Optique : Examen optique geometrique smp2
Télécharger PDFOptique Géométrique : Prismes, Lentilles Minces et Systèmes Catadioptriques
Ce document explore des concepts fondamentaux en optique géométrique à travers une série de problèmes structurés, couvrant l'étude des prismes, des systèmes centrés équivalents à des lentilles minces, et des systèmes catadioptriques. Les calculs sont effectués dans les conditions de l'approximation de Gauss.
Partie 1 : Étude d'un Prisme
Un prisme (ABC) est défini par un indice de réfraction n = 1.5 et un angle au sommet  = 60°. Il est immergé dans l'air.
Formules Fondamentales du Prisme
Les quatre formules clés régissant le comportement de la lumière traversant un prisme sont :
- Relations de Snell-Descartes aux interfaces :
- À la face d'entrée (AB) : sin(i) = n sin(r)
- À la face de sortie (AC) : n sin(r') = sin(i')
- Relation angulaire interne : A = r + r'
- Formule de déviation : D = i + i' - A
Où i est l'angle d'incidence, r l'angle de réfraction interne sur la première face, r' l'angle d'incidence interne sur la deuxième face, i' l'angle d'émergence, A l'angle du prisme et D la déviation totale.
Calcul de l'Angle de Réfraction Limite
L'angle de réfraction limite (ou angle limite de réflexion totale) sur la face de sortie (AC) est calculé lorsque le rayon émergent rase la surface (i' = 90°). En appliquant la loi de Snell-Descartes à la face de sortie :
n sin() = 1 sin(90°)
n sin() = 1
sin() = 1/n
Pour n = 1.5, = arcsin(1/1.5) ≈ 41.81°.
Condition d'Émergence par Rapport à l'Angle au Sommet
Pour qu'un rayon lumineux puisse émerger de la deuxième face du prisme (AC), l'angle d'incidence interne r' doit être inférieur ou égal à l'angle limite . La condition générale d'émergence pour un prisme est que l'angle au sommet A soit inférieur ou égal à deux fois l'angle limite (A ≤ 2). Cela garantit que pour tout angle d'incidence i pour lequel la réfraction est possible sur la première face, le rayon pourra également émerger de la seconde face.
Avec A = 60° et 2 ≈ 2 × 41.81° = 83.62°. Puisque 60° ≤ 83.62°, la condition d'émergence est vérifiée pour le prisme, signifiant qu'il est possible qu'un rayon traverse le prisme et en sorte.
Condition d'Émergence par Rapport à l'Angle d'Incidence i
La condition d'émergence d'un rayon lumineux sur la face de sortie (AC) est que l'angle d'incidence interne r' soit inférieur à l'angle limite (r' ≤ ). Sachant que A = r + r', on a r' = A - r. Par conséquent, il faut A - r ≤ , ou r ≥ A - . De plus, on sait que sin(i) = n sin(r). Pour que r soit réel, on doit avoir sin(r) ≤ 1/n, donc r ≤ . En combinant ces conditions, l'angle d'incidence i doit être compris dans un certain intervalle pour que le rayon puisse émerger.
Marche d'un Rayon en Incidence Normale
Lorsque un rayon lumineux arrive sur la face d'entrée (AB) sous incidence normale (i = 0°), il n'est pas dévié. L'angle de réfraction r est alors de 0° (sin(0) = n sin(0)).
À l'intérieur du prisme, le rayon se propage jusqu'à la face de sortie (AC). L'angle d'incidence interne sur cette face est r'. D'après la relation A = r + r', et comme r = 0°, nous avons r' = A = 60°.
En comparant cet angle r' à l'angle limite calculé précédemment ( ≈ 41.81°), on constate que r' = 60° est supérieur à . Cela signifie que le rayon ne peut pas émerger de la face (AC). Il subira une réflexion totale interne et sera réfléchi à l'intérieur du prisme.
Partie A : Systèmes Centrés et Lentilles Minces
Un système centré est placé dans l'air et est constitué de deux dioptres sphériques, DS1 et DS2. Leurs sommets S1 et S2 sont confondus en un point S. Ces dioptres délimitent un milieu transparent d'indice n. Les centres de courbure des dioptres sont C1 et C2. Pour ce problème, les rayons de courbure sont définis par SC1 = -R et SC2 = R, où R est une valeur positive. L'étude est menée sous l'approximation de Gauss.
Nature des Dioptres Sphériques
La nature d'un dioptre sphérique est déterminée par la position de son centre de courbure par rapport au sommet et le sens de propagation de la lumière.
- Pour le dioptre DS1 : Son rayon de courbure est SC1 = -R. Si la lumière vient de la gauche, C1 est situé à gauche de S. Un dioptre dont le centre de courbure est du côté d'où vient la lumière est un dioptre concave.
- Pour le dioptre DS2 : Son rayon de courbure est SC2 = R. Si la lumière continue sa progression après DS1 vers la droite, C2 est situé à droite de S. Un dioptre dont le centre de courbure est du côté opposé à la lumière incidente est un dioptre convexe.
Relations de Conjugaison et Grandissement Linéaire des Dioptres
Les relations de conjugaison de position (avec l'origine au sommet S) et de grandissement linéaire pour un dioptre sphérique sont :
Pour le Dioptre DS1 (passage de l'air n1=1 au milieu d'indice n)
- Relation de conjugaison : n/SA' - 1/SA = (n - 1)/SC1
- Grandissement linéaire : 1 = (1 SA') / (n SA)
Pour le Dioptre DS2 (passage du milieu d'indice n à l'air n2=1)
- Relation de conjugaison : 1/SA'' - n/SA' = (1 - n)/SC2
- Grandissement linéaire : 2 = (n SA'') / (1 SA')
Note : SA, SA', SA'' représentent les positions des objets et images par rapport au sommet S.
Distances Focales des Dioptres
Les distances focales objet (f) et image (f') pour un dioptre sphérique sont :
Pour le Dioptre DS1 (air vers milieu n)
- Distance focale objet : f1 = SC1 / (1 - n) = -R / (1 - n) = R / (n - 1)
- Distance focale image : f'1 = n * SC1 / (n - 1) = -nR / (n - 1)
Pour le Dioptre DS2 (milieu n vers air)
- Distance focale objet : f2 = n * SC2 / (n - 1) = nR / (n - 1)
- Distance focale image : f'2 = SC2 / (1 - n) = R / (1 - n) = -R / (n - 1)
Relation de Conjugaison du Système Centré et Équivalence à une Lentille Mince
Étant donné que les sommets des dioptres sont confondus en S, ce système est équivalent à une lentille mince. La relation de conjugaison peut être établie en combinant les formules des deux dioptres successifs.
La vergence V d'une lentille mince (épaisseurs négligeables) est donnée par la formule des opticiens :
V = (n - 1) (1/R1 - 1/R2)
Où R1 = SC1 = -R et R2 = SC2 = R. Donc :
V = (n - 1) (1/(-R) - 1/R) = (n - 1) (-1/R - 1/R) = (n - 1) (-2/R) = -2(n - 1)/R
La distance focale image f' de cette lentille mince équivalente L1 est l'inverse de sa vergence :
f' = 1/V = -R / (2(n - 1))
Le grandissement linéaire du système centré est le produit des grandissements linéaires des dioptres successifs : = 1 × 2. Pour une lentille mince, le grandissement est donné par = SA'/SA si l'origine est au foyer objet, ou = FO/FA = F'A'/F'O.
Le centre optique O1 de cette lentille mince est confondu avec le sommet S.
Position et Nature des Foyers Principaux de la Lentille Mince L1
Le centre optique O1 de la lentille mince L1 est situé en S.
La distance focale image est f' = O1F'.
La distance focale objet est f = O1F = -f' (pour une lentille mince dans l'air).
Avec les valeurs numériques n = 1.5 et R = 1 cm :
f' = -1 cm / (2 * (1.5 - 1)) = -1 cm / (2 * 0.5) = -1 cm / 1 = -1 cm.
f = -f' = 1 cm.
Puisque la distance focale image f' est négative, la lentille L1 est une lentille divergente.
Pour une lentille divergente :
- Le foyer image F' est virtuel et se situe à -1 cm du centre optique O1 (donc à gauche de O1).
- Le foyer objet F est réel et se situe à 1 cm du centre optique O1 (donc à droite de O1).
Position des Points Principaux et Nodaux de la Lentille Mince L1
Pour une lentille mince placée dans l'air (ou des milieux d'entrée et de sortie ayant le même indice), les points principaux H1 et H'1 sont confondus avec le centre optique O1. Par conséquent, H1 = H'1 = O1 = S.
De même, les points nodaux N1 et N'1 sont également confondus avec le centre optique O1 (et donc avec S) lorsque les milieux d'entrée et de sortie sont identiques (ici, l'air).
Vergence de la Lentille Mince par la Formule de Gullstrand
La formule de Gullstrand permet de calculer la vergence d'un système optique. Pour un système constitué de deux dioptres dont les sommets S1 et S2 sont confondus (épaisseur négligeable, comme une lentille mince), la vergence V est la somme des vergences des dioptres si l'épaisseur est nulle.
V = V_DS1 + V_DS2
V_DS1 = (n - 1)/SC1 = (1.5 - 1)/(-1 cm) = 0.5 / -1 = -0.5 dioptries/cm ou -50 dioptries.
V_DS2 = (1 - n)/SC2 = (1 - 1.5)/(1 cm) = -0.5 / 1 = -0.5 dioptries/cm ou -50 dioptries.
V = -0.5 - 0.5 = -1 dioptrie/cm ou -100 dioptries.
Ce calcul est en fait la formule de vergence pour une lentille mince où R1 = -R et R2 = R: V = (n-1)(1/(-R) - 1/R) = (n-1)(-2/R) = -2(n-1)/R. En utilisant les valeurs n=1.5 et R=1cm, V = -2(1.5-1)/1 = -2(0.5)/1 = -1 cm^-1. Cela correspond à -100 dioptries.
La vergence V est négative (-1 cm⁻¹ ou -100 dioptries), ce qui confirme que la lentille est divergente.
La distance focale image f' est l'inverse de la vergence : f' = 1/V = 1/(-1 cm⁻¹) = -1 cm. Ce résultat est identique à celui obtenu à la question 4°.
Association de Lentilles (Doublet)
Une lentille L1 (divergente, f'1 = -1 cm) est associée à une autre lentille mince L2 (convergente, de distance focale image '2 = 3 cm). Les centres optiques sont O1 et O2. La distance entre les lentilles est O1O2.
a- Représentation et Construction Géométrique d'un Doublet
Pour représenter un doublet et trouver la position du point principal image H' et du foyer image F', il est nécessaire de connaître la distance de séparation e = O1O2 entre les deux lentilles. Cette information est manquante dans l'énoncé d'origine.
La construction s'effectuerait en traçant des rayons de lumière selon les règles de l'optique géométrique à travers chaque lentille successivement. Pour trouver F' : Un rayon parallèle à l'axe optique incident sur L1, il émerge de L1 en passant par F'1. Ce rayon réfracté sert de rayon incident pour L2. Il est dévié par L2 et coupe l'axe optique en F'. Pour trouver H' : Le prolongement du rayon incident initial (parallèle à l'axe) et le prolongement du rayon final émergent de L2 se coupent pour définir le plan principal image, dont l'intersection avec l'axe est H'.
b- Condition pour un Doublet Afocal
Un doublet est afocal si sa vergence totale est nulle (V = 0), ce qui implique que sa distance focale image équivalente est infinie. Pour un doublet de lentilles minces séparées par une distance e, la vergence est donnée par la formule :
V = V1 + V2 - e V1 V2
Où V1 = 1/f'1 et V2 = 1/'2. Pour que le doublet soit afocal, V = 0 :
1/f'1 + 1/'2 - e / (f'1 '2) = 0
Multipliant par f'1 '2 : '2 + f'1 - e = 0, ce qui signifie e = f'1 + '2.
Cette relation montre que la distance de séparation entre les lentilles doit être égale à la somme algébrique de leurs distances focales images pour que le système soit afocal.
Si la question implique de déterminer '2 pour une séparation e spécifique, cette valeur e doit être connue. Si, comme souvent dans ces contextes, on considère un doublet en contact (e = 0), alors :
0 = f'1 + '2
'2 = -f'1
Puisque f'1 = -1 cm, la valeur de '2 pour que le doublet en contact soit afocal serait :
'2 = -(-1 cm) = 1 cm.
Partie B : Système Catadioptrique
La face de sortie (DS2) du système de la figure 2 est argentée, transformant ainsi le dioptre DS2 en un miroir. Le système est donc catadioptrique (dioptre sphérique + miroir sphérique). Les valeurs n = 1.5 et R = 1 cm sont utilisées.
Position du Sommet et du Centre du Miroir Équivalent
Le système est composé du dioptre DS1 (air vers milieu n) suivi du miroir DS2 (au sommet S). La lumière passe par DS1, se réfléchit sur le miroir DS2, puis repasse par DS1 en sens inverse.
Le sommet du miroir équivalent est confondu avec le sommet commun S du système.
Pour déterminer le centre du miroir équivalent, on cherche l'image du centre de courbure du miroir DS2 (qui est C2) à travers le dioptre DS1.
Objet pour DS1 est C2, avec SC2 = R.
Utilisons la formule de conjugaison du dioptre DS1 (n1=1, n2=n) :
n/SΩ - 1/SC2 = (n - 1)/SC1
n/SΩ - 1/R = (n - 1)/(-R)
n/SΩ = 1/R - (n - 1)/R = (1 - n + 1)/R = (2 - n)/R
SΩ = nR / (2 - n)
Donc :
- Position du sommet : est confondu avec S. Par rapport à C1 (avec SC1 = -R), est à une distance R de C1 (C1S = R).
- Position du centre : est situé à SΩ = nR / (2 - n) par rapport au sommet S.
Calcul du Rayon de Courbure et sa Nature
Le rayon de courbure du miroir équivalent est la distance algébrique du sommet à son centre . Puisque est en S, le rayon de courbure est SΩ.
R_équivalent = SΩ = nR / (2 - n)
Avec les valeurs numériques n = 1.5 et R = 1 cm :
R_équivalent = (1.5 × 1 cm) / (2 - 1.5) = 1.5 cm / 0.5 = 3 cm.
Puisque le rayon de courbure R_équivalent est positif (3 cm), le miroir équivalent est de nature convexe.
Condition pour un Miroir Équivalent Plan
Un miroir équivalent devient plan lorsque son rayon de courbure est infini (R_équivalent = ∞).
Pour que R_équivalent = nR / (2 - n) tende vers l'infini, il faut que le dénominateur soit nul :
2 - n = 0
n = 2
Ainsi, le miroir équivalent deviendrait un miroir plan si l'indice de réfraction n du milieu interne était égal à 2.
FAQ (Foire Aux Questions)
Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'un rayon lumineux traverse un prisme sans subir de réflexion totale interne ?
Pour qu'un rayon lumineux traverse entièrement un prisme, il doit subir une réfraction sur la première face (ce qui est généralement possible si l'angle d'incidence n'est pas trop grand) et une émergence sur la deuxième face. La condition d'émergence sur la deuxième face est que l'angle d'incidence interne r' doit être inférieur ou égal à l'angle limite du matériau du prisme. Globalement, pour que l'émergence soit toujours possible, l'angle au sommet A du prisme doit être inférieur ou égal à deux fois l'angle limite .
Comment détermine-t-on la nature (convergente ou divergente) d'une lentille mince équivalente ?
La nature d'une lentille mince équivalente est déterminée par le signe de sa distance focale image f' ou de sa vergence V. Si f' est positive (ou V est positive), la lentille est convergente. Si f' est négative (ou V est négative), la lentille est divergente. Dans le cas de ce problème, la lentille équivalente avait une distance focale image f' = -1 cm et une vergence V = -100 dioptries, indiquant qu'elle est divergente.
Qu'est-ce qu'un système afocal et comment réalise-t-on un doublet afocal ?
Un système afocal est un système optique dont la distance focale image est infinie, ce qui signifie qu'un faisceau de rayons parallèles à l'entrée ressort également parallèle (mais généralement avec un diamètre différent) à la sortie. Pour un doublet constitué de deux lentilles minces séparées par une distance e, il est afocal si la distance entre les lentilles est égale à la somme algébrique de leurs distances focales images (e = f'1 + f'2). Dans un tel cas, le foyer image de la première lentille coïncide avec le foyer objet de la seconde lentille.