Optique : Exercices lentille mince optique geometrique
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Ces travaux dirigés d'optique géométrique sont conçus pour les étudiants en année préparatoire intégrée (API) afin de renforcer leur compréhension des concepts fondamentaux en optique.
Exercice 1: Lentille mince
Soit L1 une lentille mince de centre optique O1 et de vergence V1 = 10 δ. Sur l'axe optique de L1, on place une source ponctuelle S à une distance O1S = -6 cm.
1. Donner la formule de conjugaison de la lentille L1 avec origine au centre optique.
Solution: La formule de conjugaison de la lentille mince L1 avec origine au centre optique O1 s'écrit :
1/O1S' - 1/O1S = 1/f'1 (1)
où O1S' est la position de l'image, O1S est la position de l'objet, et f'1 est la distance focale image de la lentille L1. La vergence V1 est définie comme l'inverse de la distance focale image, donc f'1 = 1/V1.
2. Déterminer la position de l'image S' de S à travers la lentille L1.
Solution: À partir de la formule de conjugaison de la lentille L1 avec origine au centre optique O1, on peut réarranger pour trouver O1S' :
1/O1S' = 1/f'1 + 1/O1S (2)
Application Numérique (A.N.):
- V1 = 10 δ, donc la distance focale image f'1 = 1/10 m = 10 cm.
- La position de la source S est O1S = -6 cm (le signe négatif indique que la source est placée avant la lentille, selon la convention de signe usuelle).
Calcul de O1S' :
1/O1S' = 1/10 + 1/(-6) = (3 - 5)/30 = -2/30 = -1/15.
Par conséquent, O1S' = -15 cm.
3. On place une lentille mince L2 de centre optique O2 dans le plan focal image de L1. Déterminer la distance focale image f'2 de L2 pour que le faisceau issu de S émerge parallèlement à l'axe optique après la traversée de L1 et L2.
Solution: Pour que le faisceau lumineux, après avoir traversé les deux lentilles, émerge parallèlement à l'axe optique depuis L2, il faut que l'image intermédiaire S' (formée par L1) coïncide avec le foyer objet F2 de la lentille L2. Ainsi, S' ≡ F2.
Le problème indique que le centre optique O2 de la lentille L2 est placé dans le plan focal image de L1. Cela signifie que O2 coïncide avec le foyer image F'1 de L1. Donc, O1O2 = O1F'1 = f'1.
- De la question 1, f'1 = 10 cm. Donc O1O2 = 10 cm.
- De la question 2, O1S' = -15 cm.
La distance entre O2 et S' est O2S' = O2O1 + O1S'. Selon la convention de signe, O2O1 = -O1O2.
O2S' = -10 cm + (-15 cm) = -25 cm.
Puisque S' ≡ F2, la distance focale objet de L2 est f2 = O2F2 = O2S' = -25 cm.
Pour une lentille mince, la distance focale image f'2 est l'opposé de la distance focale objet f2 (f'2 = -f2).
Donc, f'2 = -(-25 cm) = 25 cm.
4. La lentille L2 est-elle convergente ou divergente ? Justifier.
Solution: La lentille L2 est une lentille convergente car sa distance focale image f'2 = 25 cm est positive. Une distance focale image positive est caractéristique des lentilles convergentes. Sa vergence V2 = 1/f'2 = 1/0,25 m = 4 δ est également positive.
5. Placer sur une figure les lentilles L1 et L2, la source S, ainsi que la marche de quelques rayons issus de S.
Solution: Une construction géométrique permettrait de visualiser le positionnement des lentilles L1 et L2, de la source S, de l'image intermédiaire S' et la trajectoire des rayons lumineux qui émergent parallèlement après L2.
Exercice 2: Prisme
Un prisme isocèle d'angle au sommet A et d'indice de réfraction n = 1,54 repose par sa base BC sur un miroir.
1. Exprimer la relation entre les angles i et r d'une part et i' et r' d'autre part.
Solution: D'après les lois de Snell-Descartes pour la réfraction aux points d'entrée I et de sortie I' du prisme :
sin(i) = n × sin(r)
sin(i') = n × sin(r') (1)
où i est l'angle d'incidence et r l'angle de réfraction à l'entrée, et i' l'angle d'émergence et r' l'angle de réfraction à la sortie.
2. Exprimer la relation entre les angles r, r' et A.
Solution: Considérons le quadrilatère formé par le sommet A du prisme, les points d'incidence I et d'émergence I', et le point d'intersection O des normales aux faces du prisme en I et I'. La somme des angles d'un quadrilatère est 360°. Les angles entre les normales et les faces sont de 90° en I et I'. L'angle A du prisme est également l'angle entre les faces. Géométriquement, les angles internes r et r' sont liés à l'angle A du prisme par la relation :
A = r + r' (4)
3. Exprimer les déviations DI et DI' que subit le rayon incident lors de sa traversée de la face d'entrée en I et de sortie en I'.
Solution: Le rayon incident subit une déviation DI = i - r lorsqu'il pénètre le prisme en I. Il subit une déviation supplémentaire DI' = i' - r' lorsqu'il émerge en I'.
4. Exprimer la déviation totale D introduite par le prisme sur la direction de propagation du rayon incident en fonction de i, i' et A.
Solution: La déviation totale D introduite par le prisme est la somme des déviations à l'entrée et à la sortie :
D = DI + DI' = (i - r) + (i' - r') (5)
En utilisant la relation A = r + r' (de la question 2), nous pouvons remplacer (r + r') par A :
D = i + i' - (r + r') = i + i' - A (6)
5. En dérivant les expressions des questions 1, 2 et 4 par rapport à i, montrer que D présente un minimum, noté Dm, pour i = i' = im.
Solution:
- Dérivons l'équation sin(i) = n × sin(r) par rapport à i :
cos(i) = n × cos(r) × (dr/di) ⇒ dr/di = cos(i) / (n × cos(r)) (7a) - Dérivons l'équation sin(i') = n × sin(r') par rapport à i :
cos(i') × (di'/di) = n × cos(r') × (dr'/di) (7b) - Dérivons l'équation A = r + r' (où A est une constante) par rapport à i :
0 = dr/di + dr'/di ⇒ dr'/di = -dr/di (9)
En substituant l'expression de dr'/di de (9) dans (7b), on obtient :
cos(i') × (di'/di) = n × cos(r') × (-dr/di)
Ensuite, en substituant dr/di de (7a) dans cette dernière expression :
di'/di = - [n × cos(r') / cos(i')] × [cos(i) / (n × cos(r))] = - (cos(i) × cos(r')) / (cos(i') × cos(r)) (11)
Maintenant, dérivons la déviation totale D = i + i' - A par rapport à i :
dD/di = 1 + di'/di (12)
Substituons l'expression de di'/di (11) dans (12) :
dD/di = 1 - (cos(i) × cos(r')) / (cos(i') × cos(r)) (13)
La déviation D passe par un minimum (Dm) lorsque sa dérivée par rapport à i est nulle (dD/di = 0), ce qui implique :
1 - (cos(i) × cos(r')) / (cos(i') × cos(r)) = 0
D'où :
cos(i) × cos(r') = cos(i') × cos(r) (15)
En élevant au carré les deux membres de cette égalité :
cos2(i) × cos2(r') = cos2(i') × cos2(r) (16)
En utilisant l'identité trigonométrique cos2(x) = 1 - sin2(x) :
(1 - sin2(i)) × (1 - sin2(r')) = (1 - sin2(i')) × (1 - sin2(r)) (17)
Puis, en remplaçant sin(r) = sin(i)/n et sin(r') = sin(i')/n (d'après les lois de Snell-Descartes) :
(1 - sin2(i)) × (1 - sin2(i')/n2) = (1 - sin2(i')) × (1 - sin2(i)/n2) (18)
En développant et simplifiant les termes similaires de chaque côté de l'équation, on obtient :
sin2(i) = sin2(i') (19)
Étant donné que i et i' sont des angles d'incidence et d'émergence physiques (donc positifs), cette égalité implique que :
i = i' (20)
Donc, la déviation D passe par un minimum Dm si et seulement si l'angle d'incidence est égal à l'angle d'émergence. La solution i = -i' n'est pas physiquement acceptable car elle impliquerait r = -r', d'où A = r + r' = 0, ce qui est impossible pour un prisme.
6. Exprimer Dm en fonction de im et A.
Solution: D'après la question précédente, la déviation D passe par un minimum Dm lorsque l'angle d'incidence i est égal à l'angle d'émergence i', que l'on note im. En substituant i et i' par im dans l'expression de la déviation totale D :
Dm = im + im - A = 2im - A (21)
7. Exprimer l'angle u en fonction de i' et A.
Solution: Le prisme étant isocèle, les angles à la base sont égaux : B = C. Puisque la somme des angles d'un triangle est 180°, A + B + C = 180°, ce qui donne C = (180° - A)/2.
L'angle u est l'angle de réflexion du rayon sur le miroir par rapport à la normale au miroir. En considérant la géométrie du rayon émergent (angle i') et la position du miroir à la base du prisme, et en utilisant les propriétés des angles d'un triangle (par exemple, le triangle formé par le point de sortie I', le point de réflexion L et le sommet C du prisme), on peut établir la relation :
u = 90° + A/2 - i' (25)
8. Exprimer la déviation finale D' que fait le rayon réfléchi (LM) avec le rayon incident (SI).
Solution: Au point L, le rayon subit une réflexion sur le miroir, ce qui introduit une déviation supplémentaire de 180° - 2u. La déviation finale D' de la direction du rayon incident initial (SI) par rapport au rayon réfléchi final (LM) est alors :
D' = D - (180° - 2u) (26)
En remplaçant D par (i + i' - A) et u par (90° + A/2 - i') :
D' = (i + i' - A) - (180° - 2(90° + A/2 - i'))
D' = (i + i' - A) - (180° - (180° + A - 2i'))
D' = (i + i' - A) - (-A + 2i')
D' = i + i' - A + A - 2i'
D' = i - i' (27)
9. Dans quelle condition la déviation D' est-elle nulle ?
Solution: D'après l'expression D' = i - i', la déviation finale D' est nulle lorsque i - i' = 0, c'est-à-dire pour i = i'. Cette condition correspond exactement à celle où la déviation totale D du prisme passe par son minimum Dm, soit pour i = i' = im.
Exercice 3: Loupe
Une loupe a pour distance focale 2,5 cm.
1. Déterminer sa puissance intrinsèque et son grossissement commercial.
Solution:
- Puissance intrinsèque (Pi):
- Grossissement commercial (Gc):
La distance focale image de la loupe est f'L = 2,5 cm = 0,025 m.
La puissance intrinsèque est définie comme l'inverse de la distance focale image :
Pi = 1/f'L = 1/0,025 = 40 dioptries (δ).
Le grossissement commercial est une grandeur sans unité qui représente le grossissement pour un œil normal observant l'image à la distance minimale de vision distincte (dm), conventionnellement fixée à 25 cm (0,25 m).
Gc = Pi × dm = 40 × 0,25 = 10.
2. La plus petite distance de deux points qu'elle permet de distinguer, sachant que l'objet est dans le plan focal objet et que le pouvoir séparateur de l'œil est de 3×10-4 rad.
Solution: Lorsque l'objet (AB) est placé dans le plan focal objet de la loupe, l'image est formée à l'infini, et les rayons émergents sont parallèles à l'axe optique, formant un angle α' avec celui-ci.
Le diamètre apparent α' sous lequel sont vus les images des deux points A et B à travers la loupe est, pour les petits angles, donné par la relation :
α' = AB/f'L
Pour que l'œil puisse distinguer ces deux points, cet angle α' doit être au moins égal au pouvoir séparateur de l'œil, qui est de 3×10-4 rad.
Nous pouvons alors calculer la plus petite distance AB :
AB = f'L × α'
Application Numérique:
- f'L = 2,5 cm = 0,025 m.
- α' = 3×10-4 rad.
AB = 0,025 m × 3×10-4 rad = 7,5×10-6 m = 7,5 μm.
Exercice 4: Microscope
Un microscope est constitué d'un objectif qui forme une image agrandie de l'objet observé et d'un oculaire utilisé par l'œil comme une loupe. On considère un microscope dont les caractéristiques sont les suivantes : distance focale de l'objectif f'1 = 10 mm, distance focale de l'oculaire f'2 = 30 mm, distance entre le point focal image de l'objectif et le point focal objet de l'oculaire L = 15 cm. On suppose que le microscope est réglé pour une vision sans accommodation.
1. Calculer la puissance intrinsèque et le grossissement commercial de ce microscope.
Solution:
- Puissance intrinsèque (Pi) du microscope :
- f'1 = 10 mm = 0,01 m.
- f'2 = 30 mm = 0,03 m.
- L = 15 cm = 0,15 m.
- Grossissement commercial (Gc) :
La puissance intrinsèque d'un microscope, réglé pour une vision sans accommodation, est donnée par la formule :
Pi = L / (f'1 × f'2)
Application Numérique:
Pi = 0,15 / (0,01 × 0,03) = 0,15 / 0,0003 = 500 δ.
Le grossissement commercial d'un microscope est le produit de sa puissance intrinsèque par la distance minimale de vision distincte de l'œil (dm), soit 25 cm ou 0,25 m.
Gc = Pi × dm = 500 × 0,25 = 125.
2. Quelle est la distance de l'objet à l'objectif ?
Solution: Le microscope est réglé pour une vision sans accommodation, ce qui signifie que l'image finale (A'B') est formée à l'infini. Pour cela, l'image intermédiaire (A1B1), formée par l'objectif L1, doit se situer dans le plan focal objet de l'oculaire L2 (c'est-à-dire A1 ≡ F2).
La distance L est définie comme l'intervalle optique, soit la distance entre le foyer image de l'objectif (F'1) et le foyer objet de l'oculaire (F2). Donc L = F'1F2.
La position de l'image intermédiaire A1 par rapport au centre optique de l'objectif O1 est O1A1 = O1F'1 + F'1F2 = f'1 + L.
- f'1 = 10 mm = 1 cm.
- L = 15 cm.
Donc, O1A1 = 1 cm + 15 cm = 16 cm.
Pour la lentille objectif L1, nous utilisons la formule de conjugaison : 1/O1A1 - 1/O1A = 1/f'1.
Nous cherchons la position de l'objet O1A :
1/O1A = 1/O1A1 - 1/f'1.
1/O1A = 1/16 - 1/1 = (1 - 16)/16 = -15/16.
Par conséquent, O1A = -16/15 cm ≈ -1,067 cm.
La distance de l'objet à l'objectif est la valeur absolue de O1A, soit |O1A| ≈ 1,067 cm.
3. Dans ces conditions, calculer le grandissement de l'objectif, la puissance et le grossissement de l'oculaire. Retrouver la puissance et le grossissement calculés en 1.
Solution:
- Grandissement de l'objectif (γ1):
- Puissance de l'oculaire (P2):
- Grossissement de l'oculaire (G2):
- Vérification de la puissance et du grossissement totaux :
Le grandissement transversal de l'objectif est donné par γ1 = O1A1 / O1A.
γ1 = 16 cm / (-16/15 cm) = -15.
En valeur absolue, le grandissement est |γ1| = 15. Une autre formule courante pour ce réglage est γ1 = -L/f'1, ce qui donne γ1 = -0,15 m / 0,01 m = -15.
La puissance de l'oculaire est l'inverse de sa distance focale image : P2 = 1/f'2.
f'2 = 30 mm = 0,03 m.
P2 = 1/0,03 ≈ 33,33 δ.
Le grossissement de l'oculaire, utilisé comme une loupe réglée pour une vision sans accommodation, est G2 = dm/f'2, où dm = 25 cm = 0,25 m.
G2 = 0,25 / 0,03 ≈ 8,33.
La puissance intrinsèque totale du microscope peut être retrouvée par le produit du grandissement de l'objectif et de la puissance de l'oculaire :
Pi,total = |γ1| × P2 = 15 × 33,33 ≈ 499,95 δ, ce qui confirme la valeur de 500 δ calculée en question 1.
Le grossissement commercial total est le produit du grandissement de l'objectif (en valeur absolue) et du grossissement de l'oculaire :
Gc,total = |γ1| × G2 = 15 × 8,33 ≈ 124,95, ce qui confirme la valeur de 125 calculée en question 1.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une vergence et comment est-elle liée à la distance focale d'une lentille ?
La vergence (V) d'une lentille est une mesure de sa capacité à faire converger ou diverger les rayons lumineux. Elle s'exprime en dioptries (δ) et est définie comme l'inverse de la distance focale image (f') de la lentille, exprimée en mètres. Pour une lentille convergente, la vergence est positive (f' > 0), et pour une lentille divergente, elle est négative (f' < 0). Elle permet d'évaluer directement la "puissance" optique d'une lentille.
Quelle est la condition pour obtenir une déviation minimale avec un prisme et pourquoi est-elle importante ?
La déviation minimale (Dm) pour un prisme se produit lorsque le rayon lumineux traverse le prisme symétriquement, c'est-à-dire quand l'angle d'incidence (i) est égal à l'angle d'émergence (i'). Dans cette configuration, le rayon interne est parallèle à la base du prisme (pour un prisme isocèle). La condition de déviation minimale est particulièrement importante car elle permet de déterminer avec une grande précision l'indice de réfraction du matériau du prisme, et elle minimise les aberrations chromatiques et sphériques.
Comment calcule-t-on la puissance intrinsèque et le grossissement commercial d'un microscope ?
La puissance intrinsèque (Pi) d'un microscope est calculée par la formule Pi = L / (f'objectif × f'oculaire), où L est l'intervalle optique (la distance entre le foyer image de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire) et f' représentent les distances focales images de l'objectif et de l'oculaire, toutes exprimées en mètres. Le grossissement commercial (Gc) est ensuite obtenu en multipliant la puissance intrinsèque par la distance minimale de vision distincte de l'œil (dm), généralement fixée à 0,25 mètre.