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Optique : Exercices optique loupe

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Optique : Le Grossissement Commercial d'une Loupe

Par définition, le diamètre apparent d'un objet est l'angle sous lequel cet objet est perçu par l'œil de l'observateur.

1. Calcul du diamètre apparent à l'œil nu

Pour un timbre de 30 mm observé à l'œil nu à une distance de 250 mm (cette distance est la distance minimale de vision distincte conventionnelle, notée D_v), le diamètre apparent θ (en degrés) peut être calculé. Nous utilisons la fonction tangente :

tan θ = (taille de l'objet) / (distance d'observation)

tan θ = 30 mm / 250 mm = 0,12

Pour trouver l'angle θ :

θ = arctan(0,12) ≈ 6,84°

2. Observation du timbre à travers une loupe

Nous observons le même timbre à travers une loupe dont la distance focale f' est de +100 mm. Le timbre est positionné dans le plan focal objet de la loupe.

Dans cette configuration spécifique, l'image du timbre formée par la loupe possède les caractéristiques suivantes : elle est située à l'infini, elle est virtuelle, droite et agrandie. L'image se forme à l'infini, ce qui permet à l'œil de l'observateur de l'observer sans fatigue.

Pour calculer le diamètre apparent θ' (en degrés) de l'image vue à travers la loupe :

tan θ' = (taille de l'objet) / (distance focale de la loupe)

tan θ' = 30 mm / 100 mm = 0,30

Pour trouver l'angle θ' :

θ' = arctan(0,30) ≈ 16,70°

3. Démonstration de la formule du grossissement commercial

Le grossissement commercial G d'une loupe est défini comme le rapport du diamètre apparent de l'image observée à travers la loupe (θ') sur le diamètre apparent de l'objet observé à l'œil nu à la distance minimale de vision distincte (θ).

G = θ' / θ

Lorsqu'il s'agit de petits angles (ce qui est souvent le cas en optique pour des champs de vision limités), on peut utiliser l'approximation des petits angles, où tan α ≈ α (si α est exprimé en radians). Ainsi :

G ≈ (tan θ') / (tan θ)

Nous avons établi que :

Pour l'observation à l'œil nu : tan θ = h / D_v, où h est la taille de l'objet et D_v est la distance minimale de vision distincte (conventionnellement 250 mm).
Pour l'observation avec la loupe (objet au foyer objet) : tan θ' = h / f', où h est la taille de l'objet et f' est la distance focale de la loupe.

En remplaçant ces expressions dans la formule du grossissement :

G ≈ (h / f') / (h / D_v)

En simplifiant par h :

G ≈ D_v / f'

Si l'on utilise la valeur conventionnelle de D_v = 250 mm = 0,25 m, et que la distance focale f' est exprimée en mètres, la formule devient :

G = 0,25 / f'

Ce qui peut également s'écrire sous la forme proposée :

G = 1 / (4f')

Cette relation met en évidence l'inverse proportionnalité entre le grossissement commercial et la distance focale de la loupe.

4. Calcul du grossissement commercial de la loupe

En utilisant la distance focale de la loupe f' = +100 mm = 0,1 m et la formule démontrée :

G = 0,25 / f'

G = 0,25 / 0,1

G = 2,5

Le grossissement commercial de cette loupe est donc de 2,5.

5. Preuve de la nature convergente de la loupe et de sa vergence minimale

Pour qu'un instrument optique agisse comme une loupe, il doit augmenter le diamètre apparent de l'objet, c'est-à-dire que son grossissement G doit être supérieur à 1 (G > 1).

En reprenant la formule du grossissement commercial :

G = 0,25 / f' > 1

Pour que le grossissement soit positif (image droite), la distance focale f' doit être positive. Une lentille avec une distance focale positive est une lentille convergente.

De l'inégalité 0,25 / f' > 1, nous pouvons déduire que :

0,25 > f'

Donc, f' < 0,25 m (ce qui équivaut à f' < 250 mm).

La vergence V d'une lentille est définie comme l'inverse de sa distance focale, V = 1 / f' (où f' est en mètres). Si f' < 0,25 m, alors :

V > 1 / 0,25

V > 4 dioptries (δ)

Il est ainsi démontré qu'une loupe doit être une lentille nécessairement convergente et posséder une vergence minimale d'au moins +4 dioptries pour produire un grossissement efficace.

Foire aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le diamètre apparent d'un objet ?

Le diamètre apparent d'un objet représente l'angle sous lequel l'œil de l'observateur perçoit cet objet. Il est déterminé par la taille réelle de l'objet et la distance qui le sépare de l'observateur. Un objet paraîtra plus grand s'il est de grande taille et/ou très proche.

Comment est défini le grossissement commercial d'une loupe ?

Le grossissement commercial d'une loupe est un rapport. Il compare le diamètre apparent de l'image d'un objet observé à travers la loupe (lorsque l'objet est placé au foyer objet de la loupe) au diamètre apparent du même objet observé à l'œil nu, à la distance conventionnelle de 250 mm (la distance minimale de vision distincte).

Pourquoi une loupe doit-elle être une lentille convergente et posséder une vergence minimale ?

Une loupe doit être une lentille convergente (f' > 0) car seules ces lentilles peuvent former une image virtuelle, droite et agrandie lorsque l'objet est positionné de manière appropriée (entre le foyer objet et la lentille, ou au foyer objet). Pour obtenir un grossissement (G > 1), la distance focale de la loupe (f') doit être inférieure à 0,25 mètre. Par conséquent, sa vergence (V = 1/f') doit être supérieure à 4 dioptries, garantissant ainsi son pouvoir grossissant.