Ce document didactique, destiné aux étudiants universitaires en filières scientifiques, propose une étude détaillée d'un circuit déphaseur pur en électrocinétique. Il vise à renforcer les compétences en analyse des systèmes linéaires.
Ce travail couvre les notions suivantes :
- La détermination de la fonction de transfert d'un circuit.
- Le calcul et le tracé du diagramme de Bode (gain et phase).
- L'application des propriétés des amplificateurs opérationnels idéaux.
Un exercice corrigé illustre ces concepts pour faciliter la compréhension du comportement fréquentiel des filtres.
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Cet exercice d'électrocinétique est dédié à l'analyse d'un circuit déphaseur pur, un montage fondamental dans l'étude des filtres et de la manipulation de phase des signaux. Nous déterminerons sa fonction de transfert et tracerons son diagramme de Bode.
Énoncé
L'amplificateur opérationnel (A.O.) est idéal et fonctionne en régime linéaire.
- Déterminer la fonction de transfert : H = US / UE.
- Tracer le diagramme de Bode correspondant et conclure.
Corrigé
1. Calcul de la fonction de transfert
L'amplificateur opérationnel (A.O.) étant idéal, les courants d'entrée sont nuls (i- = i+ = 0).
Sur la borne non inverseuse (V+), un simple diviseur de tension, impliquant une résistance R et un condensateur C, fournit la tension V+. L'impédance du condensateur est 1/(jCω) :
V+ = UE × (R / (R + 1/(jCω))) = UE × (jRCω / (1 + jRCω))
L'A.O. étant en fonctionnement linéaire, la tension sur la borne non inverseuse est égale à celle sur la borne inverseuse : V+ = V-. C'est le principe du court-circuit virtuel.
Pour la borne inverseuse (V-), la tension de sortie US est souvent reliée via une configuration de contre-réaction, typiquement avec des résistances et un condensateur, de manière à influencer V-. En appliquant le théorème de Millman (ou la loi des nœuds de Kirchhoff) au nœud V-, et en combinant cette relation avec l'égalité V+ = V-, on peut exprimer US en fonction de UE. Après résolution pour US/UE, la fonction de transfert obtenue est la suivante :
H = US / UE = (jRCω - 1) / (jRCω + 1)
En posant la variable réduite x = RCω (fréquence normalisée), la fonction de transfert s'écrit de manière simplifiée :
H(jx) = (jx - 1) / (jx + 1)
2. Tracé du diagramme de Bode
Courbe de gain
Le module de la fonction de transfert est calculé comme suit :
|H(jx)| = |(jx - 1) / (jx + 1)| = √((-1)² + x²) / √(1² + x²) = √(1 + x²) / √(1 + x²) = 1
Le gain en décibels (GdB) est donc :
GdB = 20 log(|H(jx)|) = 20 log(1) = 0 dB pour toutes les fréquences. Le gain est constant et unitaire, ce qui signifie que l'amplitude du signal de sortie est égale à celle du signal d'entrée.
Courbe de l'argument (phase)
L'argument φ de H(jx) est calculé comme la différence entre l'argument du numérateur et celui du dénominateur : φ = Arg(jx - 1) - Arg(jx + 1).
Pour x << 1 (basses fréquences), H(jx) se rapproche de -1. L'argument est alors φ ≈ π radians (soit 180°).
Pour x = 1 (fréquence caractéristique, où RCω = 1), H(j1) = (j - 1) / (j + 1). En multipliant par le conjugué du dénominateur : H(j1) = ((j - 1)(j - 1)) / ((j + 1)(j - 1)) = (-1 - 2j + 1) / (-1 - 1) = (-2j) / (-2) = j. L'argument de j est φ = π/2 radians (soit 90°).
Pour x >> 1 (hautes fréquences), H(jx) se rapproche de 1 (puisque jx domine au numérateur et au dénominateur). L'argument est alors φ ≈ 0 radians (soit 0°).
Le montage proposé permet de faire varier le déphasage entre la tension de sortie et la tension d'entrée, typiquement entre π et 0 radians. En revanche, la valeur efficace de la tension de sortie est égale à celle de la tension d'entrée, ce qui justifie l'appellation de « circuit déphaseur pur ».
FAQ - Circuit Déphaseur Pur
- Qu'est-ce qu'un circuit déphaseur pur ?
- Un circuit déphaseur pur est un montage électronique, souvent réalisé avec un amplificateur opérationnel, qui modifie la phase d'un signal d'entrée sans altérer son amplitude (son gain reste unitaire, soit 0 dB).
- Quelle est la fonction principale d'un amplificateur opérationnel dans un circuit déphaseur pur ?
- Dans un circuit déphaseur pur, l'amplificateur opérationnel est utilisé pour isoler les étapes du filtre et assurer que le gain du montage reste constant et égal à 1 (ou 0 dB), tout en permettant une variation contrôlée du déphasage sur une plage donnée.
- Quel est le comportement de la phase et du gain aux basses et hautes fréquences pour ce type de circuit ?
- Le gain reste constant à 0 dB sur toute la plage de fréquences. La phase, quant à elle, varie : elle passe généralement de π radians (180°) aux très basses fréquences à 0 radians (0°) aux très hautes fréquences, offrant ainsi une variation de phase de π radians.