Optique : Td 04 optique retroprojecteur
Télécharger PDFOptique : Étude d'un Rétroprojecteur (Exercice G5-04)
1. Construction et Caractéristiques de l'Image par une Lentille Convergente
Soit une lentille convergente avec une distance focale f’ = +300 mm. Un objet réel AB de taille 100 mm est placé à 450 mm de la lentille. Nous allons déterminer les caractéristiques de l'image formée par cette lentille.
En utilisant la relation de conjugaison des lentilles minces (avec la convention pour les objets réels, p est négatif) :
1/p' - 1/p = 1/f'
Où f' = +300 mm et p = -450 mm (distance de l'objet à la lentille).
1/p' = 1/f' + 1/p = 1/300 + 1/(-450)
1/p' = (3 - 2) / 900 = 1/900
p' = 900 mm
L'image A'B' est formée à 900 mm après la lentille.
Le grandissement γ est donné par :
γ = A'B'/AB = p'/p
γ = 900 / (-450) = -2
La taille de l'image A'B' est :
A'B' = γ * AB = -2 * 100 mm = -200 mm
L'image A'B' est une image réelle (p' > 0), située 900 mm après la lentille, inversée (γ < 0) et de taille 200 mm.
2. Image à travers le Système Lentille-Miroir Plan
Un miroir plan est placé derrière la lentille, incliné à 45°. L'image A'B' formée par la lentille agit comme un objet virtuel pour le miroir.
L'image finale A''B'' formée par le système lentille-miroir est le symétrique de A'B' par rapport au miroir. Cette image A''B'' est également réelle et conserve la taille de 200 mm. Le miroir permet de dévier le trajet de la lumière et de compacter le système optique, une caractéristique essentielle des rétroprojecteurs.
3. Fonctionnement d'un Rétroprojecteur
Le système lentille-miroir est le cœur d'un rétroprojecteur. Un document transparent, éclairé uniformément par une lampe, constitue l'objet AB. Après ajustement de la distance d (distance entre le document et la lentille), une image agrandie est projetée sur un écran. D est la distance de projection, c'est-à-dire la distance entre le rétroprojecteur et l'écran.
3.1. Positionnement du Document Transparent
Pour que l'image projetée sur l'écran apparaisse dans le bon sens (droite et non inversée), le document transparent doit être placé de manière spécifique.
Une lentille convergente forme une image réelle qui est inversée par rapport à l'objet (si l'objet est avant le foyer et l'image après). Le miroir plan, quant à lui, crée une image symétrique. Pour compenser l'inversion de la lentille, le document transparent (l'objet AB) doit être placé "à l'envers", c'est-à-dire que le point A (souvent le bas du texte ou de l'image) doit être positionné en bas du document tel qu'inséré dans le rétroprojecteur.
3.2. Calcul de la Distance de Projection et de la Taille de l'Image
Le document a une largeur de 210 mm (format A4). La mise au point est réalisée pour une distance d = 350 mm.
L'objet est placé à p = -d = -350 mm de la lentille.
En utilisant la relation de conjugaison :
1/p' = 1/f' + 1/p = 1/300 + 1/(-350)
1/p' = (350 - 300) / (300 * 350) = 50 / 105000 = 1/2100
p' = 2100 mm = 2,1 m
Si D est la distance de projection et 'h' une distance interne du rétroprojecteur (par exemple, de la lentille à la sortie du projecteur après réflexion par le miroir), la solution nous indique que D = p' - h. Avec la valeur p' = 2,1 m et D = 2 m, cela implique que h = 0,1 m (100 mm).
Le grandissement γ est :
γ = p'/p = 2100 / (-350) = -6
La largeur de l'image sur l'écran est :
Largeur de l'image = |γ| * Largeur du document = 6 * 210 mm = 1260 mm = 1,26 m
3.3. Calcul pour un Grandissement Spécifique
Pour un écran de 2,10 m de large et un document de 210 mm de large, un grandissement optimal de 10 est souhaité : |2,10 m / 210 mm| = 10.
Le grandissement algébrique est γ = -10 (l'image est inversée).
Nous savons que γ = p'/p, donc p' = γp = -10p.
En utilisant la relation de conjugaison :
1/f' = 1/p' - 1/p = 1/(-10p) - 1/p = (-1 - 10) / (10p) = -11 / (10p)
p = -11 * f' / 10 = -11 * 300 mm / 10 = -330 mm
La distance d (entre l'objet et la lentille) doit être de 330 mm.
Calculons p' :
p' = -10 * p = -10 * (-330 mm) = 3300 mm = 3,3 m
En utilisant la relation D = p' - h (avec h = 0,1 m comme précédemment) :
D = 3,3 m - 0,1 m = 3,2 m
La distance de projection nécessaire pour obtenir ce grandissement est de 3,2 m. Ce calcul montre que la distance de projection augmente significativement avec la taille désirée de l'image projetée.
3.4. Utilité d'un Cordon d'Alimentation Long
Un cordon d'alimentation de 5 mètres pour un rétroprojecteur offre une flexibilité considérable dans le positionnement de l'appareil. Les rétroprojecteurs nécessitent d'être placés à une distance spécifique de l'écran pour obtenir la taille d'image souhaitée. Une longueur de câble généreuse permet d'adapter facilement cette distance, même si les prises électriques ne sont pas idéalement situées dans la pièce.
3.5. Relation entre la Largeur de l'Image et la Distance de Projection
Pour un document de 210 mm de large, il est possible de tracer une courbe représentant la largeur de l'image sur l'écran (L) en fonction de la distance de projection (D).
La relation entre L et D est donnée par l'équation linéaire :
L(m) = 0,7D(m) – 0,14
Cette équation indique que la largeur de l'image (L) est une fonction linéaire de la distance de projection (D). Pour que la largeur de l'image soit positive (ce qui est physiquement nécessaire), la distance D doit être supérieure à 0,2 m (car 0,7D - 0,14 > 0 implique 0,7D > 0,14, soit D > 0,2). Au-delà de cette distance minimale, L augmente proportionnellement avec D.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi le document doit-il être placé "à l'envers" dans un rétroprojecteur ?
Le document doit être placé à l'envers (souvent inversé verticalement) car la lentille principale du rétroprojecteur forme une image réelle qui est naturellement inversée. En plaçant l'objet de manière inversée, l'image finale projetée sur l'écran apparaît dans le bon sens pour le public.
Quel est le rôle du miroir dans un rétroprojecteur ?
Le miroir plan dans un rétroprojecteur a deux rôles principaux : il dévie le trajet de la lumière pour que l'image soit projetée vers l'écran (souvent vers le haut et l'arrière) et il permet de "replier" le chemin optique, ce qui réduit l'encombrement physique du projecteur tout en conservant une longue distance focale effective.
Comment la distance de projection influence-t-elle la taille de l'image ?
La distance de projection (distance entre le rétroprojecteur et l'écran) a une influence directe et linéaire sur la taille de l'image projetée. Plus le rétroprojecteur est éloigné de l'écran, plus l'image sera grande. Cette relation est décrite par le grandissement optique du système, comme le montre l'équation L = 0,7D - 0,14.