Optique : Corrige td optique geometrique smp2
Télécharger PDFCorrigé de l’épreuve d’optique géométrique – SMP2 Session de rattrapage - Juillet 2012
Exercice 1
1. Dioptre sphérique divergent
a) Comme le dioptre sphérique est divergent, son centre est situé dans le milieu le moins réfringent. Ce dioptre, qui sépare l'air (d'indice n₁ = 1) du verre (d'indice n₂ = 1,5), est donc concave.
b) Application numérique : Pour un objet réel, la position de l'objet est AS = -2 cm. Le grandissement transversal est γ = 0,5.
c) La relation de conjugaison du dioptre sphérique (DS₁) avec l'origine au sommet S s'écrit :
n₂/AS' - n₁/AS = (n₂ - n₁)/SC
En utilisant AS = -2 cm, n₁ = 1, n₂ = 1,5 et γ = A'B'/AB = AS'/AS = 0,5, nous obtenons AS' = γ * AS = 0,5 * (-2 cm) = -1 cm.
En substituant ces valeurs dans la relation de conjugaison :
1,5/(-1) - 1/(-2) = (1,5 - 1)/SC
-1,5 + 0,5 = 0,5/SC
-1 = 0,5/SC
D'où SC = -0,5 cm. Puisque SC < 0, le centre de courbure C est à gauche du sommet S, ce qui confirme que le dioptre sphérique est bien concave.
d) Calcul des foyers F₁ et F'₁ du (DS₁) :
La position du foyer objet F₁ par rapport au sommet S est SF₁ = n₁SC / (n₁ - n₂).
SF₁ = 1 * (-0,5) / (1 - 1,5) = -0,5 / -0,5 = 1 cm.
Puisque SF₁ > 0, F₁ est un foyer objet virtuel.
La position du foyer image F'₁ par rapport au sommet S est SF'₁ = n₂SC / (n₂ - n₁).
SF'₁ = 1,5 * (-0,5) / (1,5 - 1) = -0,75 / 0,5 = -1,5 cm.
Puisque SF'₁ < 0, F'₁ est un foyer image virtuel.
Conclusion : Les foyers sont virtuels et le dioptre sphérique DS₁ est bien divergent.
e) Construction géométrique de l’image A’B’ : Deux des trois rayons principaux sont suffisants pour construire l’image A’B’.
Exercice 2
Application de la relation de conjugaison du dioptre sphérique (DS₂)
On applique la relation de conjugaison du dioptre sphérique (DS₂) avec l'origine au sommet S₂ :
n₂/AS'₂ - n₁/AS₂ = (n₂ - n₁)/S₂C₂
Nous considérons n₁ = 1 (air) et n₂ = 1,5 (verre).
Pour un objet virtuel, la position AS₂ est positive (AS₂ > 0).
a) Pour d = 30 cm :
Si AS₂ = 30 cm et le dioptre est concave et divergent, cela implique que le centre C₂ est dans le milieu le moins réfringent (l'air), donc S₂C₂ < 0. Supposons S₂C₂ = -10 cm (valeur typique pour un dioptre concave divergent pour cet exercice).
1,5/AS'₂ - 1/30 = (1,5 - 1)/(-10)
1,5/AS'₂ - 0,0333 = 0,5/(-10)
1,5/AS'₂ = -0,05 + 0,0333
1,5/AS'₂ = -0,0167
AS'₂ = 1,5 / -0,0167 ≈ -89,82 cm.
b) Pour d = 15 cm :
Si AS₂ = 15 cm et le dioptre est plan et donc afocal, cela signifie que le centre de courbure C₂ est rejeté à l'infini (S₂C₂ → ∞). Dans ce cas, (n₂ - n₁)/S₂C₂ = 0.
1,5/AS'₂ - 1/15 = 0
1,5/AS'₂ = 1/15
AS'₂ = 1,5 * 15 = 22,5 cm.
c) Pour d = 10 cm :
Si AS₂ = 10 cm et le dioptre est convexe et convergent, cela signifie que le centre C₂ est dans le milieu le plus réfringent (le verre), donc S₂C₂ > 0. Si l'objet A est situé au centre C₂ du dioptre (AS₂ = S₂C₂), son image A' est également formée en C₂. Donc, S₂C₂ = 10 cm et AS'₂ = 10 cm.
Vérification : 1,5/10 - 1/10 = (1,5 - 1)/10 => 0,15 - 0,1 = 0,05 => 0,05 = 0,05. La relation est vérifiée.
Exercice 3
1. Formule de Newton
La formule de Newton pour un couple de points (A, A’) s’écrit :
FA . F'A' = -f . f'
où FA est la distance entre le foyer objet F et l'objet A, F'A' est la distance entre le foyer image F' et l'image A', et f et f' sont les distances focales objet et image du système optique.
2. Nature de l'image
L’image A’B’, qui s’obtient par le prolongement des rayons émergents, est donc virtuelle.
3. Application numérique de la formule de Newton
Pour un système optique donné avec des distances focales f et f' connues, et la position de l'objet A par rapport à F (FA), on peut calculer la position de l'image A' par rapport à F' (F'A'). Par exemple, si f = 10 cm, f' = -10 cm (lentille mince dans l'air) et FA = -20 cm, alors F'A' = (-f * f') / FA = (-10 * -10) / -20 = 100 / -20 = -5 cm. Cela permet de retrouver la position de l’image obtenue par construction graphique.
4. Grandissement linéaire
Le grandissement linéaire γ, avec origine aux points principaux H et H’ d'un système optique, s’écrit :
γ = H'A' / HA
Il peut aussi être calculé par d'autres formules :
- γ = A'B' / AB (grandissement transversal)
- γ = f / FA
- γ = -F'A' / f'
5. Objet au foyer objet F
Si l’objet AB est situé au foyer objet F, son image A’B’ est rejetée à l’infini.
Explication : Le point B représente un foyer secondaire objet s. Tous les rayons lumineux issus de s incidents sur le système optique émergent parallèlement entre eux. En particulier, un rayon incident parallèle à l’axe optique et un rayon incident qui passe par le point principal objet H (issus de B), émergent du système en passant par le foyer image F’ et le point principal image H’ respectivement, et les deux rayons émergents sont parallèles. L’image A’B’ est donc formée à l'infini.
Exercice 4
1. Position de la lentille
Pour déterminer la position d'une lentille pour un objet AB et son image A’B’, on utilise des propriétés de construction graphique et les formules de conjugaison. Par exemple, la position de la lentille (son centre optique O) peut être déterminée en considérant un rayon incident passant par B et son image B’. Ce rayon traverse la lentille sans déviation et intercepte l’axe optique en O. Les foyers F et F’ sont ensuite déterminés par des rayons parallèles à l'axe optique.
Explication : On place l’objet AB et l’image A’B’ sur l’axe optique en respectant leur hauteur. La position de la lentille est obtenue en considérant un rayon incident passant par B et B’. Ce rayon dont la direction ne change pas intercepte l’axe au centre optique O de la lentille. Un rayon issu de B et parallèle à l’axe optique émerge en passant (ou semblant provenir) de B’. Ce rayon émergent coupe l’axe au foyer image F’. Un rayon qui émerge parallèlement à l’axe, et semblant provenir de B’, admet un rayon incident qui passe par B et qui coupe l’axe au foyer objet F (F est le symétrique de F’ par rapport à O si la lentille est mince et placée dans un même milieu).
2. Calcul de la position de la lentille par rapport à l’image A’B’
Le calcul de la position de la lentille (O) par rapport à l'image A'B' peut être réalisé à l'aide de la formule de conjugaison de Descartes pour les lentilles minces :
1/OA' - 1/OA = 1/f'
où OA est la position de l'objet, OA' la position de l'image, et f' la distance focale image de la lentille, toutes mesurées à partir du centre optique O. Si l'on connaît la position de l'objet (OA) et de l'image (OA'), on peut en déduire la distance focale f' ou la position de la lentille si OA et OA' sont données par rapport à un repère externe.
FAQ
Q1 : Quelle est la différence entre un foyer réel et un foyer virtuel ?
R1 : Un foyer réel est un point où les rayons lumineux convergent effectivement après avoir traversé un système optique. Il peut être visualisé sur un écran. Un foyer virtuel est un point d'où les rayons semblent diverger (pour un foyer image virtuel) ou vers lequel les rayons incidents semblent converger avant de traverser le système (pour un foyer objet virtuel). Il ne peut pas être capturé sur un écran.
Q2 : Comment la concavité ou convexité d'un dioptre sphérique influence-t-elle sa nature convergente ou divergente ?
R2 : La nature convergente ou divergente d'un dioptre sphérique dépend non seulement de sa forme (concave ou convexe) mais aussi des indices de réfraction des milieux qu'il sépare. Un dioptre est convergent si son centre de courbure est dans le milieu le plus réfringent, et divergent si son centre de courbure est dans le milieu le moins réfringent. Ainsi, un dioptre concave peut être convergent ou divergent selon la configuration des indices, et de même pour un dioptre convexe.
Q3 : Qu'est-ce qu'un système afocal ?
R3 : Un système afocal est un système optique dont les foyers sont rejetés à l'infini. Pour un tel système, un faisceau de rayons parallèles qui entre en ressort parallèle. Le dioptre plan est un exemple de dioptre afocal, car son centre de courbure est à l'infini.