Optique : Td 2 physique ondes optique
Télécharger PDFExercice n°1 : Étude d'une Onde Électromagnétique
Cet exercice explore les propriétés fondamentales d'une onde électromagnétique, incluant sa phase, son amplitude, sa direction de propagation, sa polarisation et son champ magnétique associé.
Phase Initiale
La phase initiale de l'onde est déterminée à partir de son expression générale. Dans ce cas, elle est : φ₀ = 0.
Amplitude Maximale
L'amplitude maximale du champ électrique de l'onde, notée Em, est donnée par les amplitudes de ses composantes. Si les composantes sont Ex = E₀/2 et Ey = (√3/2)E₀, l'amplitude maximale est calculée comme suit :
Em = √((E₀/2)² + ((√3/2)E₀)²) = √(E₀²/4 + 3E₀²/4) = √(E₀²) = E₀.
Direction et Sens de Propagation
Pour déterminer la direction et le sens de propagation, nous examinons le vecteur d'onde k. D'après la forme de l'expression du champ, le vecteur d'onde k doit être orienté suivant l'axe Oz, c'est-à-dire k = k₀ ez. Cela implique que les cosinus directeurs sont α = 0, β = 0 et γ = 1. L'onde se propage donc suivant l'axe Oz. Le signe négatif dans l'expression de la phase (ωt - k₀z) indique que l'onde progresse dans le sens positif de l'axe Oz (+ez).
En utilisant la relation k₀z = (30π × 10⁸)z, nous pouvons trouver la longueur d'onde :
k₀ = 2π/λ₀ = 30π × 10⁸
Ainsi, λ₀ = 2π / (30π × 10⁸) = 1 / (15 × 10⁸) = 0,6 × 10⁻⁶ m = 0,6 µm.
Cette valeur de longueur d'onde (0,6 µm ou 600 nm) appartient à la région spectrale du visible [400 nm, 700 nm].
Fréquence Temporelle
La fréquence temporelle de l'onde est obtenue à partir de la pulsation ω. On a :
ωt = (30π × 10⁸)t
Puisque ω = 2πf, nous avons :
2πf = 30π × 10⁸
f = 1,5 × 10¹⁴ Hz.
Alternativement, on peut utiliser la relation spatio-temporelle f = c/λ₀ :
f = (3 × 10⁸ m/s) / (0,6 × 10⁻⁶ m) = 5 × 10¹⁴ Hz.
Nombre d'Onde
Le nombre d'onde, noté σ₀, est l'inverse de la longueur d'onde :
σ₀ = 1/λ₀ = 1 / (0,6 × 10⁻⁶ m) ≈ 1,67 × 10⁶ m⁻¹.
État de Polarisation de l'Onde
L'expression du champ électrique est donnée par : E(t,z) = ((E₀/2) ex + ((√3/2)E₀) ey) cos((30π × 10⁸)t - (30π × 10⁸)z).
En décomposant le vecteur E(t,z) dans la base orthonormée (ex, ey, ez) :
- Ex(t,z) = (E₀/2) cos(ωt - k₀z)
- Ey(t,z) = ((√3/2)E₀) cos(ωt - k₀z)
- Ez(t,z) = 0 (l'onde est transverse électromagnétique, TEM)
Déphasage et Polarisation Linéaire
Les composantes Ex et Ey oscillent en phase (φx = φy = 0) dans le plan Oxy, qui est orthogonal à l'axe Oz. Le déphasage entre elles est Δφ = φy - φx = 0.
La relation entre les composantes est Ey = r Ex. Comme le déphasage est nul, l'onde est linéairement polarisée. L'équation des composantes dans le plan (Ex, Ey) correspond à une droite Y = aX + b, où a est la pente r et b est 0 (passant par l'origine).
Calcul du Paramètre r et Direction d'Oscillation
Le paramètre r est le rapport des amplitudes maximales des composantes :
r = Emy / Emx = ((√3/2)E₀) / (E₀/2) = √3.
La direction d'oscillation θ est donnée par :
tan(θ) = r = √3
θ = π/3.
Le champ électrique E(t,z) de cette onde oscille dans le plan Oxy, dans la direction de l'angle π/3 par rapport à l'axe Ox, vers Oy.
Calcul du Champ Magnétique B(t,z)
Le champ magnétique B(t,z) est lié au champ électrique E(t,z) par la relation B = (1/c) (k̂ × E), où k̂ est le vecteur unitaire de propagation. Puisque l'onde se propage selon ez, on a k̂ = ez.
Cette relation implique que E et B oscillent en phase, avec les mêmes pulsations temporelle et spatiale, et se propagent dans la même direction et le même sens.
Phase Instantanée du Champ Magnétique
Le champ magnétique B(t,z) a la même phase instantanée que le champ électrique E(t,z) :
Φ = (30π × 10⁸)t - (30π × 10⁸)z.
Amplitude Maximale du Champ Magnétique
En utilisant la relation B = (1/c) (ez × E) :
E(t,z) = ((E₀/2) ex + ((√3/2)E₀) ey) cos(Φ)
B(t,z) = (1/c) ez × ((E₀/2) ex + ((√3/2)E₀) ey) cos(Φ)
B(t,z) = (1/c) [ (E₀/2) (ez × ex) + ((√3/2)E₀) (ez × ey) ] cos(Φ)
B(t,z) = (1/c) [ (E₀/2) ey - ((√3/2)E₀) ex ] cos(Φ)
Les amplitudes des composantes du champ magnétique sont :
Bmx = - (√3/2)E₀/c
Bmy = (E₀/2)/c
L'amplitude maximale du champ magnétique est :
Bm = √((- (√3/2)E₀/c)² + (E₀/2c)²) = √(3E₀²/4c² + E₀²/4c²) = √(4E₀²/4c²) = E₀/c.
Le champ magnétique B(t,z) oscille dans le plan transversal Oxy, perpendiculairement à la direction d'oscillation du champ électrique E(t,z). Sa direction est décalée de π/2 par rapport à celle de E, soit à un angle θ + π/2 = π/3 + π/2 = 5π/6 par rapport à l'axe Ox.
Problème : Interférence et Interféromètre de Michelson
Ce problème aborde les phénomènes d'interférence dans le contexte de l'interféromètre de Michelson, un dispositif optique crucial pour étudier les ondes lumineuses.
Expression des Champs Électriques
Les deux ondes issues de l'interféromètre, Etr1 et Etr2, sont colinéaires (Etr1 // Etr2) et perpendiculaires au plan d'incidence. Une approche scalaire est donc appropriée pour décrire leurs champs électriques :
Etr1 = E₀₁ cos(ωt - kr₁) Etr2 = E₀₂ cos(ωt - kr₂)
Superposition des Champs
Le champ électrique résultant de la superposition est la somme des champs individuels :
E = Etr1 + Etr2 = E₀₁ cos(ωt - kr₁) + E₀₂ cos(ωt - kr₂)
En supposant que les amplitudes sont égales (E₀₁ = E₀₂ = E₀) :
E = E₀ (cos(ωt - kr₁) + cos(ωt - kr₂))
En utilisant la formule de somme des cosinus (cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)) :
E = 2 E₀ cos(ωt - k(r₁+r₂)/2) cos(k(r₂-r₁)/2)
Calcul de l'Intensité Moyenne Temporelle
L'intensité lumineuse I est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ électrique : I ∝ <E²>.
I = <(E₀ cos(ωt - kr₁) + E₀ cos(ωt - kr₂))²>
I = <E₀² cos²(ωt - kr₁) + E₀² cos²(ωt - kr₂) + 2E₀² cos(ωt - kr₁) cos(ωt - kr₂)>
Premier Terme
<E₀² cos²(ωt - kr₁)> = E₀² <(1 + cos(2(ωt - kr₁)))/2> = E₀²/2.
(La moyenne de cos(2(ωt - kr₁)) sur une période est nulle).
Deuxième Terme
De manière similaire : <E₀² cos²(ωt - kr₂)> = E₀²/2.
Troisième Terme
<2E₀² cos(ωt - kr₁) cos(ωt - kr₂)> = E₀² <cos(k(r₂-r₁)) + cos(2ωt - k(r₁+r₂))>
Ici, <cos(2ωt - k(r₁+r₂))> est nul. Donc, ce terme devient E₀² cos(k(r₂-r₁)).
En sommant tous les termes, l'intensité moyenne temporelle est :
I = E₀²/2 + E₀²/2 + E₀² cos(k(r₂-r₁)) = E₀² (1 + cos(k(r₂-r₁))).
En posant Is = E₀²/2 comme l'intensité d'un faisceau unique et δ = r₂-r₁ comme la différence de marche optique, et Δφ = kδ = k(r₂-r₁) comme le déphasage, l'expression de l'intensité devient :
I = 2 Is (1 + cos(Δφ)).
Utilisant l'identité trigonométrique 1 + cos(x) = 2 cos²(x/2), on obtient la forme finale recherchée :
I = 4 Is cos²(Δφ/2).
Analyse des Franges d'Interférence
L'intensité des franges d'interférence varie entre un minimum de 0 et un maximum de 4Is. La formation des franges dépend du déphasage Δφ entre les deux ondes.
-
Interférence constructive (franges brillantes) :
Se produit lorsque la différence de marche δ est un multiple entier de la longueur d'onde : δ = mλ₀, où m = 0, ±1, ±2, ...
Cela correspond à un déphasage Δφ = k₀δ = 2πm.
L'éclairement correspondant est : Imax = 4 Is cos²(2πm/2) = 4 Is cos²(πm) = 4 Is.
-
Interférence destructive (franges sombres) :
Se produit lorsque la différence de marche δ est un multiple impair de la demi-longueur d'onde : δ = (m + 1/2)λ₀, où m = 0, ±1, ±2, ...
Cela correspond à un déphasage Δφ = k₀δ = (2m + 1)π.
L'éclairement correspondant est : Imin = 4 Is cos²((2m + 1)π/2) = 0.
Pour une différence de marche de δ = 7,75 λ₀, le déphasage est Δφ = k₀δ = (2π/λ₀) × 7,75 λ₀ = 15,5 π.
L'éclairement relatif est : I / Imax = cos²(Δφ/2) = cos²(15,5 π / 2) = cos²(7,75 π) = cos²(7π + 0,75π) = cos²(3π/4) = (-√2/2)² = 1/2.
Donc, I = Imax / 2. Cette valeur correspond à 50% de l'intensité maximale et se produit entre un maximum d'ordre 7 (m=7) et un minimum d'ordre 8 (m=7) d'interférence, en comptant à partir de l'ordre d'interférence zéro.
Conditions d'Interférence
Pour observer des franges d'interférence stables et de bonne qualité avec un interféromètre de Michelson, plusieurs conditions doivent être remplies :
-
Cohérence spatiale et temporelle : Les deux ondes doivent provenir d'une source quasi-monochromatique et cohérente. Pour un laser Hélium-Néon (He-Ne), la longueur d'onde est λ₀ = 632,8 nm.
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Différence de marche inférieure à la longueur de cohérence : La différence de marche optique δ entre les deux faisceaux doit être inférieure à la longueur de cohérence (Lc) de la source lumineuse. Pour le laser He-Ne mentionné, une longueur de cohérence typique est Lc ≈ 20 cm. Ainsi, δ < Lc, garantissant une phase instantanée stable au point d'observation P.
-
Polarisations non orthogonales : Les polarisations des deux ondes ne doivent pas être orthogonales (Etr1 ⋅ Etr2 ≠ 0). Dans cet interféromètre, les deux ondes sont parallèles (Etr1 // Etr2) et perpendiculaires au plan d'incidence, ce qui assure que cette condition est respectée.
-
Intensités égales pour un contraste optimal : Bien que non strictement nécessaire pour l'observation des franges, des intensités égales (I₁ = I₂) permettent d'obtenir le meilleur contraste de franges. Si Imin = 0, le contraste C = (Imax - Imin) / (Imax + Imin) atteint 100%.
Détermination de la Différence de Parcours Optique
La différence de parcours optique δ entre les deux ondes, de la source S au point P sur l'écran de l'interféromètre de Michelson (monté en lame d'air), est donnée par la relation :
δ = 2d cos θi
où d est l'épaisseur de la lame d'air (la distance entre les miroirs équivalents) et θi est l'angle d'incidence.
Démonstration de la Relation des Rayons Sombres
Pour les anneaux sombres (interférences destructives), la condition est 2d cos θp = (m - p + 1/2)λ₀, où m est l'ordre d'interférence au centre (p=0) et p est l'indice de l'anneau sombre (p = 0 pour l'anneau central, p=1 pour le premier anneau, etc.). Le déphasage supplémentaire de π est dû à la réflexion sur un milieu d'indice plus élevé.
Au centre (p=0), l'angle d'incidence θ₀ est nul (cos θ₀ = 1), donc la condition devient :
2d = (m + 1/2)λ₀ (1)
Pour le p-ième anneau sombre, la condition est :
2d cos θp = (m - p + 1/2)λ₀ (2)
En soustrayant l'équation (2) de l'équation (1) :
2d - 2d cos θp = (m + 1/2)λ₀ - (m - p + 1/2)λ₀
2d (1 - cos θp) = pλ₀.
C'est la formule recherchée, indiquant que le rayon des anneaux sombres dépend de l'ordre p, de la longueur d'onde et de l'épaisseur de la lame d'air.
Calcul de l'Ordre d'Interférence au Centre
Au centre (θp = 0), l'ordre d'interférence m est maximal. La condition pour une frange sombre au centre est 2d = (m + 1/2)λ₀. Nous pouvons en déduire l'ordre d'interférence m :
m = (2d/λ₀) - 1/2.
Avec λ₀ = 632,8 nm (632,8 × 10⁻⁹ m) et d = 1 cm (0,01 m) :
m = (2 × 0,01) / (632,8 × 10⁻⁹) - 0,5 = 31605,5625 - 0,5 = 31605,0625.
L'ordre d'interférence entier est m = 31605. Cela signifie que 31605 anneaux sombres sont passés par le centre lorsque l'épaisseur de la lame d'air est passée de d=0 à d=1 cm. Le 31605ème ordre correspond à une interférence destructive, c'est-à-dire une frange noire au centre.
Approximation pour Petits Angles (Anneaux d'Haidinger)
Pour les petits angles d'incidence (θp → 0), nous pouvons utiliser l'approximation du développement limité du cosinus : cos θp ≈ 1 - θp²/2.
En substituant cette approximation dans la relation 2d (1 - cos θp) = pλ₀ :
2d (1 - (1 - θp²/2)) = pλ₀
2d (θp²/2) = pλ₀
d θp² = pλ₀
Donc, θp² = pλ₀/d.
De plus, pour les petits angles, la relation entre l'angle d'incidence θp et le rayon rp des anneaux observés dans le plan focal d'une lentille de focale f est θp ≈ rp/f.
En combinant ces deux relations, on obtient :
(rp/f)² = pλ₀/d
rp² = pλ₀f²/d.
Ainsi, le rayon du p-ième anneau sombre est : rp = f √(pλ₀/d).
Cette formule est valable pour les points singuliers correspondant à la condition d'interférence destructive (franges sombres).
Calcul des Rayons des Anneaux Sombres
La formule rp = f √(pλ₀/d) montre que les rayons des anneaux sombres augmentent avec p, la racine carrée de l'ordre de l'anneau.
Pour l'anneau sombre central, p=0, donc r₀=0.
Pour le 1er anneau sombre (p=1), l'ordre d'interférence est m-1 = 31604. Le rayon r₁ est :
r₁ = f √(λ₀/d)
Si la focale de la lentille est f = 20 cm (0,2 m) :
r₁ = 0,2 × √((632,8 × 10⁻⁹ m) / (0,01 m)) ≈ 0,2 × √(6,328 × 10⁻⁵) ≈ 0,2 × 7,9548 × 10⁻³ ≈ 1,59 × 10⁻³ m = 1,59 mm.
Pour le 2ème anneau sombre (p=2), l'ordre d'interférence est m-2 = 31603. Le rayon r₂ est :
r₂ = f √(2λ₀/d) = r₁√2.
Si f = 20 cm :
r₂ ≈ 1,59 mm × √2 ≈ 2,25 mm.
Les rayons des anneaux sombres varient comme la racine carrée des nombres entiers successifs (√1, √2, √3, √4, ...). Cela signifie que les anneaux se resserrent au fur et à mesure que l'on s'écarte du centre.
Nature des Interférences Observées
Les interférences observées dans ce contexte sont des interférences "localisées à l'infini". Elles sont typiquement visualisées dans le plan focal d'une lentille convergente, dont l'axe principal serait aligné avec la direction des faisceaux après l'interféromètre. Ces franges sont appelées anneaux d'Haidinger.
Exercice n°2 : Diffraction
Cet exercice explore les principes de la diffraction, un phénomène ondulatoire où la lumière dévie de sa trajectoire rectiligne lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture.
Conditions de Diffraction
La diffraction est le phénomène de déviation des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle ou une ouverture. Pour que la diffraction soit significative, la taille de l'ouverture (a) ou de l'obstacle doit être du même ordre de grandeur que la longueur d'onde (λ) de la lumière, ou inférieure : a ≤ λ.
En général, une "bonne" diffraction, c'est-à-dire une diffraction clairement observable, se produit lorsque la taille de l'ouverture ou de l'obstacle est comprise entre la longueur d'onde et environ cent fois la longueur d'onde : λ ≤ a ≤ 100λ.
Types de Diffraction
- Diffraction de Fraunhofer : Se produit lorsque la source lumineuse et l'écran d'observation sont suffisamment éloignés de l'ouverture ou de l'obstacle, de sorte que les ondes peuvent être considérées comme planes. Cela correspond à une observation en champ lointain.
- Diffraction de Fresnel : Se produit lorsque la source lumineuse ou l'écran d'observation (ou les deux) sont relativement proches de l'ouverture ou de l'obstacle. Les ondes sont alors considérées comme sphériques, et l'observation se fait en champ proche.
Reconnaissance des Formes Géométriques des Ouvertures ou des Obstacles
Les figures de diffraction sont caractéristiques de la forme de l'ouverture ou de l'obstacle qui les produit :
- Figure (a) : Une fente infinie (ou très longue) ou un cheveu/fibre optique. La figure de diffraction est une série de taches lumineuses étalées perpendiculairement à la fente, avec une intensité maximale au centre.
- Figure (b) : Une ouverture carrée. La figure de diffraction montre un motif quadrillé de taches lumineuses.
- Figure (c) : Deux fentes infinies parallèles. On observe des franges d'interférence modulées par une enveloppe de diffraction due à la largeur de chaque fente.
- Figure (d) : Deux ouvertures circulaires, comme celles utilisées dans l'expérience des fentes de Young. On observe également des interférences (franges) modulées par la diffraction due à la forme circulaire de chaque ouverture.
Dans les deux derniers cas (c) et (d), le motif observé est un mélange complexe de phénomènes de diffraction et d'interférence.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que l'état de polarisation linéaire d'une onde électromagnétique ?
Une onde électromagnétique est linéairement polarisée lorsque son champ électrique (et par conséquent son champ magnétique) oscille uniquement le long d'une direction fixe dans l'espace, perpendiculairement à la direction de propagation. Cela se produit lorsque les composantes du champ électrique (par exemple, Ex et Ey) oscillent en phase, c'est-à-dire sans déphasage entre elles.
Quelles sont les conditions nécessaires pour observer des franges d'interférence avec un interféromètre de Michelson ?
Pour observer des franges d'interférence stables, il faut que les deux ondes soient cohérentes spatialement et temporellement (généralement issues d'une source quasi-monochromatique comme un laser), que la différence de marche optique entre les faisceaux soit inférieure à la longueur de cohérence de la source, et que leurs états de polarisation ne soient pas orthogonaux. Des intensités égales pour les deux faisceaux améliorent le contraste des franges.
Quelle est la différence entre la diffraction de Fraunhofer et celle de Fresnel ?
La diffraction de Fraunhofer est un cas de diffraction en champ lointain, où la source et l'écran sont suffisamment éloignés de l'objet diffractant pour que les ondes puissent être considérées comme planes. La diffraction de Fresnel, quant à elle, est un cas de diffraction en champ proche, où les ondes sont considérées comme sphériques, car la source ou l'écran sont relativement proches de l'objet diffractant.