Optique : Cours miroirs
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Un miroir est une surface capable de réfléchir presque en totalité la lumière incidente. On obtient des miroirs de bonne qualité en taillant une surface de verre à la forme souhaitée (plane, sphérique, paraboloïdique, ...), et en déposant sur cette surface une pellicule métallique soit par voie chimique, soit par évaporation sous vide. L’argent est le métal idéal pour la réalisation de miroirs, car il possède un pouvoir réflecteur élevé.
Miroir plan
Un miroir plan est une surface capable de réfléchir presque en totalité la lumière incidente. On obtient des miroirs de bonne qualité en taillant une surface de verre à la forme souhaitée (plane, sphérique, paraboloïdique, ...) et en déposant sur cette surface une pellicule métallique soit par voie chimique, soit par évaporation sous vide. L’argent est le métal idéal pour la réalisation de miroirs, car il possède un pouvoir réflecteur élevé.
Stigmatisme d’un miroir plan
Le miroir plan est le seul système réalisant le stigmatisme rigoureux pour tout point de l’espace. L’image A' d’un point A est le symétrique de A par rapport à son plan. L’objet A et l’image A' sont toujours de natures différentes.
Champ d’un miroir plan
Le champ d’un miroir plan désigne la région de l’espace que l’on peut voir à travers le miroir à partir d’une position donnée O de l’œil. Il correspond à l’ensemble des points A susceptibles de donner un rayon réfléchi passant par O.
Inversement, le champ d’un miroir plan est la région de l’espace que O éclairerait s’il était une source lumineuse.
Le champ d’un miroir plan est donné par la partie réelle du cône de sommet O', image de O donnée par le miroir, et de génératrices s’appuyant sur les bords du miroir.
Déplacement d’une image par déplacement d’un miroir plan
Translation
Déplaçons un miroir M de la position M1 à la position M2 suivant une direction normale à sa surface.
Les images A'1 et A'2 d’un objet A sont situées sur la même normale au miroir à des positions telles que : H1A'1 = AH1 et H2A'2 = AH2
Soit : A'1A'2 = A'1H1 + H1H2 + H2A'2
A'1A'2 = H1A + H1H2 + AH2
D’où : A'1A'2 = 2H1H2 = 2d
L’image se déplace dans le même sens que le miroir et d’une longueur double.
Rotation
Tournons le miroir M autour d’un axe, passant par O et appartenant à son plan, d’un angle α de la position M1 à la position M2.
Les images A'1 et A'2 d’un objet A sont symétriques de A par rapport à M1 et M2. Les points A'1, A'2 et A sont sur un cercle de centre O et de rayon OA.
L’angle inscrit (A'1AA'2) étant égal à α, l’angle au centre (A'1OA'2) vaut 2α.
Quand un miroir tourne d’un angle α autour d’un axe, l’image tourne autour de cet axe et dans le même sens d’un angle double 2α.
Il en est de même des rayons réfléchis correspondant à un rayon incident quelconque.
Exemple : Mesure des petites rotations par la méthode de Poggendorff
Considérons, par exemple, le cadre mobile d’un galvanomètre portant un petit miroir plan M. Le cadre est susceptible de tourner autour d’un axe O en effectuant des rotations de faibles amplitudes. Le miroir M, dans la position M1, donne de la division S d’une règle graduée R une image S' que l’on regarde à travers un viseur. Si M1 tourne d’un petit angle α et vient en M2, le rayon réfléchi dans la direction OSV provient de l’image T' de la division T, symétrique de T par rapport à M2.
On connaît : OS = D et on peut mesurer TS = d.
Il est donc possible de connaître tan(2α) = d/D.
On en déduit donc la valeur de α pour des petites rotations : α = d/(2D). Pour D = 1 m, si l’on mesure d à 0,2 mm près, α est déterminé avec une incertitude d’environ 20.
Miroirs sphériques
Un miroir sphérique est un miroir dont la surface réfléchissante est une portion de sphère.
Éléments caractéristiques d'un miroir sphérique :
- C : centre du miroir (centre de courbure de la surface réfléchissante)
- S : sommet (point de symétrie de la calotte sphérique)
- R : rayon de la sphère
- r : rayon du cercle de base
- 2r : diamètre d’ouverture
- 2α : angle d’ouverture (angle sous lequel on voit le miroir depuis C)
- Axe optique : axe de symétrie de la calotte sphérique (passe par le centre C et le sommet S).
Il y a deux types de miroirs sphériques :
- Miroir concave : c’est un miroir creux. Le centre est dans le milieu de propagation de la lumière.
- Miroir convexe : c’est un miroir bombé. Le centre n’est pas dans le milieu de propagation de la lumière.
Stigmatisme du miroir sphérique
Conditions de stigmatisme
Considérons un rayon lumineux issu d’un point objet A1 sur l’axe principal ; il se réfléchit en I sur le miroir et coupe l’axe en A2 qui, s’il y a stigmatisme, serait l’image de A1.
On note ω l’angle que fait la normale en I au miroir et l’axe de celui-ci.
Appliquons la loi des sinus dans les triangles CA1I et CA2I :
CA1/sin(i) = IA1/sin(π−ω) = IA1/sin(ω) = CI/sin(α)
CA2/sin(i) = IA2/sin(ω) = CI/sin(α')
avec : ω = α−i ou α = ω+i et α' = ω−i
En écrivant les relations précédentes en valeur algébrique, on obtient les deux relations :
sin(i)/CA1 = sin(α)/CI
sin(−i)/CA2 = sin(α')/CI ou sin(i)/CA2 = −sin(α')/CI
Effectuons la somme membre à membre de ces deux relations :
sin(i)/CA1 + sin(i)/CA2 = sin(α)/CI
Soit : sin(i) (1/CA1 + 1/CA2) = (1/CI) (sin(ω+i) − sin(ω−i))
sin(i) (1/CA1 + 1/CA2) = (1/CI) 2sin(i)cos(ω)
Ou encore : 1/CA1 + 1/CA2 = 2cos(ω)/CS (1)
Posons : CA1 = z, CA2 = z', CI = CS = ρ
On obtient alors : z' = ρz / (2z cos(ω) − ρ) (2)
Pour une valeur donnée de z, z' dépend de ω : la position de A2, image de A, dépend donc de la position du point d’incidence I.
Stigmatisme rigoureux
- Pour z = 0, on a z' = 0 : on a donc stigmatisme rigoureux lorsque A1 est en C.
- Si le point objet A1 est sur le miroir, CA1 et CI sont confondus, donc z = ρ, ω = α et i = 0, ce qui entraîne α' = ω = α, soit, d’après la loi des sinus, CA1 = CA2 et le point A2 est confondu avec le point A1. On retrouve donc les deux cas de stigmatisme rigoureux.
Stigmatisme approché
- Si A1 est voisin du centre C, alors z = ε (avec ε petit devant ρ) et dans l’équation (2), 2εcos(ω) est négligeable devant ρ quel que soit ω : un miroir sphérique est donc approximativement stigmatique pour les points voisins du centre C et cela quelle que soit l’inclinaison des rayons sur l’axe.
- Le stigmatisme approché est donc réalisé lorsqu’on se place au voisinage des conditions de stigmatisme rigoureux.
- Si ω est petit, cos(ω) peut être considéré comme constant et égal à 1 et à chaque valeur de z correspond une valeur de z' : z' = ρz / (2z − ρ).
- Un miroir sphérique est donc approximativement stigmatique pour des rayons paraxiaux, c’est-à-dire dans les conditions de l’approximation de Gauss.
Par la suite, pour indiquer que seule la portion voisine de l’axe d’un miroir sphérique est utilisée dans les conditions de stigmatisme approché, nous représenterons le miroir par une partie rectiligne perpendiculaire à l’axe optique.
Relations de conjugaison
Ces formules sont constituées, d’une part, des relations entre les positions de l’objet et de l’image et, d’autre part, des relations entre les valeurs algébriques des dimensions de l’objet et de l’image.
Relation entre les positions de l’objet et de l’image
Origine au centre :
Dans les conditions de l’approximation de Gauss, ω petit et cos(ω) ≈ 1, la relation (1) s’écrit : 1/CA1 + 1/CA2 = 2/CS (3)
Origine au sommet :
Introduisons dans le premier membre de la relation (3) le sommet S : 1/(CS+SA2) + 1/(CS+SA1) = 2/CS
Soit : ((CS+SA1) + (CS+SA2))CS = 2(CS+SA1)(CS+SA2)
Développons et simplifions cette expression, il vient : SA1.CS + CS.SA2 = 2SA1.SA2
Divisons les deux membres par SA1.SA2.CS. On obtient : 1/SA1 + 1/SA2 = 2/SC (4)
Cette relation est connue sous le nom de Formule de Descartes.
Foyers, distance focale et vergence
Position des foyers
D’après la définition du foyer image F2, la position de celui-ci dans le cas d’un miroir sphérique est obtenue en écrivant SA → ∞, soit 1/SA1 → 0.
On aura donc : SF2 = SC/2. Le foyer image F2 d’un miroir sphérique est donc situé au milieu de SC.
De la même manière, on trouve la position du foyer objet F1 en écrivant que SA2 → ∞ ou 1/SA2 → 0.
Soit : SF1 = SC/2. Le foyer objet F1 d’un miroir sphérique est donc également situé au milieu de SC.
Les foyers objet et image d’un miroir sphérique sont confondus en F et situés au milieu de SC.
Distance focale et vergence
La distance focale f' est donnée par la distance SF2. On a : f' = SF2 = SC/2 = R/2.
La vergence est définie par : V = n/SF2 où n est l’indice du milieu dans lequel se trouve le miroir.
La vergence d’un miroir sphérique est donc : V = n/SF2 = n/f' = 2n/R. La vergence s’exprime en dioptrie (m⁻¹).
Dans le cas où le miroir est placé dans l’air (n=1), on a : V = 1/SF2 = 1/f' = 2/R.
La vergence est une grandeur algébrique. Le miroir est dit convergent lorsqu’elle est négative, et divergent si elle est positive.
Relation de conjugaison avec origine au foyer F (Formule de Newton)
Remplaçons dans la relation (4) CS par 2SF et introduisons F dans le premier membre de cette relation ; il vient : 1/(SF+FA2) + 1/(SF+FA1) = 1/SF
Soit : ((SF+FA1) + (SF+FA2))SF = (SF+FA1).(SF+FA2)
Après développement et simplification, on obtient : FA1.FA2 = SF2 = FS2 (5).
Cette relation est la Formule de Newton.
Construction de l’image d’un petit objet perpendiculaire à l’axe
Pour effectuer cette construction, nous allons tirer profit des propriétés des foyers, du centre C et du sommet S et utiliser des rayons particuliers.
Rayons particuliers :
- Tout rayon incident passant par le centre C, se réfléchit sur lui-même.
- Tout rayon incident passant par le foyer objet F, se réfléchit parallèlement à l’axe.
- Tout rayon incident parallèle à l’axe, se réfléchit en passant par le foyer image F2.
- Tout rayon incident en S, se réfléchit symétriquement par rapport à l’axe optique.
Quelques constructions :
L’image A2B2 est réelle mais de sens contraire à l’objet (image renversée).
L’image A2B2 est virtuelle et de même sens que l’objet (image droite).
Généralisation :
Considérons un objet A1B1, de hauteur constante, placé dans différentes positions (de 1 à 6).
Le rayon BI parallèle à l’axe (le même pour toutes les positions de l’objet), se réfléchit suivant la direction fixe IF qui est donc le lieu des images B2 de B1.
Pour chaque position de B1, il suffit de tracer le rayon B1C et l’intersection de ce rayon avec la droite IF correspond à B2.
Observations générales :
- Quel que soit le type de miroir, l’objet et l’image se déplacent en sens inverse avec une discontinuité au passage de l’objet par le foyer et se rencontrent au centre C et au sommet S.
- Un miroir concave ne donne jamais une image virtuelle d’un objet virtuel.
- Un miroir convexe ne donne jamais une image réelle d’un objet réel.
- Quel que soit le type de miroir, l’image est renversée quand elle est de même nature que l’objet et de même sens que l’objet quand elle est de nature différente.
Grandissement linéaire transversal
Le grandissement linéaire transversal γ représente le rapport des valeurs algébriques de la dimension de l’image à celle de l’objet.
Origine au centre :
La similitude des triangles ABC et A2B2C donne en grandeur et en signe γ = A2B2/A1B1 = CA2/CA1. Si A1 et A2 sont de part et d’autre de C, alors l’image est renversée.
Origine au sommet :
Si l’on considère les triangles A1B1S et A2B2S, on a : γ = A2B2/A1B1 = −SA2/SA1.
Origine au foyer :
Les triangles SIF et A2B2F étant semblables, on peut écrire : A2B2/SI = A2B2/A1B1 = FA2/FS.
D’où γ = A2B2/A1B1 = FA2/FS.
On a de même : γ = A2B2/A1B1 = FS/FA1.
Application 6 : Image à travers un miroir concave
On considère un miroir concave de rayon R = 1m.
- Déterminer la distance focale du miroir.
- On place le miroir à la distance D = 5 m d’un écran. Où doit-on placer un objet par rapport au miroir pour qu’il forme à travers le miroir une image nette sur l’écran ?
- Quel est le grandissement obtenu ?
Application 7 : Images par un miroir plan et un miroir convexe
On place un objet lumineux A entre un miroir plan et un miroir convexe. Le miroir plan est perpendiculaire à CA, où C est le centre du miroir sphérique. L’objet est à la distance d1 du miroir plan et à la distance d2 du sommet S du miroir convexe. On observe que l’image A' donnée par le seul miroir plan et celle A'' donnée par le seul miroir convexe sont à égale distance de l’objet lorsque d1 = 30 cm et d2 = 40 cm.
En déduire le rayon du miroir convexe R = −SC.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un miroir ?
Un miroir est une surface polie, généralement en verre recouverte d'une fine couche métallique (souvent d'argent), capable de réfléchir presque intégralement la lumière incidente, formant ainsi des images.
Quelle est la différence entre un miroir plan et un miroir sphérique ?
Un miroir plan a une surface réfléchissante parfaitement plate, produisant une image virtuelle, droite et de même taille que l'objet. Un miroir sphérique a une surface courbe, qui peut être concave (creuse) ou convexe (bombée), et peut produire des images réelles ou virtuelles, agrandies ou réduites, droites ou renversées, selon sa courbure et la position de l'objet.
Qu'est-ce que le stigmatisme en optique ?
Le stigmatisme est la propriété d'un système optique (comme un miroir) de former une image ponctuelle parfaite pour chaque point objet ponctuel. Un miroir plan réalise un stigmatisme rigoureux pour tout point de l'espace, tandis que les miroirs sphériques n'offrent qu'un stigmatisme approché, sauf pour des points spécifiques comme le centre de courbure ou dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux).