Ce document didactique, destiné aux étudiants universitaires en physique ou en génie électrique, présente un exercice corrigé approfondi sur l'électrocinétique.
Il se concentre spécifiquement sur l'analyse d'une « Cellule R-2R », un circuit fondamental souvent rencontré dans les applications pratiques. L'objectif est de déterminer les potentiels en divers points du réseau et d'en comprendre le fonctionnement.
Il couvre les notions suivantes :
- Analyse de circuits en électrocinétique
- Calcul de résistances équivalentes (série et parallèle)
- Application du diviseur de tension et raisonnement par récurrence
- Principes des convertisseurs numériques-analogiques (CNA)
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Exercice 2.1 : Énoncé
La "Cellule R-2R" est un type de réseau résistif en échelle. L'objectif de cet exercice est de déterminer les potentiels aux points Pk, où k représente un indice allant de 1 à n, par rapport à la masse (potentiel P0).
Correction : Cellule R-2R
Pour résoudre cet exercice, nous allons d'abord déterminer la résistance équivalente de la structure en échelle R-2R, puis utiliser la formule du diviseur de tension.
Une propriété fondamentale de l'échelle R-2R est que la résistance équivalente vue depuis n'importe quel point Pk vers la masse est égale à R, à condition que le réseau soit correctement terminé (généralement par une résistance 2R à la dernière branche). Démontrons cette propriété en considérant une section typique du circuit :
Si la résistance équivalente de la partie de l'échelle située à droite d'un nœud (vers la masse) est R, alors la résistance de la cellule précédente consiste en une résistance R en série avec cette résistance équivalente R, le tout en parallèle avec une résistance 2R (la branche de shunt connectée à la masse).
Calcul de la résistance équivalente d'une section typique :
- Les deux résistances R sont en série : Rsérie = R + R = 2R.
- Cette résistance Rsérie (2R) est en parallèle avec la résistance de shunt 2R.
- La résistance équivalente de cette section est Req = (2R × 2R) / (2R + 2R) = 4R² / 4R = R.
Ce résultat montre que l'ajout d'une section R-2R maintient la résistance équivalente à R. Ainsi, la source de tension E "voit" le circuit comme une résistance R en série avec l'entrée de l'échelle R-2R, dont la résistance équivalente est également R. La résistance totale vue par la source est donc R + R = 2R.
En utilisant la formule du diviseur de tension pour le potentiel au point P1 :
VP1 = E × (Req_échelle / (Rsérie_entrée + Req_échelle)) = E × (R / (R + R)) = E / 2
En progressant dans l'échelle, le potentiel à chaque point Pk est divisé par deux par rapport au potentiel du point précédent P(k-1). Par exemple :
VP2 = VP1 / 2 = (E / 2) / 2 = E / 4
Par récurrence, le potentiel au point Pk par rapport à la masse est donné par la relation générale :
VPk = E / 2k
Application de la Cellule R-2R
Ce montage est largement utilisé dans les convertisseurs numérique-analogique (CNA ou DAC). Dans ces dispositifs, les tensions aux points Pk (VPk) sont sommées de manière pondérée (généralement via un amplificateur opérationnel) en fonction de la valeur d'un bit binaire (0 ou 1) via des interrupteurs. Cela permet de reconstituer une tension analogique qui est une représentation fidèle d'un nombre binaire d'entrée.
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Cellule R-2R
Qu'est-ce qu'une échelle R-2R ?
Une échelle R-2R est un réseau de résistances composé uniquement de deux valeurs de résistances : R et 2R. Sa structure répétitive en fait un diviseur de tension très utile, notamment dans les applications de conversion numérique-analogique.
Comment l'échelle R-2R fonctionne-t-elle comme diviseur de tension ?
Grâce à sa conception, l'échelle R-2R assure que la résistance équivalente vue de chaque nœud vers la masse (en supposant une terminaison appropriée) est toujours R. Cette propriété entraîne une division successive de la tension par un facteur de deux à chaque étape, produisant ainsi des tensions binaires pondérées (E/2, E/4, E/8, etc.).
Quelles sont les principales applications des cellules R-2R ?
La principale application des échelles R-2R réside dans les convertisseurs numérique-analogique (CNA), où elles sont utilisées pour convertir un signal numérique binaire en une tension analogique proportionnelle. Elles sont appréciées pour leur précision, leur simplicité de construction et la facilité de leur intégration dans des circuits.