Optique : Examen optique physique
Télécharger PDFOptique Physique : Exploration des Phénomènes d'Interférence
Ce document, issu d'un examen d'optique physique, se propose d'explorer en détail les phénomènes d'interférence lumineuse à travers des dispositifs classiques. Nous aborderons l'interféromètre de Fabry-Pérot et les miroirs de Fresnel, des instruments fondamentaux pour comprendre la nature ondulatoire de la lumière et ses applications.
Partie I : L'Interféromètre de Fabry-Pérot
L'interféromètre de Fabry-Pérot est un instrument optique de haute résolution qui utilise les interférences multiples entre deux surfaces semi-réfléchissantes parallèles. Il est largement employé en spectroscopie pour analyser la structure fine des raies spectrales et en laser pour la sélection de modes.
L'intensité de l'onde résultante (transmise) à travers un interféromètre de Fabry-Pérot, lorsqu'une infinité de vibrations lumineuses interfèrent, est donnée par l'expression :
I = I₀ / (1 + m sin²(Φ/2))
où I₀ est l'intensité incidente, Φ est la différence de phase entre les ondes successives, et m est un paramètre lié au coefficient de réflexion R des miroirs :
m = 4R / (1 - R)²
Le coefficient de finesse F (ou facteur de finesse) de l'interféromètre de Fabry-Pérot est une mesure de la largeur et de la netteté des franges d'interférence. Il est défini par la relation suivante :
F = π√R / (1 - R)
Pour l'établir, on peut considérer la largeur à mi-hauteur des franges d'interférence. La finesse est un indicateur crucial de la capacité de l'interféromètre à distinguer des raies spectrales très rapprochées. Plus le pouvoir réflecteur R des miroirs est élevé (proche de 1), plus la finesse F est grande, ce qui se traduit par des franges d'interférence très fines et intenses, améliorant ainsi la résolution spectrale de l'appareil. Une grande finesse permet de "filtrer" très sélectivement les longueurs d'onde.
Partie II : Étude des Dispositifs d'Interférence Lumineuse
A - Dispositif des miroirs de Fresnel
Le dispositif des miroirs de Fresnel est une méthode historique pour créer des franges d'interférence à partir d'une source ponctuelle, sans nécessiter de fentes. Il est constitué de deux miroirs plans inclinés d'un très petit angle θ, dont l'arête commune est notée I. Une source ponctuelle S éclaire ces miroirs, créant deux sources images virtuelles qui interfèrent.
1) Source ponctuelle monochromatique
On considère une source ponctuelle S, émettant une lumière monochromatique de longueur d'onde λ = 0,60 µm, située à une distance d = 0,5 m de l'arête des miroirs. L'angle entre les miroirs est θ = 3 x 10⁻³ rad. L'écran d'observation E est placé à une distance D de l'arête I. La mesure de l'interfrange donne i = 1 mm, et l'ordre d'interférence maximal est pm = 9.
a- L'expression de la différence de phase Φ en un point M de l'écran d'abscisse x, en fonction de D, d, θ, λ et x, pour les miroirs de Fresnel, est la suivante (en considérant un déphasage de π dû à la réflexion) :
Φ = (2π/λ) * (2dθx / D) + π
où (2dθx / D) représente la différence de marche géométrique entre les rayons issus des deux sources images virtuelles S₁ et S₂.
b- Les franges d'interférence observées sont rectilignes. Cela s'explique par le fait que la différence de marche (ou de phase) dépend linéairement de la coordonnée x sur l'écran et ne dépend pas de la coordonnée y (perpendiculaire à x dans le plan de l'écran). Par conséquent, les lieux des points où la différence de phase est constante (correspondant aux franges claires ou sombres) sont des droites parallèles à l'arête commune des miroirs.
c- La distance entre trois franges noires successives correspond à deux interfranges. Si l'interfrange mesuré est i = 1 mm, alors la distance x₃ est :
x₃ = 2 * i = 2 * 1 mm = 2 mm
d- Pour déterminer la distance D, nous utilisons la formule de l'interfrange pour les miroirs de Fresnel :
i = λD / (2dθ)
En réarrangeant pour D :
D = (i * 2dθ) / λ
Avec les valeurs données : λ = 0,60 µm = 0,60 x 10⁻⁶ m ; i = 1 mm = 1 x 10⁻³ m ; d = 0,5 m ; θ = 3 x 10⁻³ rad.
D = (1 x 10⁻³ m * 2 * 0,5 m * 3 x 10⁻³ rad) / (0,60 x 10⁻⁶ m)
D = (3 x 10⁻⁶ m²) / (0,60 x 10⁻⁶ m) = 5 m
La distance D de l'écran à l'arête des miroirs est de 5 m.
Le nombre N de franges brillantes observées. Dans le cas des miroirs de Fresnel, la frange centrale (pour x=0) est une frange noire en raison du déphasage de π entre les deux sources images virtuelles. Si l'ordre maximal d'interférence est pm = 9 (se référant aux franges sombres), cela signifie que les franges noires s'étendent des ordres k = -9 à k = 9 (incluant la frange centrale k=0).
Les franges brillantes sont situées entre les franges noires. Si nous avons des franges noires aux ordres 0, ±1, ±2, ..., ±9, alors les franges brillantes se trouvent aux ordres (k + 1/2) pour k allant de -(pm-1) à (pm-1) et aussi (±pm - 1/2). Ou plus simplement, si la frange centrale est noire, il y a pm franges brillantes de chaque côté. Donc, le nombre total de franges brillantes est :
N = 2 * pm = 2 * 9 = 18
Il y a 18 franges brillantes observées.
2) Source de lumière blanche
a- Lorsque la source S émet de la lumière blanche (lumière polychromatique avec des longueurs d'onde allant de 0,4 µm à 0,8 µm), le phénomène observé est une coloration des franges. La frange centrale (pour laquelle la différence de marche est nulle) reste noire pour les miroirs de Fresnel. Autour de cette frange centrale noire, on observe des franges irisées, c'est-à-dire colorées, qui s'estompent et disparaissent rapidement à mesure que l'on s'éloigne du centre. Cela s'explique par le fait que l'interfrange (i = λD / (2dθ)) dépend de la longueur d'onde. Ainsi, les maxima et minima pour les différentes composantes de couleur de la lumière blanche ne se superposent plus à des distances significatives du centre, entraînant une superposition de couleurs et une perte de contraste.
b- Les longueurs d'onde des raies qui manquent (cannelures noires) sont celles pour lesquelles une frange noire est observée à la distance x = 2 mm. Pour les miroirs de Fresnel, les franges noires correspondent à une différence de marche Δ = kλ, où k est un entier (puisque la frange centrale est noire). La différence de marche est Δ = (2dθx) / D.
Donc, kλ = (2dθx) / D
Nous cherchons λ :
λ = (2dθx) / (kD)
Avec : d = 0,5 m ; θ = 3 x 10⁻³ rad ; x = 2 mm = 2 x 10⁻³ m ; D = 5 m.
λ = (2 * 0,5 * 3 x 10⁻³ * 2 x 10⁻³) / (k * 5)
λ = (6 x 10⁻⁶) / (5k) = (1,2 x 10⁻⁶) / k
Nous devons trouver les valeurs de k pour lesquelles λ est dans l'intervalle [0,4 µm, 0,8 µm] :
0,4 x 10⁻⁶ m ≤ (1,2 x 10⁻⁶ m) / k ≤ 0,8 x 10⁻⁶ m
En divisant par 10⁻⁶ :
0,4 ≤ 1,2 / k ≤ 0,8
Cela implique :
k ≤ 1,2 / 0,4 => k ≤ 3
k ≥ 1,2 / 0,8 => k ≥ 1,5
Les valeurs entières possibles pour k sont donc 2 et 3.
Pour k = 2 : λ = 1,2 / 2 = 0,60 µm
Pour k = 3 : λ = 1,2 / 3 = 0,40 µm
Les longueurs d'onde des raies manquantes (cannelures noires) à x = 2 mm sont 0,60 µm et 0,40 µm.
B - Dispositif de la figure 2 (Interférences en lumière parallèle)
Ce dispositif, non illustré ici, est éclairé en lumière parallèle d'intensité I₀ et de longueur d'onde λ'. Il s'agit typiquement d'une lame d'air ou d'un coin d'air entre deux plaques de verre, où la différence de marche dépend de l'épaisseur locale de la lame et de l'angle d'incidence.
1) Le champ d'interférence et la localisation des franges :
Pour un dispositif éclairé en lumière parallèle (comme un coin d'air ou un anneau de Newton), les franges sont dites localisées. Elles ne sont pas visibles sur un écran placé n'importe où, mais apparaissent nettes dans une région spécifique de l'espace, souvent là où la lumière traverse le système (par exemple, à l'intérieur de la lame d'air ou très proche de celle-ci) ou à l'infini (pour des interférences à ondes multiples en incidence normale). La localisation des franges résulte du fait que la différence de marche dépend de l'épaisseur de la lame et de l'angle d'incidence, et pour une frange donnée (différence de marche constante), il existe un ensemble de rayons lumineux qui interfèrent, provenant de différentes parties de la source, qui convergent en un point particulier. Pour observer l'ensemble du système de franges, on doit généralement les observer à travers une lentille, en les focalisant sur un écran ou sur la rétine.
2) Montrons que la différence de phase au point M s'écrit : Φ = (4πx'θ) / λ'.
Pour une lame d'air d'épaisseur e variant linéairement avec la position (e = x'θ, comme pour un coin d'air où x' est la distance le long de la lame et θ est l'angle du coin), la lumière incidente parallèle traverse la lame. Le rayon réfléchi sur la première surface et le rayon réfléchi sur la deuxième surface (après avoir traversé l'air deux fois) vont interférer. La différence de marche optique Δ est donnée par 2e pour une incidence normale (ou quasi-normale). Donc Δ = 2x'θ.
La différence de phase Φ est reliée à la différence de marche Δ par la relation :
Φ = (2π/λ') * Δ
En substituant Δ, on obtient :
Φ = (2π/λ') * (2x'θ) = (4πx'θ) / λ'
Cette expression est valide en l'absence de déphasage supplémentaire à la réflexion (ou si les déphasages s'annulent) ou en considérant la condition d'interférence selon cette phase.
3) Déterminons le nouvel interfrange i' en fonction de θ et λ'.
Les franges brillantes (maxima d'intensité) se produisent lorsque la différence de phase est un multiple entier de 2π : Φ = 2kπ, où k est un entier.
2kπ = (4πx'θ) / λ'
k = (2x'θ) / λ'
La position x'k d'une frange brillante d'ordre k est donc :
x'k = k * (λ' / (2θ))
L'interfrange i' est la distance entre deux franges brillantes successives (ou deux franges sombres successives) :
i' = x'k+1 - x'k = (k+1) * (λ' / (2θ)) - k * (λ' / (2θ))
i' = λ' / (2θ)
Le nouvel interfrange i' est donné par λ' / (2θ).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la finesse d'un interféromètre de Fabry-Pérot ?
La finesse d'un interféromètre de Fabry-Pérot est une mesure de la netteté et de la résolution des franges d'interférence. Un coefficient de finesse élevé, qui dépend du pouvoir réflecteur des miroirs, indique des franges très fines et bien séparées, ce qui est essentiel pour la distinction de longueurs d'onde très proches en spectroscopie.
Pourquoi les franges obtenues avec les miroirs de Fresnel sont-elles rectilignes ?
Les franges des miroirs de Fresnel sont rectilignes car la différence de marche optique entre les rayons lumineux dépend linéairement de la position sur l'écran d'observation et ne varie pas le long de la direction parallèle à l'arête des miroirs. Les points où la différence de marche est constante (correspondant à des franges claires ou sombres) forment donc des lignes droites parallèles à cette arête.
Quel est l'effet de l'utilisation d'une lumière blanche (polychromatique) sur les figures d'interférence ?
Lorsqu'une lumière blanche est utilisée, la figure d'interférence présente une frange centrale qui est généralement noire (pour les miroirs de Fresnel) ou blanche (pour d'autres dispositifs comme les fentes de Young). Autour de cette frange centrale, des franges colorées et irisées apparaissent. Ces franges s'estompent rapidement à mesure que l'on s'éloigne du centre car l'interfrange dépend de la longueur d'onde, ce qui fait que les maxima et minima des différentes couleurs ne se superposent plus, entraînant une superposition de couleurs et une perte de contraste.