Optique : Td 6 4 07 lunette de galilée
Télécharger PDFLa lunette de Galilée : Étude Optique Détaillée
La lunette de Galilée est constituée de deux lentilles minces dont les axes optiques sont confondus. La première lentille L1 est une lentille convergente de distance focale f1'. La deuxième lentille L2 est une lentille divergente de distance focale f2'.
L'observateur dirige la lunette vers un objet AB de hauteur h situé à la distance D de la lunette. Le point A, pied de l'objet, est situé sur l'axe optique.
Données numériques : h = AB = 0,70 m ; D = O1A = 50 m ; f1' = 0,80 m ; f2' = -0,08 m.
Formation de l'image A'B' par la lentille L1
Pour déterminer la position, la taille et le sens de l'image A'B' formée par la lentille convergente L1 à partir de l'objet AB, nous utilisons la formule de conjugaison et de grandissement des lentilles minces.
La lentille L1 est une lentille convergente avec une distance focale f1' = 0,80 m. L'objet AB est situé à une distance D = 50 m. Selon la convention de signes utilisée en optique, la position de l'objet O1A est de -50 m.
Position de l'image A'B'
La formule de conjugaison est 1/O1A' - 1/O1A = 1/f1'.
En substituant les valeurs : 1/O1A' = 1/f1' + 1/O1A = 1/0,80 m + 1/(-50 m) = 1,25 m⁻¹ - 0,02 m⁻¹ = 1,23 m⁻¹.
Ainsi, la position de l'image est O1A' = 1 / 1,23 m⁻¹ ≈ 0,813 m.
L'image A'B' est formée à environ 0,813 m après la lentille L1.
Taille et sens de l'image A'B'
Le grandissement transversal γ1 est donné par γ1 = A'B'/AB = O1A'/O1A.
La hauteur de l'objet AB est h = 0,70 m.
Donc, A'B' = AB * (O1A'/O1A) = 0,70 m * (0,813 m / -50 m) ≈ -0,01138 m.
Soit A'B' ≈ -1,138 cm.
La taille de l'image A'B' est d'environ 1,138 cm. Le signe négatif indique que l'image est inversée par rapport à l'objet. C'est une image réelle car O1A' est positif.
Représentation schématique de la lentille L1 et de l'image A'B'
Un schéma de la situation optique devrait montrer la lentille L1 (convergente) avec son centre optique O1 et ses foyers F1 (objet) et F1' (image). L'objet AB, situé très loin sur la gauche, est représenté. L'image réelle et inversée A'B', calculée précédemment, serait située entre le foyer F1' et le double de la distance focale de L1. En pratique, puisque l'objet est très éloigné (50 m pour une focale de 0,8 m), l'image intermédiaire A'B' se formerait très proche du foyer image F1' de L1.
Rôle de la lentille L2 et formation de l'image A''B''
L'image A'B' formée par la lentille L1 agit comme l'objet pour la lentille L2. La lentille L2 est une lentille divergente dont la distance focale est f2' = -0,08 m. La distance entre les centres optiques O1 et O2 est d = O1O2 = 0,70 m.
Nature de l'objet A'B' pour L2
La position de l'image A'B' par rapport à L1 est O1A' ≈ 0,813 m. Puisque L2 est située à 0,70 m de L1, l'objet A'B' se trouve après L2 dans le sens de propagation de la lumière.
La position de l'objet A'B' par rapport à L2 est O2A' = O1A' - O1O2 = 0,813 m - 0,70 m = 0,113 m.
Étant donné que O2A' est positif, l'objet A'B' est un objet virtuel pour la lentille L2. Cela signifie que les rayons lumineux provenant de L1 convergent vers A'B' mais sont interceptés par L2 avant d'atteindre ce point.
Construction de l'image A''B''
Un schéma de construction optique montrerait la lentille L2 (divergente), ses foyers F2 (objet) et F2' (image). L'objet virtuel A'B' serait représenté à droite de L2. Les rayons lumineux qui convergent vers A'B' seraient déviés par L2 pour former l'image finale A''B''.
Calcul de la position et de la taille de A''B''
Nous utilisons de nouveau la formule de conjugaison pour L2 : 1/O2A'' - 1/O2A' = 1/f2'.
En substituant les valeurs : 1/O2A'' = 1/f2' + 1/O2A' = 1/(-0,08 m) + 1/(0,113 m) ≈ -12,5 m⁻¹ + 8,849 m⁻¹ ≈ -3,651 m⁻¹.
La position de l'image finale est O2A'' = 1 / (-3,651 m⁻¹) ≈ -0,274 m.
L'image A''B'' est donc virtuelle (O2A'' est négatif) et se forme à environ 0,274 m devant la lentille L2 (du côté de l'objet pour L2).
Pour la taille de A''B'', nous utilisons le grandissement transversal γ2 = A''B''/A'B' = O2A''/O2A'.
A''B'' = A'B' * (O2A''/O2A') = (-0,01138 m) * (-0,274 m / 0,113 m) ≈ (-0,01138 m) * (-2,425) ≈ 0,02758 m.
Soit A''B'' ≈ 2,76 cm.
L'image A''B'' est agrandie et son signe positif par rapport à A'B' indique qu'elle est de même sens que A'B'. Puisque A'B' était inversée par rapport à AB, A''B'' est également inversée par rapport à l'objet initial AB.
Remarque : Une lunette de Galilée produit généralement une image finale droite. Ici, l'image est inversée par rapport à l'objet initial car l'objet virtuel A'B' est placé à une distance de L2 qui n'est pas la configuration standard où A' est confondu avec F2 (foyer objet de L2 pour que l'image finale soit à l'infini et droite).
Calcul des diamètres apparents
Le diamètre apparent d'un objet ou d'une image est l'angle sous lequel il est vu par l'observateur.
Diamètre apparent de l'objet AB (α)
L'observateur est placé en F2, le foyer objet de la lentille L2. Pour une lentille divergente, le foyer objet F2 est virtuel et se situe à droite de L2 à une distance |f2'| de O2. La distance focale de L2 est f2' = -0,08 m, donc O2F2 = 0,08 m (distance algébrique f2 = -f2' = 0,08m).
Le centre optique O1 de L1 est le point de référence. L'objet A est à O1A = -50 m. Le centre optique O2 de L2 est à O1O2 = 0,70 m de O1.
La position du foyer F2 par rapport à O1 est O1F2 = O1O2 + O2F2 = 0,70 m + 0,08 m = 0,78 m.
La distance entre l'œil (en F2) et l'objet A est Distance(F2, A) = O1F2 - O1A = 0,78 m - (-50 m) = 50,78 m.
Le diamètre apparent α est donné par tan(α) ≈ AB / Distance(F2, A).
tan(α) = 0,70 m / 50,78 m ≈ 0,01378.
α = arctan(0,01378) ≈ 0,790°.
Diamètre apparent de l'image A''B'' (α'')
L'image finale A''B'' a une taille de 0,02758 m et est située à O2A'' = -0,274 m, c'est-à-dire à 0,274 m à gauche de O2.
L'œil est toujours en F2, qui est à 0,08 m à droite de O2.
La distance entre l'œil (en F2) et l'image A'' est Distance(F2, A'') = O2F2 + |O2A''| = 0,08 m + 0,274 m = 0,354 m.
Le diamètre apparent α'' est donné par tan(α'') ≈ A''B'' / Distance(F2, A'').
tan(α'') = 0,02758 m / 0,354 m ≈ 0,0779.
α'' = arctan(0,0779) ≈ 4,459°.
Calcul du grossissement de la lunette
Le grossissement G d'un système optique est le rapport du diamètre apparent de l'image définitive (α'') au diamètre apparent de l'objet observé (α).
G = α'' / α
En utilisant les valeurs calculées précédemment :
G = 4,459° / 0,790° ≈ 5,64.
Le grossissement de la lunette dans ces conditions est d'environ 5,64.
Utilisation de la lunette en mode non accommodant (à l'infini)
Une lunette est utilisée de manière optimale lorsque l'œil de l'observateur n'a pas besoin d'accommoder, ce qui signifie que l'image finale est formée à l'infini. Cette configuration est généralement prévue pour des objets situés très loin (à l'infini).
Distance entre les centres optiques pour une image à l'infini
Lorsque l'objet est à l'infini, la première lentille (L1, l'objectif) forme une image intermédiaire réelle dans son plan focal image F1'. Ainsi, O1A' = f1' = 0,80 m.
Pour que l'image finale donnée par la deuxième lentille (L2, l'oculaire divergent) soit à l'infini, l'image intermédiaire A'B' doit se trouver dans le plan focal objet F2 de L2. Cela signifie que A' doit coïncider avec F2.
La distance focale objet de L2 est f2 = -f2' = -(-0,08 m) = 0,08 m. Donc O2F2 = 0,08 m (le foyer objet F2 d'une lentille divergente est situé à droite de O2).
La distance entre les deux centres optiques O1 et O2, notée d, est alors :
d = O1O2 = O1F1' - O2F2 = f1' - f2 = 0,80 m - 0,08 m = 0,72 m.
La distance entre les deux lentilles est de 72 cm.
Grossissement de la lunette de Galilée pour un objet à l'infini
Dans cette configuration où l'image finale est à l'infini et l'objet est également supposé à l'infini, le grossissement angulaire d'une lunette de Galilée est donné par le rapport des distances focales de l'objectif et de l'oculaire, en valeur absolue pour l'oculaire divergent :
G = f1' / |f2'|
G = 0,80 m / |-0,08 m| = 0,80 / 0,08 = 10.
Le grossissement de la lunette est alors de 10.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une lunette de Galilée ?
Une lunette de Galilée est un type de télescope réfracteur composé de deux lentilles : un objectif convergent de grande distance focale et un oculaire divergent de courte distance focale. Elle a été inventée par Galilée au début du XVIIe siècle.
Quelle est la particularité de l'image formée par une lunette de Galilée ?
La principale particularité d'une lunette de Galilée est qu'elle produit une image finale droite (non inversée) par rapport à l'objet, ce qui la rend pratique pour l'observation terrestre. L'image est également virtuelle.
Comment calcule-t-on le grossissement d'une lunette de Galilée en conditions normales ?
Dans les conditions où l'œil n'accommode pas et l'objet est à l'infini, le grossissement angulaire G d'une lunette de Galilée est calculé comme le rapport de la distance focale de l'objectif (f1') sur la valeur absolue de la distance focale de l'oculaire (|f2'|), soit G = f1' / |f2'|.