Optique : Cours dioptre et lame à faces parallèles
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4.1 Dioptre Plan
Un dioptre plan est constitué par l’ensemble de deux milieux transparents, inégalement réfractants, séparés par une surface plane.
4.1.1 Stigmatisme d’un Dioptre Plan
Considérons un point objet A1 dans le milieu (1) d’indice n1. Le système étant de révolution autour de la normale A1S, le rayon A1S traverse la surface sans déviation. Si une image de A1 existe, elle est certainement sur A1S.
Soit un rayon A1I quelconque arrivant sur le dioptre avec un angle d’incidence i1. Le rayon réfracté IT correspondant coupe A1S en A2 tel que :
SI = SA1 tan(i1) = SA2 tan(i2)
D’où : SA2 = SA1.
Lorsque i1 varie, sin(i1) / sin(i2) reste constant mais tan(i1) / tan(i2) = n2 / n1 cos(i2) cos(i1) tan(i1) tan(i2) n’est pas constant : les rayons réfractés ne coupent pas SA1 au même point.
Le dioptre plan n’est pas stigmatique pour des points pris à distance finie en dehors de son plan.
Cas Particulier : Le Point Objet à l’Infini
Le faisceau incident est alors parallèle (ou cylindrique) et le faisceau réfracté l’est aussi : l’image A2 est rejetée à l’infini et il y a stigmatisme.
4.1.2 Stigmatisme Approché
Les conditions de stigmatisme approché sont réalisées pour les rayons peu inclinés sur l’axe et pour de faibles angles d’incidence.
Les deux conditions se confondent dans le cas du dioptre plan puisque l’axe (A1S) est parallèle aux normales au dioptre aux points d’incidence.
Si l’angle i1 est faible, il en est généralement de même pour i2. On peut alors confondre les tangentes avec les angles et par conséquent avec les sinus. On peut donc écrire :
SA2 ≈ SA1 sin(i1) / sin(i2) = SA1 n2 / n1
Cette relation peut encore s’écrire : SA1 / n1 = SA2 / n2 ou SA2 / SA1 = n2 / n1.
À condition que A1 n’envoie que des rayons peu écartés de l’axe A1S, les rayons réfractés concourent en A2. On a donc stigmatisme approché pour le couple de points A1 et A2.
La relation obtenue, appelée relation de conjugaison, montre que SA1 et SA2 sont toujours du même signe et, par conséquent, que A1 et A2 sont dans le même milieu et toujours de natures opposées.
La distance entre l’objet et l’image est donnée par : A1A2 = SA2 − SA1 = SA1 (n2 / n1 − 1).
Il y a rapprochement apparent de A1 vers la surface si n2 < n1 et éloignement apparent si n2 > n1.
4.2 Lames à Faces Parallèles
Une lame à faces parallèles est constituée par un milieu transparent et homogène limité par deux surfaces planes et parallèles. Chacune de ses faces est placée soit dans le même milieu, soit dans des milieux différents.
4.2.1 Marche d’un Rayon Lumineux
Dans le cas général où les milieux extrêmes ont des indices différents (n1 et n3), un rayon incident SI arrivant sur la lame sous un angle d’incidence i et se réfractant une première fois sur la face d’entrée puis une deuxième fois sur la face de sortie, en ressort sous un angle i′. Les angles i et i′ sont tels que :
n1 sin(i) = n3 sin(i′)
Les angles de réfraction et d’incidence à l’intérieur de la lame sont égaux.
Le cas le plus intéressant est celui où les milieux extrêmes sont les mêmes (n1 ≡ n3 = n′). On pose n2 = n′ n, où n2 représente l’indice absolu de la lame et n son indice relatif par rapport au milieu extérieur. Dans ce cas, l’indice de ce dernier doit être considéré comme égal à 1.
Le rayon émergent est alors parallèle au rayon incident : i′ ≡ i. Le rayon SI subit un déplacement latéral IH : IH = II′ sin(i − r). Si e est l’épaisseur de la lame, on aura : II′ = e cos(r) et IH = e sin(i − r) / cos(r).
4.2.2 Stigmatisme d’une Lame à Faces Parallèles
Une lame à faces parallèles, constituée de deux dioptres plans, ne réalise les conditions de stigmatisme rigoureux que pour des points particuliers : les points objets A à l’infini.
On se placera donc dans les conditions de stigmatisme approché, c’est-à-dire de rayons paraxiaux.
Le premier dioptre donne d’un point objet A1 une image A′, cette dernière jouant le rôle d’objet pour le second dioptre, qui en donne l’image finale A2. Ces trois points sont sur le rayon perpendiculaire à la lame qui rencontre respectivement ses deux faces en S1 et S2.
La relation de conjugaison des dioptres s’écrit successivement :
— Pour le premier dioptre : A1S1 = A′S1 / n
— Pour le deuxième dioptre : A2S2 = A′S2 / n
La distance entre l’objet et l’image est donc donnée par : A1A2 = A1S1 + S1S2 + S2A2 = A′S1 / n + S1S2 + A′S2 / n.
Soit : A1A2 = S1S2 (1 − 1 / n).
La position de l’image se déduit de celle de l’objet par une translation normale aux faces, de grandeur constante, indépendante de la position de l’objet : A1A2 = e (1 − 1 / n).
Le déplacement apparent de l’objet a lieu dans le sens de la lumière lorsque n > 1.
Application : Association de Deux Lames à Faces Parallèles
Soient deux lames à faces parallèles de même épaisseur e et d’indices respectifs n1 et n2, parallèles entre elles, plongées dans l’air et séparées par des couches d’épaisseur a. Soit A′ l’image donnée d’un point A par ce système optique dans les conditions de Gauss.
1. Déterminer AA′.
2. Montrer que ce système est équivalent à celui obtenu en accolant les deux lames. Trouver l’épaisseur e′ et l’indice n′ de la lame équivalente.
4.3 Dioptre Sphérique
Un dioptre sphérique est une portion de surface sphérique réfringente séparant deux milieux homogènes et transparents d’indices différents. Il est caractérisé par son axe δ, son centre C, son rayon de courbure ρ, son sommet S et les indices n1 et n2 des deux milieux qu’il sépare.
4.3.1 Invariant Fondamental du Dioptre
Soit un rayon lumineux incident A1I issu d’un point objet A1 situé sur l’axe. Selon que n1 est supérieur ou inférieur à n2, il lui correspond un rayon réfracté IT qui se rapproche ou s’éloigne de la normale IC, mais dont le support coupe toujours l’axe en un point A2.
Dans tous les cas, les triangles C I A1 et C I A2 permettent d’écrire :
C A1 sin(i1) = I A1 sin(ω)
C A2 sin(i2) = I A2 sin(ω)
Soit : C A1 / I A1 sin(i1) = C A2 / I A2 sin(i2).
Comme n1 sin(i1) = n2 sin(i2), on aura :
n1 C A1 / I A1 = n2 C A2 / I A2
Ce qui montre que la quantité n1 C A1 / I A1 est invariante dans la traversée du dioptre sphérique. C’est un invariant fondamental important dans l’étude des dioptres sphériques.
4.3.2 Stigmatisme du Dioptre Sphérique
Stigmatisme rigoureux : Comme pour toutes les surfaces réfringentes ou réfléchissantes, il y a stigmatisme rigoureux pour les points de la surface, mais ce cas est sans intérêt car l’image est confondue avec l’objet. Pour les surfaces sphériques, on a également stigmatisme rigoureux lorsque A1 est confondu avec le centre C : les rayons issus de C traversent le dioptre sans déviation et le point C est sa propre image.
Mis à part ces cas, le stigmatisme rigoureux n’est réalisé que si la distance C A2 est indépendante de l’angle ω.
Comme on a C A2 = n1 / n2 I A2 / I A1 C A1, pour que C A2 soit constant pour une position donnée A1 de l’objet, il faut que le rapport I A2 / I A1 le soit également.
Dans le cas où le point d’incidence I se déplace sur une sphère de diamètre S S′, les deux points A1 et A2, tels que le rapport I A2 / I A1 = k (constante), existent : ils appartiennent à la droite S S′ et vérifient la relation : S A1 / S A2 = − S′ A1 / S′ A2 = k = I A1 / I A2.
Les points A1 et A2, qui sont conjugués par rapport à la sphère et qui réalisent le stigmatisme rigoureux, sont uniques. Ils sont appelés points de Weierstrass.
4.3.3 Relations de Conjugaison
Origine au centre C : En injectant le centre C dans la relation (4), on obtient :
n1 C A1 / (S C + C A1) = n2 C A2 / (S C + C A2).
Soit : n1 C A1 C A2 − n2 C A2 C A1 = n1 − n2 S C.
Origine au sommet S : Injectons le sommet S dans la relation (4) :
n1 S A1 / (S A1 − S C) = n2 S A2 / (S A2 − S C).
Soit : n1 S A1 − n2 S A2 = n1 − n2 S C.
Remarque
— Lorsque le rayon de courbure S C est infini, on retrouve la formule du dioptre plan : S A2 / S A1 = n2 / n1.
— En regroupant différemment les termes de la relation, on obtient : n1 (1 / S C − 1 / S A1) = n2 (1 / S C − 1 / S A2).
L’expression n (1 / S C − 1 / S A) est aussi une forme invariante du dioptre sphérique.