Optique : Examen optique geometrique filiere sm2
Télécharger PDFExercice sur le prisme
Cet exercice explore les principes fondamentaux de l'optique géométrique à travers l'étude d'un prisme. Un prisme est un milieu transparent homogène et isotrope, souvent en verre, délimité par deux surfaces planes non parallèles.
1. Formules du prisme
Pour un prisme placé dans l'air, les relations fondamentales entre les angles d'incidence (i), de réfraction (r), l'angle du prisme (A) et la déviation (D) sont :
- Relation de Snell-Descartes pour la première face: sin(i) = n sin(r)
- Relation de Snell-Descartes pour la deuxième face: n sin(r') = sin(i')
- Relation géométrique entre les angles de réfraction et l'angle du prisme: A = r + r'
- Déviation totale du rayon lumineux: D = i + i' - A
Au minimum de déviation (Dm), le trajet du rayon à travers le prisme est symétrique. Cela implique que :
- Les angles d'incidence et d'émergence sont égaux: i = i' = im
- Les angles de réfraction internes sont égaux: r = r' = rm
Les formules du prisme se simplifient alors à :
- sin(im) = n sin(rm)
- A = 2rm
- Dm = 2im - A
2. Angle d'incidence sur la première face au minimum de déviation
Sachant que l'angle au sommet du prisme (A) est de 60° et l'angle de déviation minimum (Dm) est de 38,93°, nous pouvons trouver l'angle d'incidence (im) en utilisant la formule du minimum de déviation :
Dm = 2im - A
2im = Dm + A
im = (Dm + A) / 2
im = (38,93° + 60°) / 2 = 98,93° / 2 = 49,465°
L'angle d'incidence sur la première face est de 49,465°.
3. Angle de réfraction de la première face au minimum de déviation
En utilisant la relation entre l'angle du prisme et l'angle de réfraction interne au minimum de déviation :
A = 2rm
rm = A / 2
rm = 60° / 2 = 30°
L'angle de réfraction de la première face est de 30°.
4. Indice de réfraction du prisme
Pour déterminer l'indice de réfraction (n) du prisme, nous utilisons la loi de Snell-Descartes au minimum de déviation :
sin(im) = n sin(rm)
n = sin(im) / sin(rm)
n = sin(49,465°) / sin(30°)
n = 0,7599 / 0,5 = 1,5198
L'indice de réfraction du prisme est d'environ 1,52.
Problème : Lentilles minces et doublets
On considère un verre d'indice de réfraction n = 1,5, utilisé pour fabriquer deux lentilles minces, L1 et L2, fonctionnant dans l'air (indice de réfraction égal à 1). Les conditions de Gauss sont supposées satisfaites, permettant d'utiliser les approximations de l'optique paraxiale.
A. Lentilles minces individuelles
Les lentilles sont fabriquées à partir d'un verre d'indice n = 1,5 et sont utilisées dans l'air.
1. Lentille L1 : Biconvexe
L1 est une lentille biconvexe (Figure 1), c'est-à-dire qu'elle est plus épaisse au centre qu'aux bords. Par conséquent, c'est une lentille convergente. Elle est formée de deux dioptres sphériques ayant des rayons de courbure de même magnitude R. Sa distance focale image (f'1) est de +10 cm.
a. Vergence du premier dioptre (L1)
La vergence (Vd) d'un dioptre sphérique est donnée par la formule Vd = (n' - n) / R_alg, où n est l'indice du milieu d'origine, n' l'indice du milieu de destination et R_alg le rayon de courbure algébrique du dioptre. Pour la première face d'une lentille biconvexe, le rayon de courbure est positif (R_alg = R).
V1_dioptre = (n - 1) / R
Ici, n est l'indice du verre (1,5) et 1 est l'indice de l'air.
b. Vergence du second dioptre (L1)
Pour la seconde face d'une lentille biconvexe, le rayon de courbure est négatif (R_alg = -R).
V2_dioptre = (1 - n) / (-R) = (n - 1) / R
c. Détermination du rayon de courbure R avec la formule de Gullstrand (L1)
La formule de Gullstrand pour une lentille mince dans l'air (donc e=0, distance entre les dioptres nulle) est V = V1_dioptre + V2_dioptre. La vergence V1 de la lentille est l'inverse de sa distance focale image f'1 (en mètres).
V1 = 1 / f'1
V1 = (n - 1) / R + (n - 1) / R = 2 * (n - 1) / R
Donc, R = 2 * (n - 1) * f'1
Avec n = 1,5 et f'1 = 10 cm = 0,1 m :
R = 2 * (1,5 - 1) * 0,1 = 2 * 0,5 * 0,1 = 0,1 m
Le rayon de courbure R est de 10 cm.
2. Lentille L2 : Biconcave
L2 est une lentille biconcave (Figure 2), c'est-à-dire plus mince au centre qu'aux bords. Par conséquent, c'est une lentille divergente. Elle est formée de deux dioptres sphériques de rayons de courbure de magnitude R'. Sa distance focale image (f'2) est de -10 cm (une valeur négative car la lentille est divergente).
a. Vergence du premier dioptre (L2)
Pour la première face d'une lentille biconcave, le rayon de courbure est négatif (R_alg = -R').
V1'_dioptre = (n - 1) / (-R')
b. Vergence du second dioptre (L2)
Pour la seconde face d'une lentille biconcave, le rayon de courbure est positif (R_alg = R').
V2'_dioptre = (1 - n) / R' = -(n - 1) / R'
c. Détermination du rayon de courbure R' avec la formule de Gullstrand (L2)
La vergence V2 de la lentille est l'inverse de sa distance focale image f'2.
V2 = 1 / f'2
V2 = (n - 1) / (-R') + -(n - 1) / R' = -2 * (n - 1) / R'
Donc, R' = -2 * (n - 1) * f'2
Avec n = 1,5 et f'2 = -10 cm = -0,1 m :
R' = -2 * (1,5 - 1) * (-0,1) = -2 * 0,5 * (-0,1) = 0,1 m
Le rayon de courbure R' est de 10 cm.
B. Association des lentilles pour former un doublet
Nous associons les deux lentilles L1 et L2 pour former un doublet. L1 a son centre optique O1 et ses foyers principaux (F1, F'1). L2 a son centre optique O2 et ses foyers principaux (F2, F'2).
1. Lentilles accolées
Si les deux lentilles L1 et L2 sont accolées, la distance entre leurs centres optiques est négligeable (e = 0).
a. Vergence de l'ensemble (Lentilles accolées)
La vergence (V) d'un système de lentilles minces accolées est la somme des vergences individuelles :
V = V1 + V2
V1 = 1 / f'1 = 1 / 0,1 m = 10 Dioptries (D)
V2 = 1 / f'2 = 1 / (-0,1 m) = -10 Dioptries (D)
V = 10 D + (-10 D) = 0 D
b. Distance focale image et nature du système (Lentilles accolées)
La distance focale image (f') de l'ensemble est l'inverse de sa vergence :
f' = 1 / V
Comme V = 0, la distance focale f' tend vers l'infini (f' = ∞).
Un système optique dont la distance focale est infinie est appelé un système afocal. Il transforme un faisceau de rayons parallèles incidents en un faisceau de rayons parallèles émergents.
2. Lentilles non accolées (Doublet)
Les deux lentilles ne sont pas accolées, elles sont séparées par une distance e. La description du doublet inclut la notation (1, 2, -1) qui fait référence à la position des éléments ou à une caractéristique du système.
a. Calcul de la distance e entre les lentilles
D'après le contexte du problème, la distance de séparation e entre les centres optiques O1 et O2 est spécifiée comme suit :
e = 2 * f'1
e = 2 * 10 cm = 20 cm
b. Vergence et distance focale image du doublet
La formule de Gullstrand pour la vergence (V) d'un système de deux lentilles minces séparées par une distance e est :
V = V1 + V2 - e * V1 * V2
V1 = 10 D, V2 = -10 D, e = 20 cm = 0,2 m
V = 10 + (-10) - (0,2 * 10 * (-10))
V = 0 - (0,2 * (-100))
V = -(-20) = 20 D
La distance focale image (f') du doublet est l'inverse de sa vergence :
f' = 1 / V = 1 / 20 D = 0,05 m
f' = 5 cm
Puisque f' est positive (5 cm), le doublet est convergent.
c. Positions des foyers objet F et image F' du doublet
Les positions des foyers principaux F (objet) et F' (image) du doublet par rapport aux centres optiques des lentilles individuelles (O1 et O2) sont données par les relations suivantes :
- Position du foyer objet F par rapport à O1 : O1F = -f * (1 - e/f'2)
- Position du foyer image F' par rapport à O2 : O2F' = f' * (1 - e/f'1)
Dans l'air, la distance focale objet (f) est l'opposé de la distance focale image (f'), donc f = -f' = -5 cm.
Calcul de O1F :
O1F = -5 cm * (1 - (20 cm / -10 cm))
O1F = -5 cm * (1 - (-2))
O1F = -5 cm * (1 + 2) = -5 cm * 3 = -15 cm
Calcul de O2F' :
O2F' = 5 cm * (1 - (20 cm / 10 cm))
O2F' = 5 cm * (1 - 2)
O2F' = 5 cm * (-1) = -5 cm
L'intervalle optique (Δ), qui est la distance entre le foyer image de la première lentille et le foyer objet de la seconde (Δ = F'1F2), peut également être calculé pour analyser le système. Δ = -f'1 + e + f2. Comme f2 = -f'2 (dans l'air), Δ = -f'1 + e - f'2.
Δ = -10 cm + 20 cm - (-10 cm) = -10 cm + 20 cm + 10 cm = 20 cm.
e. Position des points principaux H et H' du doublet
Les points principaux H (objet) et H' (image) sont des points conjugués pour lesquels le grandissement transversal est égal à +1. Leurs positions peuvent être calculées par rapport aux centres optiques des lentilles individuelles :
- Position du point principal objet H par rapport à O1 : O1H = (e * V2) / V
- Position du point principal image H' par rapport à O2 : O2H' = -(e * V1) / V
Calcul de O1H :
O1H = (0,2 m * -10 D) / 20 D = -2 / 20 = -0,1 m = -10 cm
Calcul de O2H' :
O2H' = -(0,2 m * 10 D) / 20 D = -2 / 20 = -0,1 m = -10 cm
f. Position des points nodaux N et N' du doublet
Les points nodaux N (objet) et N' (image) sont des points conjugués pour lesquels le grandissement angulaire est égal à +1. La formule de Lagrange-Helmholtz stipule que pour un système optique, si les milieux extrêmes sont identiques (comme l'air, où n=n'=1), les points nodaux coïncident avec les points principaux. Ainsi :
N ≡ H et N' ≡ H'
Leurs positions sont donc identiques à celles des points principaux :
O1N = -10 cm
O2N' = -10 cm
g. Position du centre optique O du doublet
Le centre optique O d'un système optique est un point par lequel un rayon lumineux passant ne subit pas de déviation angulaire. Sa position peut être complexe à définir pour un doublet. Dans le cadre de cet exercice, la position du centre optique O du doublet par rapport à O1 est donnée comme :
O1O = 10 cm
h. Méthode pour trouver les plans principaux P et P' du doublet
Les plans principaux P et P' passent respectivement par les points principaux H et H' et sont perpendiculaires à l'axe optique. On peut les trouver graphiquement par une construction de rayons :
- Pour le plan principal image P' (passant par H') : Tracer un rayon incident parallèle à l'axe optique. Après traversée du système optique, ce rayon émergent passe par le foyer image F'. Le plan P' est alors le lieu d'intersection du prolongement du rayon incident et du prolongement du rayon émergent.
- Pour le plan principal objet P (passant par H) : Tracer un rayon incident passant par le foyer objet F. Après traversée du système optique, ce rayon émergent est parallèle à l'axe optique. Le plan P est alors le lieu d'intersection du prolongement du rayon incident et du prolongement du rayon émergent.
Cette méthode de tracé des rayons permet de visualiser la position et l'orientation des plans principaux du doublet.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce que le minimum de déviation pour un prisme ?
Le minimum de déviation est une condition spécifique où la déviation totale d'un rayon lumineux traversant un prisme est la plus faible possible. Cela se produit lorsque le trajet du rayon à l'intérieur du prisme est symétrique, c'est-à-dire que l'angle d'incidence sur la première face est égal à l'angle d'émergence de la seconde face, et les angles de réfraction internes sont égaux.
Quelle est la différence entre une lentille biconvexe et biconcave ?
Une lentille biconvexe est plus épaisse au centre et amincie sur les bords; elle est convergente et possède une distance focale positive. Une lentille biconcave est plus mince au centre et plus épaisse sur les bords; elle est divergente et possède une distance focale négative. Ces appellations décrivent la courbure des deux surfaces de la lentille.
À quoi sert un doublet de lentilles ?
Un doublet de lentilles, qui est une association de deux lentilles (accolées ou séparées), est utilisé pour corriger les aberrations optiques (comme l'aberration chromatique ou sphérique) qui seraient présentes avec une seule lentille. Cela permet d'obtenir une image de meilleure qualité ou d'atteindre des caractéristiques optiques spécifiques, comme une distance focale particulière ou une vergence nulle pour un système afocal.