Optique : Cours prisme et lentilles
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Formules du prisme
Le prisme est un milieu réfringent, transparent, homogène et isotrope limité par deux dioptres plans qui se coupent suivant une droite appelée arête du prisme. Il est caractérisé par l'angle A du dièdre formé par les deux plans et par son indice de réfraction n.
En général, le prisme est plongé dans l'air. Il est utilisé soit pour changer le sens ou la direction de propagation d'un rayon lumineux à la suite de réfractions ou de réflexions, soit pour analyser une lumière polychromatique grâce à ses propriétés dispersives.
Pour tracer la marche d'un rayon lumineux à travers le prisme, on se place en général dans un plan de section principale perpendiculaire à l'arête du prisme. Ce plan est considéré comme le plan d'incidence et tous les rayons provenant d'un rayon incident et traversant le prisme sont contenus dans ce plan. Un rayon incident SI se réfracte en I en restant dans ce plan ; s'il rencontre la deuxième face en I’, il émerge dans le même plan.
On se place dans les conditions où le rayon incident émerge du prisme.
Convention de signe :
Les angles étant toujours orientés de la normale vers le rayon, on convient de noter positivement :
- Les angles i et r à l'entrée lorsqu'ils sont orientés dans le sens trigonométrique.
- Les angles à la sortie, i’ et r’ ainsi que la déviation D, lorsqu'ils sont orientés dans le sens inverse.
Formules du prisme :
À l'entrée et à la sortie du prisme, les lois de Descartes donnent :
sin(i) = n sin(r) (1)
sin(i’) = n sin(r’) (2)
En considérant les propriétés géométriques du prisme, nous obtenons les relations suivantes :
A = r + r’ (3)
D = (i + i’) - A (4)
Condition d'émergence
L'indice du prisme n est toujours supérieur à 1. Il existe donc toujours un rayon réfracté à l'intérieur du prisme, quel que soit l'angle d'incidence i. Tout rayon incident pénètre donc dans le prisme.
Par contre, sur la deuxième face, pour que le rayon émerge du prisme, il faut que l'angle r’ soit inférieur à l'angle limite λ, donnée par la formule :
λ = arcsin(1/n)
Étude de la déviation du prisme
La déviation D est une fonction de trois variables indépendantes : l'indice n, l'angle A du prisme et l'angle d'incidence i. Pour en étudier les variations, on examine successivement l'influence de chacun de ces paramètres en maintenant les deux autres constants.
Variation de la déviation D avec l'angle A du prisme :
En maintenant n et i constants, la déviation D est une fonction croissante de A. Cela signifie que si l'angle du prisme augmente, la déviation du rayon lumineux augmente également. De plus, si A est nul, D est nul ; la déviation est alors toujours positive et a lieu par conséquent du côté de la base du prisme. Cette propriété peut être vérifiée expérimentalement en faisant varier l'angle A d'un prisme à liquide, observant que le faisceau émergent se déplace vers la base du prisme lorsque A augmente.
Variation de la déviation D avec l'indice n :
En gardant A et i constants, la déviation croît avec l'indice du prisme. Plus l'indice de réfraction du matériau du prisme est élevé, plus la déviation du rayon lumineux sera importante. Cette propriété est mise en évidence lorsqu'on utilise un polyprisme, où des faisceaux lumineux traversant des prismes de même géométrie mais d'indices différents subissent des déviations variées, le faisceau le plus dévié correspondant au prisme de plus grand indice.
Minimum de déviation
La variation de la déviation D avec l'angle d'incidence i présente un minimum. Ce minimum de déviation (Dm) est atteint lorsque le trajet du rayon lumineux à l'intérieur du prisme est symétrique par rapport à la bissectrice de l'angle A du prisme. Dans ces conditions :
- Les angles d'incidence et d'émergence sont égaux : i = i' = im
- Les angles de réfraction à l'intérieur du prisme sont égaux : r = r' = rm
À l'état de minimum de déviation, les formules du prisme se simplifient en :
rm = A / 2
Dm = 2im - A
Et à partir de la loi de Snell-Descartes :
sin(im) = n sin(A/2)
Mesure des indices
La propriété du minimum de déviation est cruciale pour déterminer l'indice de réfraction d'un matériau. À partir des relations précédentes, l'indice n du prisme peut être calculé par la formule :
n = sin((A + Dm)/2) / sin(A/2)
Pour un prisme d'angle A donné, la mesure de l'angle de minimum de déviation Dm permet de déterminer l'indice n du prisme avec précision.
Dispersion du prisme
La dispersion du prisme est la capacité du prisme à séparer les différentes couleurs d'une lumière polychromatique. Elle est caractérisée par la variation de la déviation avec la longueur d'onde de la lumière, ou plus précisément par :
δ = dD/dλ
où dD/dλ représente la dérivée de la déviation par rapport à la longueur d'onde. Cette dispersion est liée à la variation de l'indice de réfraction du matériau avec la longueur d'onde, et se calcule par :
δ = (dD/dn) . (dn/dλ)
Lentilles
Une lentille est un milieu transparent, homogène, d'indice n, limité par deux dioptres dont l'un au moins est sphérique, l'autre pouvant être, à la limite, plan. C'est un système centré dont l'axe est la droite qui joint les centres des deux dioptres respectifs.
L'épaisseur d'une lentille est la distance S1S2 où S1 et S2 sont les sommets des deux dioptres. Une lentille est dite mince si son épaisseur est faible devant les rayons de courbure de ses faces et devant leur différence. Dans le cas contraire, elle est dite épaisse.
Il existe six formes possibles de lentilles :
- Lentilles biconvexes
- Lentilles biconcaves
- Lentilles plan-convexes
- Lentilles plan-concaves
- Ménisques à bords minces
- Ménisques à bords épais
Une lentille est caractérisée par :
- Les sommets S1 et S2 des dioptres, dans l'ordre où la lumière les rencontre.
- L'axe optique (δ), orienté dans le sens de propagation de la lumière.
- Les centres C1 et C2 des dioptres, qui sont portés par l'axe optique.
- Les rayons de courbure R1 = S1C1 et R2 = S2C2 des dioptres, dont l'un est infini si l'un des dioptres est plan.
- L'indice n de la lentille et ceux des milieux extrêmes.
Centre optique
Le centre optique S est un point particulier de l'axe optique, appartenant au milieu de la lentille. Un rayon lumineux passant par ce point émerge de la lentille parallèlement au rayon incident, subissant ainsi une simple translation latérale (qui est négligeable pour les lentilles minces) sans déviation angulaire.
Dans l'approximation des lentilles minces, le centre optique S est confondu avec les sommets S1 et S2. Par conséquent, un rayon incident passant par S ne subit ni déviation ni déplacement latéral à la traversée de la lentille. Les lentilles minces sont généralement représentées par une droite perpendiculaire à l'axe optique en S. Des flèches opposées aux extrémités de cette droite permettent de distinguer les lentilles à bords minces (convergentes) et à bords épais (divergentes).
Marche d'un rayon lumineux
Lorsqu'un rayon lumineux incident A1I1 frappe le premier dioptre d'une lentille, il est réfracté pour former un rayon I1I2A'' à l'intérieur du milieu de la lentille. Ce rayon intermédiaire A'' est ensuite réfracté par le deuxième dioptre, donnant naissance au rayon final I2A2 dans l'air. A'' est l'image intermédiaire de A1, et A2 est l'image définitive de A1 formée par la lentille.
Pour les lentilles minces, où S1, S2 et S sont confondus, la relation entre les positions de l'objet et de l'image (formule de conjugaison avec origine au centre optique S) est simplifiée et s'écrit :
1/SA1 - 1/SA2 = (n-1)(1/R2 - 1/R1) (6)
Remarque :
Dans le cas où l'un des dioptres est plan, il suffit de remplacer dans la relation (6) R1 ou R2 par l'infini.
Foyers, distance focale et vergence
Comme tout système centré à faces sphériques, une lentille mince possède deux foyers principaux et deux plans focaux perpendiculaires à l'axe optique. Ceux-ci coupent l'axe respectivement au foyer objet F1 et au foyer image F2.
Position des foyers :
- Foyer image F2 : C'est le point où convergent les rayons incidents parallèles à l'axe optique après avoir traversé la lentille. En faisant tendre SA1 vers l'infini dans la formule de conjugaison (6), on obtient :
-1/SF2 = (n-1)(1/R2 - 1/R1)
SF2 = f' = 1 / [(n-1)(1/R1 - 1/R2)]
f' est appelée distance focale image de la lentille. - Foyer objet F1 : C'est le point source dont les rayons incidents émergent de la lentille en formant un faisceau parallèle à l'axe optique. En faisant tendre SA2 vers l'infini dans la formule (6), on obtient :
1/SF1 = (n-1)(1/R2 - 1/R1)
SF1 = f = -1 / [(n-1)(1/R1 - 1/R2)]
Nous remarquons que SF1 et SF2 sont opposés : SF2 = -SF1 = f'.
Les foyers principaux sont donc symétriques par rapport au centre optique S. Cette symétrie montre qu'il n'y a, du point de vue de la formation des images, que deux sortes de lentilles minces :
- Les lentilles convergentes (ou lentilles minces à bords minces) : Le foyer objet F1 est dans le milieu objet et le foyer image F2 est dans le milieu image. Les deux foyers sont réels.
- Les lentilles divergentes (ou lentilles minces à bords épais) : Les deux foyers sont virtuels.
Vergence d'une lentille :
La vergence d'une lentille est la quantité V = 1/SF2 = 1/f', inverse de la distance focale image. Elle est positive si la lentille est convergente et négative si la lentille est divergente. La vergence est exprimée en dioptries si la distance focale est mesurée en mètres. Elle est donnée par la formule :
V = 1/f' = (n-1)(1/R1 - 1/R2)
Relation de conjugaison
Relation de conjugaison avec origine au centre optique S :
La relation de conjugaison pour les lentilles minces, avec origine au centre optique S, s'écrit :
1/SA2 - 1/SA1 = (n-1)(1/R1 - 1/R2)
En utilisant l'expression de la vergence, cette relation s'écrit également :
1/SA2 - 1/SA1 = 1/SF2 = -1/SF1 (7)
Relation de conjugaison avec origine aux foyers (Relation de Newton) :
En exprimant les positions par rapport aux foyers, on obtient la relation de Newton :
F1A1 . F2A2 = F1S . F2S = SF1 . SF2 = f . f' = -f² = -f'² (8)
Grandissement linéaire transversal
Le grandissement linéaire transversal (γ) permet de déterminer la taille et l'orientation de l'image par rapport à l'objet. Soit un objet A1B1 perpendiculaire à l'axe optique, la lentille en donne une image A2B2.
Origine au centre optique S :
Que ce soit par une méthode analytique (en utilisant les formules de conjugaison pour chaque dioptre) ou graphique (en utilisant les triangles semblables formés par l'objet, l'image et le centre optique S), le grandissement s'exprime comme :
γ = A2B2 / A1B1 = SA2 / SA1 (9)
Si les milieux extrêmes sont différents, la formule devient :
γ = A2B2 / A1B1 = (n1/n2) . (SA2/SA1)
Origine aux foyers :
En utilisant les triangles semblables formés par les foyers, l'objet et l'image, le grandissement peut également s'écrire :
γ = A2B2 / A1B1 = F1S / F1A1 = F2A2 / F2S (10)
Association de lentilles
L'association de deux lentilles L1 et L2 de centres optiques S1 et S2, de distances focales f'1 et f'2, dont les axes optiques sont confondus, réalise un système appelé doublet. Il existe différentes configurations de doublets.
Doublet accolé :
Dans un doublet accolé, les centres optiques S1 et S2 des deux lentilles L1 et L2 sont considérés comme confondus en un point S. La lentille L1 donne d'un objet A1B1 une image intermédiaire A'B', dont la lentille L2 forme l'image définitive A2B2.
Les relations de conjugaison pour les lentilles individuelles peuvent être combinées pour trouver les relations du doublet équivalent :
1/SA2 - 1/SA1 = 1/f'1 + 1/f'2 = 1/f'
Et le grandissement est :
γ = A2B2 / A1B1 = SA2 / SA1
Ces relations sont celles d'une lentille unique de distance focale f' telle que :
1/f' = 1/f'1 + 1/f'2
En introduisant les vergences V1 et V2 de chaque lentille et la vergence V de la lentille équivalente, on a :
V = V1 + V2
Doublet non accolé :
Dans un doublet non accolé, les lentilles sont séparées par une distance e = S1S2. La distance entre le foyer image F'1 de la première lentille et le foyer objet F2 de la seconde est d = F'1F2 = -f'1 + e - f'2.
Le doublet est équivalent à une lentille unique L de distance focale f' telle que :
1/f' = 1/f'1 + 1/f'2 - e / (f'1 . f'2)
Cette formule générale inclut le cas du doublet accolé lorsque e = 0.
Doublet afocal :
Un doublet afocal est un cas particulier où les foyers F'1 (image de la première lentille) et F2 (objet de la seconde lentille) sont confondus, ce qui implique d = 0. Dans un tel système, tout rayon incident parallèle à l'axe émerge du doublet parallèlement à l'axe.
Le grandissement linéaire γ d'un doublet afocal est indépendant de la position de l'objet et est donné par :
γ = -f'2 / f'1
De plus, il est possible d'exprimer ce grandissement comme le produit des grandissements des lentilles individuelles ou en fonction des positions des foyers étendues. Un tel système est fréquemment utilisé pour l'observation d'objets éloignés, comme dans les lunettes astronomiques.
Foire aux questions
Qu'est-ce qu'un prisme et à quoi sert-il ?
Un prisme est un corps transparent, homogène et isotrope délimité par deux faces planes non parallèles. Il est principalement utilisé en optique pour dévier la lumière (changer sa direction) et pour disperser la lumière polychromatique (la séparer en ses couleurs composantes, comme un arc-en-ciel), grâce à la variation de l'indice de réfraction du matériau avec la longueur d'onde.
Quelles sont les principales différences entre une lentille convergente et une lentille divergente ?
Une lentille convergente (à bords minces) concentre les rayons lumineux parallèles en un point appelé foyer image réel, et sa vergence est positive. Elle peut former des images réelles ou virtuelles, droites ou inversées. Une lentille divergente (à bords épais), au contraire, disperse les rayons lumineux parallèles de sorte qu'ils semblent provenir d'un foyer image virtuel, et sa vergence est négative. Elle ne forme que des images virtuelles et droites, plus petites que l'objet.
Qu'est-ce que le minimum de déviation pour un prisme et comment est-il utilisé ?
Le minimum de déviation est l'angle de déviation le plus faible que subit un rayon lumineux lorsqu'il traverse un prisme. Il se produit lorsque le rayon traverse le prisme symétriquement, c'est-à-dire que l'angle d'incidence est égal à l'angle d'émergence. Cette condition est cruciale car elle permet de déterminer avec précision l'indice de réfraction du matériau du prisme en mesurant l'angle du prisme et l'angle de déviation minimale.