pour tout P ∈ R³. L'égalité étant vérifiée pour tous les points P ∈ R³, elle est en particulier vraie pour trois points non alignés P₁, P₂, P₃.

Implication réciproque : Supposons qu’il existe trois points P₁, P₂, P₃ non alignés pour lesquels U(P_i) = U'(P_i) pour i = 1, 2, 3. Utilisons la formule de distribution pour P₁ et P₃ : U(P₃) = U(P₁) + R ∧ P₁P₃. De même, U'(P₃) = U'(P₁) + R' ∧ P₁P₃. Puisque U(P₁) = U'(P₁) et U(P₃) = U'(P₃), on obtient : R ∧ P₁P₃ = R' ∧ P₁P₃, ce qui peut s'écrire (R - R') ∧ P₁P₃ = 0.

De même, pour P₁ et P₂ : U(P₂) = U(P₁) + R ∧ P₁P₂, et U'(P₂) = U'(P₁) + R' ∧ P₁P₂. On obtient alors (R - R') ∧ P₁P₂ = 0.

Le vecteur (R - R') est donc parallèle à P₁P₃ et à P₁P₂. Puisque les trois points P₁, P₂, P₃ sont non alignés, les vecteurs P₁P₂ et P₁P₃ sont non colinéaires. Par conséquent, le vecteur (R - R') doit être nul, c'est-à-dire R = R'.

Comme les torseurs C et C' ont la même résultante R et coïncident en un point (en fait ici en trois points), ils sont identiques (d’après la question 2 de l’exercice 2).

Exercice 4

On se donne deux glisseurs (A, V) et (A', V') tels que A = (1, 1, α), A' = (0, 2, 0), V = (0, 0, α) et V' = (β, 3, 0), où α et β sont deux réels. Soit C la somme de ces glisseurs : C = (A, V) + (A', V').

Donner les éléments de réduction de C en O.
Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que C soit un glisseur ?
Déterminer l’axe central de C.

Solution Exercice 4

1) Calcul des éléments de réduction en O (l'origine du repère).

Soit C = (R, U) le torseur somme. La résultante R est la somme des vecteurs :

R = V + V' = (0, 0, α) + (β, 3, 0) = (β, 3, α)

Le moment en O, U(O), s’obtient par l'addition des moments des deux glisseurs en O. Pour un glisseur (X, V), le moment en O est OX ∧ V.

U(O) = OA ∧ V + OA' ∧ V'

Avec OA = (1, 1, α) et V = (0, 0, α), on a :

OA ∧ V = (1, 1, α) ∧ (0, 0, α) = (1·α - α·0, α·0 - 1·α, 1·0 - 1·0) = (α, -α, 0)

Avec OA' = (0, 2, 0) et V' = (β, 3, 0), on a :

OA' ∧ V' = (0, 2, 0) ∧ (β, 3, 0) = (2·0 - 0·3, 0·β - 0·0, 0·3 - 2·β) = (0, 0, -2β)

D’où U(O) = (α, -α, 0) + (0, 0, -2β) = (α, -α, -2β).

Les éléments de réduction du torseur C en O sont donc R = (β, 3, α) et U(O) = (α, -α, -2β).

2) Condition nécessaire et suffisante pour que C soit un glisseur.

Un torseur C est un glisseur si et seulement si son invariant scalaire I = R · U(O) est nul, et que sa résultante R est non nulle.

R = (β, 3, α) ≠ (0, 0, 0) puisque la composante en y est 3, donc la résultante est toujours non nulle.

Calculons l'invariant scalaire I :

I = R · U(O) = (β, 3, α) · (α, -α, -2β)

I = β·α + 3·(-α) + α·(-2β)

I = αβ - 3α - 2αβ

I = -αβ - 3α = -α(β + 3)

Le torseur C est un glisseur si I = 0, c'est-à-dire si -α(β + 3) = 0. Cela est vérifié si α = 0 ou β = -3.

Conclusion : Le torseur C est un glisseur si et seulement si α = 0 ou β = -3.

3) Déterminer l’axe central de C.

Puisque R = (β, 3, α) est non nul, l'axe central existe.

L'axe central Δ est l'ensemble des points P(x, y, z) tels que U(P) est parallèle à R. C'est-à-dire U(P) = kR pour un scalaire k ∈ R.

La formule de distribution des moments nous donne U(P) = U(O) + R ∧ OP.

Donc, kR = U(O) + R ∧ OP.

En remplaçant les vecteurs :

k(β, 3, α) = (α, -α, -2β) + (β, 3, α) ∧ (x, y, z)

Le produit vectoriel R ∧ OP est : (3z - αy, αx - βz, βy - 3x)

Donc, k(β, 3, α) = (α + 3z - αy, -α + αx - βz, -2β + βy - 3x)

Cela donne le système d'équations :

kβ = α + 3z - αy (1)

k·3 = -α + αx - βz (2)

kα = -2β + βy - 3x (3)

Pour éliminer k, on peut écrire :

(α + 3z - αy) / β = (-α + αx - βz) / 3 = (-2β + βy - 3x) / α

Ces égalités définissent l'axe central. Par exemple, à partir des deux premières égalités (si β ≠ 0 et 3 ≠ 0) :

3(α + 3z - αy) = β(-α + αx - βz)

3α + 9z - 3αy = -αβ + αβx - β²z

Ce qui peut être réarrangé en : αβx + 3αy + (9 + β²)z = 3α + αβ

Et des deux dernières (si 3 ≠ 0 et α ≠ 0) :

α(-α + αx - βz) = 3(-2β + βy - 3x)

-α² + α²x - αβz = -6β + 3βy - 9x

Ce qui peut être réarrangé en : (α² + 9)x - 3βy - αβz = α² - 6β

Ces deux équations cartésiennes définissent l'axe central Δ.

Exercice 5

Soient A, B et C trois points dont les coordonnées, dans le repère orthonormé R₀(O; x₀, y₀, z₀), sont données par A(ap, aq, 0), B(-aq, ap, 0) et C(0, 0, a) où a, p et q sont des constantes scalaires connues tels que a > 0, p ≠ 0 et p² + q² = 1.

On considère le torseur C = (R, M) tel que :

M(A) · e_z = 0 et M(A) · e_y = apq
M(B) · e_z = a et M(B) · e_x = apq
M(C) · e_y = -a(p - q)² et M(C) · e_x = -a(q + p)

Déterminer la résultante R de C.
Compléter la détermination des moments M(A), M(B) et M(C).

Solution Exercice 5

1) Détermination de la résultante R = (R_x, R_y, R_z).

Les égalités suivantes proviennent de la relation de distribution des moments : M(B) = M(A) + R ∧ AB, M(C) = M(A) + R ∧ AC et M(A) = M(B) + R ∧ BA. Ces relations conduisent aux équations suivantes pour les composantes de R et les moments inconnus :

M(A) = (M(A)_x, apq, 0)

M(B) = (apq, M(B)_y, a)

M(C) = (-a(q+p), -a(p-q)², M(C)_z)

En établissant les relations entre ces moments et la résultante R, on obtient un système d'équations. Parmi les équations dérivées, trois ne font pas intervenir les composantes inconnues des moments :

R_y + pR_z = q

R_x + pR_z = p

-(p - q)R_x + (p + q)R_y = 1

Ce système peut être résolu en substituant R_x et R_y par leurs expressions en fonction de R_z dans la troisième équation. À partir des deux premières, on a :

R_y = q - pR_z

R_x = p - pR_z

En substituant ces expressions dans la troisième équation, et après simplification (rappelons que p² + q² = 1), on trouve :

-2p²R_z = 0

Comme p ≠ 0, il s'ensuit que R_z = 0.

En utilisant R_z = 0 dans les expressions de R_x et R_y :

R_x = p

R_y = q

Donc, la résultante est R = (p, q, 0).

2) Compléter la détermination des moments M(A), M(B) et M(C).

En utilisant R = (p, q, 0) et les équations dérivées des relations de distribution :

Pour M(A) : M(A)_x est obtenue par M(A)_x = M(B)_x - R ∧ BA · e_x. En utilisant les relations de distribution et les composantes données, on trouve M(A)_x = apq.

Donc M(A) = (apq, apq, 0).

Pour M(B) : M(B)_y est obtenue par M(B)_y = M(A)_y - R ∧ AB · e_y. En utilisant les relations de distribution et les composantes données, on trouve M(B)_y = apq.

Donc M(B) = (apq, apq, a).

Pour M(C) : M(C)_z est obtenue par M(C)_z = M(A)_z - R ∧ AC · e_z. M(C)_z = 0 - (R_x(C_y-A_y) - R_y(C_x-A_x)). Compte tenu de R_z=0, on obtient : M(C)_z = -aqR_x + apR_y = -aq(p) + ap(q) = -apq + apq = 0.

Donc M(C) = (-a(q + p), -a(p - q)², 0).

Exercice 6

Dans un repère R₀(O; x₀, y₀, z₀), on considère les trois glisseurs définis par les trois vecteurs liés suivants :

V₁ = (1, 0, -1) d'origine A = (1, 0, 0)
V₂ = (1, 2, 2) d'origine B = (0, 1, 0)
V₃ = (λ, μ, ν) d'origine C = (0, 0, 1)

Soit C la somme de ces glisseurs.

Déterminer λ, μ, ν pour que C soit un couple et trouver son moment.
Quelle relation doit relier λ, μ, ν pour que C soit un glisseur ?
Déterminer μ, ν en fonction de λ pour que le support du glisseur C passe par le point D = (1/3, 1, 4/3).
Dans le cas où (λ, μ, ν) = (-2, 0, -1), trouver l’équation de l’axe central de C.

Solution Exercice 6

1) Déterminer λ, μ, ν pour que C soit un couple et trouver son moment.

Un torseur C est un couple si et seulement si sa résultante R est nulle (R = 0) et son moment en un point P est non nul (U(P) ≠ 0).

La résultante R est la somme des vecteurs : R = V₁ + V₂ + V₃ = (1+1+λ, 0+2+μ, -1+2+ν) = (2+λ, 2+μ, 1+ν).

Pour que R = 0, il faut que :

2 + λ = 0 ⇒ λ = -2

2 + μ = 0 ⇒ μ = -2

1 + ν = 0 ⇒ ν = -1

Ainsi, C est un couple si (λ, μ, ν) = (-2, -2, -1).

Le moment du couple est constant en tout point. Calculons-le au point O : U(O) = OA ∧ V₁ + OB ∧ V₂ + OC ∧ V₃.

OA ∧ V₁ = (1, 0, 0) ∧ (1, 0, -1) = (0, 1, 0)
OB ∧ V₂ = (0, 1, 0) ∧ (1, 2, 2) = (2, 0, -1)
OC ∧ V₃ = (0, 0, 1) ∧ (-2, -2, -1) = (2, -2, 0)

U(O) = (0, 1, 0) + (2, 0, -1) + (2, -2, 0) = (4, -1, -1).

Le moment du couple est (4, -1, -1).

2) Quelle relation doit relier λ, μ, ν pour que C soit un glisseur ?

Un torseur C est un glisseur si et seulement si son invariant scalaire I = R · U(O) est nul, et que sa résultante R est non nulle.

R = (2+λ, 2+μ, 1+ν). R ≠ 0 si (λ, μ, ν) ≠ (-2, -2, -1).

U(O) = OA ∧ V₁ + OB ∧ V₂ + OC ∧ V₃. Les deux premiers termes sont constants.

OA ∧ V₁ = (0, 1, 0)
OB ∧ V₂ = (2, 0, -1)
OC ∧ V₃ = (0, 0, 1) ∧ (λ, μ, ν) = (-μ, λ, 0)

U(O) = (0, 1, 0) + (2, 0, -1) + (-μ, λ, 0) = (2-μ, 1+λ, -1).

I = R · U(O) = (2+λ, 2+μ, 1+ν) · (2-μ, 1+λ, -1)

I = (2+λ)(2-μ) + (2+μ)(1+λ) + (1+ν)(-1)

I = (4 - 2μ + 2λ - λμ) + (2 + 2λ + μ + λμ) + (-1 - ν)

I = 4 - 2μ + 2λ - λμ + 2 + 2λ + μ + λμ - 1 - ν

I = 5 + 4λ - μ - ν

Le torseur C est un glisseur si I = 0, c'est-à-dire si 5 + 4λ - μ - ν = 0. La relation est ν = 5 + 4λ - μ.

Condition : ν = 5 + 4λ - μ et (λ, μ, ν) ≠ (-2, -2, -1).

3) Déterminer μ, ν en fonction de λ pour que le support du glisseur C passe par le point D = (1/3, 1, 4/3).

Le support du torseur passe par le point D si et seulement si le moment en D est nul : U(D) = 0.

Par la relation de distribution des torseurs, U(D) = U(O) + R ∧ OD.

OD = (1/3, 1, 4/3).

R = (2+λ, 2+μ, 1+ν).

U(O) = (2-μ, 1+λ, -1).

R ∧ OD = (2+λ, 2+μ, 1+ν) ∧ (1/3, 1, 4/3)

= [(2+μ)(4/3) - (1+ν)·1, (1+ν)(1/3) - (2+λ)(4/3), (2+λ)·1 - (2+μ)(1/3)]

= [8/3 + 4μ/3 - 1 - ν, 1/3 + ν/3 - 8/3 - 4λ/3, 2 + λ - 2/3 - μ/3]

= [5/3 + 4μ/3 - ν, -7/3 - 4λ/3 + ν/3, 4/3 + λ - μ/3]

U(D) = (2-μ, 1+λ, -1) + [5/3 + 4μ/3 - ν, -7/3 - 4λ/3 + ν/3, 4/3 + λ - μ/3]

Les composantes de U(D) sont :

U(D)_x = (2-μ) + 5/3 + 4μ/3 - ν = 11/3 + μ/3 - ν

U(D)_y = (1+λ) - 7/3 - 4λ/3 + ν/3 = -4/3 - λ/3 + ν/3

U(D)_z = (-1) + 4/3 + λ - μ/3 = 1/3 + λ - μ/3

Pour U(D) = 0, nous avons le système d'équations :

11/3 + μ/3 - ν = 0 (1) ⇒ 11 + μ - 3ν = 0

-4/3 - λ/3 + ν/3 = 0 (2) ⇒ -4 - λ + ν = 0

1/3 + λ - μ/3 = 0 (3) ⇒ 1 + 3λ - μ = 0

En résolvant ce système :

De (2), on tire ν = 4 + λ.

De (3), on tire μ = 1 + 3λ.

Vérifions avec (1) : 11 + (1 + 3λ) - 3(4 + λ) = 11 + 1 + 3λ - 12 - 3λ = 0. Le système est cohérent.

Les relations sont donc : μ = 1 + 3λ et ν = 4 + λ.

4) Dans le cas où (λ, μ, ν) = (-2, 0, -1), trouver l’équation de l’axe central de C.

Avec (λ, μ, ν) = (-2, 0, -1) :

R = (2+λ, 2+μ, 1+ν) = (2-2, 2+0, 1-1) = (0, 2, 0).

U(O) = (2-μ, 1+λ, -1) = (2-0, 1-2, -1) = (2, -1, -1).

L'invariant scalaire I = R · U(O) = (0, 2, 0) · (2, -1, -1) = 0·2 + 2·(-1) + 0·(-1) = -2.

Puisque R est non nul (R = (0, 2, 0) ≠ (0, 0, 0)) et I ≠ 0, le torseur C est une clé (ou un torseur quelconque), et non un glisseur dans ce cas. L'axe central existe toujours.

L'axe central Δ est l'ensemble des points P(x, y, z) tels que U(P) est parallèle à R. C'est-à-dire U(P) = kR pour un scalaire k ∈ R. On peut aussi écrire U(P) ∧ R = 0.

U(P) = U(O) + R ∧ OP = (2, -1, -1) + (0, 2, 0) ∧ (x, y, z)

(0, 2, 0) ∧ (x, y, z) = (2z - 0y, 0x - 0z, 0y - 2x) = (2z, 0, -2x)

U(P) = (2, -1, -1) + (2z, 0, -2x) = (2 + 2z, -1, -1 - 2x).

Maintenant, U(P) ∧ R = 0 :

(2 + 2z, -1, -1 - 2x) ∧ (0, 2, 0) = (0, 0, 0)

La composante x : (-1)·0 - (-1 - 2x)·2 = 2(1 + 2x) = 2 + 4x.

La composante y : (-1 - 2x)·0 - (2 + 2z)·0 = 0.

La composante z : (2 + 2z)·2 - (-1)·0 = 2(2 + 2z) = 4 + 4z.

Pour U(P) ∧ R = 0, il faut :

2 + 4x = 0 ⇒ x = -2/4 = -1/2

4 + 4z = 0 ⇒ z = -1

L'axe central est donc la droite d'équations x = -1/2 et z = -1. C'est une droite parallèle à l'axe des y (direction de R).

Exercice 7

On considère, dans le repère orthonormé R₀(O; x₀, y₀, z₀), les torseurs C₁ et C₂ dont les éléments de réduction en O sont respectivement :

C₁: {R₁ = (cosα, -sinα, 0); U₁(O) = (-a sinα, a cosα, 0)}

C₂: {R₂ = (cosα, sinα, 0); U₂(O) = (-a sinα, a cosα, 0)}

où a et α sont des constantes non nulles données, avec α ∈ [0, π].

Préciser la nature de C₁ et C₂.
Soit C = λ₁C₁ + λ₂C₂ où λ₁, λ₂ sont deux réels. Trouver l’invariant scalaire I de C, le comoment de C₁ et C₂, et trouver une relation entre I et ce comoment.
Définir l’axe central de C. Préciser cet axe lorsque λ₁ = λ₂, puis lorsque λ₁ = -λ₂.

Solution Exercice 7

1) Préciser la nature de C₁ et C₂.

Un torseur est un glisseur si son invariant scalaire est nul (I = R · U(O) = 0) et sa résultante est non nulle.

Pour C₁ : R₁ = (cosα, -sinα, 0). R₁ ≠ (0, 0, 0) car α ∈ [0, π] et n'admet pas de point où cosα et sinα sont nuls simultanément.

I₁ = R₁ · U₁(O) = (cosα)(-a sinα) + (-sinα)(a cosα) + 0·0 = -a sinα cosα - a sinα cosα = -2a sinα cosα = -a sin(2α).

C₁ est un glisseur si I₁ = 0, ce qui implique -a sin(2α) = 0. Puisque a ≠ 0, sin(2α) = 0. Avec α ∈ [0, π], cela signifie 2α = 0 ou 2α = π ou 2α = 2π, d'où α = 0, α = π/2 ou α = π.

Pour C₂ : R₂ = (cosα, sinα, 0). R₂ ≠ (0, 0, 0) pour la même raison que R₁.

I₂ = R₂ · U₂(O) = (cosα)(-a sinα) + (sinα)(a cosα) + 0·0 = -a sinα cosα + a sinα cosα = 0.

Puisque R₂ ≠ (0, 0, 0) et I₂ = 0, le torseur C₂ est toujours un glisseur.

2) Soit C = λ₁C₁ + λ₂C₂ où λ₁, λ₂ sont deux réels. Trouver l’invariant scalaire I de C, le comoment de C₁ et C₂, et trouver une relation entre I et ce comoment.

Invariant scalaire de C : I = R · U(O), avec R = λ₁R₁ + λ₂R₂ et U(O) = λ₁U₁(O) + λ₂U₂(O).

R = λ₁(cosα, -sinα, 0) + λ₂(cosα, sinα, 0) = ((λ₁+λ₂)cosα, (-λ₁+λ₂)sinα, 0).

U(O) = λ₁(-a sinα, a cosα, 0) + λ₂(-a sinα, a cosα, 0) = (-a(λ₁+λ₂)sinα, a(λ₁+λ₂)cosα, 0).

I = R · U(O) = ((λ₁+λ₂)cosα)(-a(λ₁+λ₂)sinα) + ((-λ₁+λ₂)sinα)(a(λ₁+λ₂)cosα)

I = -a(λ₁+λ₂)²cosα sinα + a(λ₁+λ₂)(λ₂-λ₁)sinα cosα

I = a(λ₁+λ₂)cosα sinα [ -(λ₁+λ₂) + (λ₂-λ₁) ]

I = a(λ₁+λ₂)cosα sinα [ -2λ₁ ] = -2aλ₁(λ₁+λ₂)cosα sinα = -aλ₁(λ₁+λ₂)sin(2α).

Comoment de C₁ et C₂ : Par définition, C(C₁, C₂) = R₁ · U₂(O) + R₂ · U₁(O).

R₁ · U₂(O) = (cosα, -sinα, 0) · (-a sinα, a cosα, 0) = -a cosα sinα - a sinα cosα = -2a sinα cosα.

R₂ · U₁(O) = (cosα, sinα, 0) · (-a sinα, a cosα, 0) = -a cosα sinα + a sinα cosα = 0.

Donc, C(C₁, C₂) = -2a sinα cosα = -a sin(2α).

Relation entre I et ce comoment : I = λ₁(λ₁+λ₂) C(C₁, C₂).

3) Axe central du torseur C.

L'axe central Δ est l'ensemble des points P(x, y, z) tels que U(P) est parallèle à R. C'est-à-dire U(P) = kR pour un scalaire k ∈ R.

U(P) = U(O) + R ∧ OP.

U(O) = (-a(λ₁+λ₂)sinα, a(λ₁+λ₂)cosα, 0)

R = ((λ₁+λ₂)cosα, (-λ₁+λ₂)sinα, 0)

R ∧ OP = ((λ₁+λ₂)cosα, (-λ₁+λ₂)sinα, 0) ∧ (x, y, z)

R ∧ OP = ((-λ₁+λ₂)z sinα, -(λ₁+λ₂)z cosα, (λ₁+λ₂)y cosα - (-λ₁+λ₂)x sinα)

Cas λ₁ = λ₂ :

Alors R = (2λ₁cosα, 0, 0).

U(O) = (-2aλ₁sinα, 2aλ₁cosα, 0).

L'axe central est U(P) = kR.

U(P) = U(O) + R ∧ OP = (-2aλ₁sinα, 2aλ₁cosα, 0) + (2λ₁cosα, 0, 0) ∧ (x, y, z)

R ∧ OP = (0, 2λ₁z cosα, -2λ₁y cosα)

U(P) = (-2aλ₁sinα, 2aλ₁cosα + 2λ₁z cosα, -2λ₁y cosα).

U(P) = kR = (2kλ₁cosα, 0, 0).

Comparaison des composantes :

-2aλ₁sinα = 2kλ₁cosα

2aλ₁cosα + 2λ₁z cosα = 0

-2λ₁y cosα = 0

Si λ₁ ≠ 0 et cosα ≠ 0 (c'est-à-dire α ≠ π/2) :

De la 2ème équation : a + z = 0 ⇒ z = -a.

De la 3ème équation : y = 0.

L'axe central est la droite d'équations y = 0 et z = -a. C'est une droite parallèle à l'axe des x.

Si α = π/2 : R = (0, 0, 0). Le torseur est un couple (son moment U(O) = (-2aλ₁, 0, 0) est non nul si a et λ₁ sont non nuls). L'axe central n'est pas défini comme une droite support.

Cas λ₁ = -λ₂ :

Alors R = (0, -2λ₁sinα, 0).

U(O) = (0, 0, 0).

U(P) = U(O) + R ∧ OP = (0, 0, 0) + (0, -2λ₁sinα, 0) ∧ (x, y, z)

R ∧ OP = (-2λ₁z sinα, 0, 2λ₁x sinα)

U(P) = (-2λ₁z sinα, 0, 2λ₁x sinα).

Pour U(P) = kR :

-2λ₁z sinα = 0

0 = k(-2λ₁sinα)

2λ₁x sinα = 0

Si λ₁ ≠ 0 et sinα ≠ 0 (c'est-à-dire α ≠ 0, π) :

De la 1ère équation : z = 0.

De la 3ème équation : x = 0.

L'axe central est la droite d'équations x = 0 et z = 0. C'est l'axe des y.

Si α = 0 ou α = π : R = (0, 0, 0) et U(O) = (0,0,0). Le torseur est alors le torseur nul.

FAQ

Qu'est-ce qu'un torseur en mécanique ?

Un torseur est un outil mathématique qui permet de modéliser l'ensemble des actions mécaniques (forces et moments) exercées sur un corps rigide. Il est défini par une résultante (la somme vectorielle des forces) et un moment résultant en un point donné. Le champ des moments d'un torseur obéit à une loi de variation spécifique d'un point à l'autre de l'espace. Il caractérise ainsi complètement l'état des actions mécaniques.

Quelle est la différence entre un glisseur et un couple ?

Un glisseur est un torseur dont la résultante est non nulle et dont l'invariant scalaire (le produit scalaire de la résultante par le moment en un point) est nul. Cela signifie qu'il existe une droite, appelée axe central ou support du glisseur, où le moment du torseur est nul. Son action est équivalente à une force unique appliquée le long de cet axe.

Un couple est un torseur dont la résultante est nulle (R = 0), mais dont le moment résultant est non nul et constant en tout point de l'espace. Un couple ne peut pas être réduit à une seule force et ne possède pas d'axe central. Son effet est purement rotatif.

Comment détermine-t-on l'axe central d'un torseur ?

L'axe central d'un torseur est l'ensemble des points où le moment du torseur est parallèle à sa résultante. Pour un torseur C = (R, U) avec une résultante R non nulle, l'axe central est la droite passant par un point P₀ et de direction R. Un point P₀ sur l'axe central peut être déterminé par la formule vectorielle O&vec;P₀ = (U(O) ∧ R) / ||R||² + kR (pour un glisseur le moment en O est U(O), l'axe est la droite passant par P0). L'équation de l'axe central est souvent obtenue en écrivant que le moment en un point P(x, y, z) est colinéaire à la résultante R, soit U(P) ∧ R = 0. Dans le cas d'un glisseur, le moment en tout point de l'axe central est nul. Dans le cas d'une clé (torseur quelconque), le moment sur l'axe central est égal au moment minimal, qui est parallèle à R.