Optique : Exercices optique fibre a saut d'indice
Télécharger PDFLa Fibre Optique à Saut d'Indice : Principes et Calculs
Une fibre optique à saut d'indice est constituée d'un cœur cylindrique entouré d'une gaine.
1. Vitesse de la lumière dans le cœur
Le cœur de la fibre a un indice de réfraction nC = 1,48. Calculez la vitesse de la lumière dans le cœur.
La vitesse de la lumière dans un milieu est donnée par la formule v = c0 / n, où c0 est la vitesse de la lumière dans le vide (environ 300 000 km/s) et n est l'indice de réfraction du milieu.
v = c0 / nC ≈ 300 000 km/s / 1,48 ≈ 203 000 km/s.
2. Condition de Réflexion Totale Interne
Pour que la lumière puisse se propager correctement dans la fibre optique, une réflexion totale est nécessaire à l'interface entre le cœur et la gaine. Expliquez pourquoi et déterminez les conditions sur les angles i', r, et i.
L'indice de la gaine est ng = 1,46.
La réflexion totale interne est essentielle pour confiner la lumière à l'intérieur du cœur de la fibre et éviter les pertes d'énergie. Si la lumière s'échappait dans la gaine, le signal serait affaibli ou perdu.
La réflexion totale en I se produit si l'angle d'incidence i' (à l'interface cœur-gaine) est supérieur à l'angle critique i'C.
L'angle critique est défini par sin(i'C) = ng / nC.
Calcul de l'angle critique : sin(i'C) = 1,46 / 1,48 ≈ 0,9865. Donc i'C ≈ arcsin(0,9865) ≈ 80,6°.
Condition sur i' : Pour avoir réflexion totale, i' > 80,6°.
Dans la géométrie typique d'une fibre, l'angle i' et l'angle de réfraction r (à l'entrée de la fibre) sont complémentaires : i' + r = 90°. Par conséquent, si i' > 80,6°, alors r < 90° - 80,6° = 9,4°.
Condition sur r : r < 9,4°.
En utilisant la loi de Snell-Descartes à l'entrée de la fibre (air vers cœur) : sin(i) = nC * sin(r).
Condition sur i : sin(i) < nC * sin(9,4°) = 1,48 * sin(9,4°) ≈ 1,48 * 0,163 ≈ 0,241. Donc i < arcsin(0,241) ≈ 14,0°.
3. Calcul de l'Ouverture Numérique (ON)
L'ouverture numérique (ON) de la fibre est définie comme le sinus de l'angle d'incidence maximal (imax) pour lequel les rayons qui pénètrent dans le cœur sont transmis jusqu'à la sortie. Calculez la valeur de l'ON.
L'angle d'incidence maximal imax correspond à la condition limite de réflexion totale interne. D'après le calcul précédent, imax ≈ 14,0°.
ON = sin(imax) = sin(14,0°) ≈ 0,24.
4. Démonstration de la formule de l'Ouverture Numérique
Démontrez que l'ouverture numérique peut aussi s'écrire : ON = √(nC2 - ng2).
Nous savons que ON = sin(imax).
À l'entrée de la fibre (air vers cœur), selon la loi de Snell-Descartes : sin(i) = nC * sin(r). Pour l'angle maximal imax, nous avons sin(imax) = nC * sin(rmax).
À l'interface cœur-gaine, l'angle d'incidence i' est l'angle critique i'C lorsque r = rmax. Les angles r et i' sont complémentaires : rmax + i'C = 90°, donc rmax = 90° - i'C.
Alors, sin(rmax) = sin(90° - i'C) = cos(i'C).
Nous avons donc ON = nC * cos(i'C).
De la définition de l'angle critique, sin(i'C) = ng / nC.
En utilisant l'identité trigonométrique sin2(x) + cos2(x) = 1, nous pouvons écrire cos(i'C) = √(1 - sin2(i'C)).
Substituons sin(i'C) : cos(i'C) = √(1 - (ng / nC)2) = √((nC2 - ng2) / nC2) = (√(nC2 - ng2)) / nC.
Maintenant, substituons cos(i'C) dans l'expression de ON :
ON = nC * ((√(nC2 - ng2)) / nC) = √(nC2 - ng2).
Ceci démontre la formule alternative de l'ouverture numérique.
5. Temps de Propagation et Débit d'Information
La fibre a une longueur totale L = 1 km. La vitesse de la lumière dans le vide est c0 ≈ 300 000 km/s.
5.1. Durée du trajet pour une incidence normale
Considérons un rayon incident qui entre dans la fibre en incidence normale (i = 0). Calculez la durée du trajet de la lumière jusqu'à la sortie.
Lorsque l'incidence est normale (i = 0), le rayon se propage en ligne droite le long de l'axe de la fibre. La distance parcourue est L.
La vitesse de la lumière dans le cœur est v = c0 / nC.
La durée du trajet t1 = L / v = L / (c0 / nC) = (L * nC) / c0.
Application numérique : t1 = (1 km * 1,48) / 300 000 km/s ≈ 4,93 x 10-6 s = 4,93 μs.
5.2. Durée du trajet pour l'angle d'incidence maximal
Même question avec l'angle d'incidence imax.
Pour un rayon à l'angle d'incidence maximal imax, la réflexion totale se produit à l'angle critique i'C à l'interface cœur-gaine. L'angle de propagation du rayon à l'intérieur du cœur par rapport à l'axe de la fibre est rmax = 90° - i'C.
La distance réelle parcourue par la lumière à l'intérieur du cœur est L / cos(rmax). Or, cos(rmax) = cos(90° - i'C) = sin(i'C).
Donc, la distance parcourue est L / sin(i'C).
La durée du trajet t2 = (L / sin(i'C)) / v = (L / sin(i'C)) / (c0 / nC) = (L * nC) / (c0 * sin(i'C)).
Puisque sin(i'C) = ng / nC, nous pouvons substituer :
t2 = (L * nC) / (c0 * (ng / nC)) = (L * nC2) / (c0 * ng).
Application numérique : t2 = (1 km * 1,482) / (300 000 km/s * 1,46) ≈ 5,00 x 10-6 s = 5,00 μs.
5.3. Différence de durée de propagation (Dispersion Modale)
Vérifiez que la différence entre les deux durées précédentes peut s'écrire : Δt = (L * nC * (nC - ng)) / (c0 * ng). Faites l'application numérique.
Δt = t2 - t1 = (L * nC2) / (c0 * ng) - (L * nC) / c0.
Mettons L * nC / c0 en facteur : Δt = (L * nC / c0) * (nC / ng - 1).
Simplifions l'expression entre parenthèses : nC / ng - 1 = (nC - ng) / ng.
Donc, Δt = (L * nC * (nC - ng)) / (c0 * ng).
Application numérique : Δt = (1 km * 1,48 * (1,48 - 1,46)) / (300 000 km/s * 1,46) = (1 * 1,48 * 0,02) / (300 000 * 1,46) ≈ 6,75 x 10-8 s ≈ 68 ns.
Cette différence de temps est appelée dispersion modale et elle est une caractéristique importante des fibres à saut d'indice, limitant leur débit d'information.
5.4. Application à la transmission d'information
En entrée de la fibre, une diode laser émet des impulsions lumineuses. Ces impulsions correspondent au codage binaire d'une information numérique. Quelle durée τ doit séparer deux impulsions successives pour qu'elles ne se superposent pas à la sortie de la fibre ? Déduisez-en le débit maximal (en bits par seconde) de cette fibre optique.
Pour éviter que les impulsions ne se superposent à la sortie en raison de la dispersion modale, la durée minimale τ séparant deux impulsions doit être supérieure ou égale à la différence de durée maximale Δt.
Donc, τ > Δt = 68 ns.
Le débit maximal (en bits par seconde) est l'inverse de cette durée minimale de séparation des impulsions.
Débit maximal = 1 / Δt = 1 / (68 x 10-9 s) ≈ 14 705 882 bits/s ≈ 14,7 Mbit/s.
En pratique, on utilise souvent 1/Δt comme estimation du débit maximal, mais des techniques de modulation peuvent permettre de dépasser cette limite apparente en gérant la dispersion.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce qu'une fibre optique à saut d'indice ?
Une fibre optique à saut d'indice est un type de fibre où l'indice de réfraction du cœur est uniforme et nettement supérieur à celui de la gaine qui l'entoure. Ce "saut" brusque d'indice permet de confiner la lumière par réflexion totale interne.
Pourquoi la réflexion totale est-elle cruciale dans une fibre optique ?
La réflexion totale est cruciale car elle permet à la lumière de rester piégée à l'intérieur du cœur de la fibre. Sans elle, la lumière s'échapperait dans la gaine, entraînant une perte significative du signal optique et une transmission inefficace.
Qu'est-ce que la dispersion modale et comment affecte-t-elle le débit ?
La dispersion modale est le phénomène où différents modes de lumière (rayons lumineux avec des angles de propagation légèrement différents) parcourent des chemins de longueurs différentes à l'intérieur de la fibre, arrivant à la sortie à des moments différents. Cela provoque un étalement temporel des impulsions lumineuses. Plus la dispersion modale est grande, plus les impulsions doivent être espacées pour éviter de se superposer, ce qui réduit le débit maximal d'informations que la fibre peut transporter.