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Optique : Td 4 interférences bi miroir de fresnel

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Problème : Étude du bi-miroir de Fresnel

À l’aide d’un bi-miroir de Fresnel, une onde monochromatique de longueur d’onde λ₀ = 632,8 nm dans le vide, émise par une source S ponctuelle de rayonnement électromagnétique, est divisée en deux ondes d’égale amplitude. Le miroir M₁ fait un angle α avec le miroir M₂, obéissant à l’approximation des petits angles (figure n°1).

Figure n°1 : Principe de l’interféromètre avec le bi-miroir de Fresnel

Les sources S₁ et S₂, ponctuelles aussi, sont les images virtuelles de la source réelle S, ponctuelle elle-même, formées respectivement par les miroirs plans M₁ et M₂. Ici, la source S n’est autre que la tache focale d’une lentille convergente de 5 mm de distance focale. Les sources ponctuelles S₁ et S₂ se comportent alors comme des sources secondaires. On observe des franges d’interférence tout au long de la zone de recouvrement des deux ondes sur un écran situé sur l’axe Oz entre les miroirs et l’infini. Les sources ponctuelles S, S₁ et S₂ sont situées sur un cercle de rayon R et de centre O. Les champs électriques des deux ondes sont les suivants :

E₁(r₁,t) = E₀ cos(ωt - kr₁)u et E₂(r₂,t) = E₀ cos(ωt - kr₂)u

où E₀ est l’amplitude maximale de l’onde incidente de la source S. L’onde E₁(r₁,t) apparaît comme si elle se propage de S₁ jusqu’à un point M quelconque situé sur l’axe Ox sur l’écran, et l’onde E₂(r₂,t) de S₂ jusqu’au même point M. La largeur à mi-hauteur Δf du spectre du laser He-Ne est égale à 1500 MHz.

Question 1

Écrire l’expression du champ résultant E(r,t) en M sur l’écran.

Question 2

Exprimer I sur l’écran en fonction de E₀, (ωt - kr₁) et (ωt - kr₂).

Question 3

Calculer la valeur moyenne temporelle <E²> et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : I = I₀(1 + cos φ) où I₀ = 4E₀², et φ = kδ avec δ = r₂ - r₁.

Question 4

En général, les interférences constructives se produisent aux points où la différence de marche δ = mλ₀ et les interférences destructives aux points où δ = (m + 1/2)λ₀ où m = 0, ±1, ±2, ... Calculer l’intensité I à ces points singuliers. Que représentent-ils ? Quel est l’ordre d’interférence de la dernière frange ?

Question 5

Quelle serait la valeur relative I/I₀ à δ = 5,25λ₀ ?

Question 6

Tracez dans le plan Oxy le profil des franges d’interférence et y placer le point correspondant à δ = 5,25λ₀.

Par souci de clarté, l’angle α est exagérément agrandi sur la figure n°1. C’est d’ailleurs l’existence de cet angle α qui introduit la différence de marche δ entre les rayons en fonction de la position du point M sur l’écran. Dans ces conditions, l’interféromètre avec le bi-miroir de Fresnel se réduit au schéma équivalent suivant (figure n°2) :

Figure n°2 : Schéma équivalent de l’interféromètre

Les franges d’interférence sont parallèles à l’axe Oy : la coordonnée y est donc un invariant de la figure de franges d’interférence. La différence de marche entre E₁(r₁,t) et E₂(r₂,t) depuis les points S₁ et S₂ jusqu’au point M sur l’écran est montrée sur la figure n°2. L’expression de la différence de marche est : δ = r₂ - r₁ = MS₂ - MS₁. Les sources S₁ et S₂ sont séparées d’une distance a et l’écran est perpendiculaire à l’axe Oz.

Question 7

Démontrer que δ = xa/d₀. Indications incontournables : r₁ = (x - a/2)u_x + d₀u_z et r₂ = (x + a/2)u_x + d₀u_z. On mettra d₀ en facteur et on fera un Développement Limité : (1+X)^α ≈ 1+αX.

Question 8

La coordonnée y est un invariant de la figure de franges d’interférence et par conséquent, les franges sont symétriques par rapport à l’axe Ox comme on peut le constater en faisant déplacer le point M sur une droite quelconque parallèlement à l’axe Oy. Par exemple, en faisant varier la position du point M sur l’axe des abscisses x à y=0, cela permet de décrire tous les points de la figure de franges d’interférence ce qui donne lieu à des interférences constructives (franges brillantes) et destructives (franges sombres). Des franges parallèles, brillantes et sombres peuvent être alors observées sur l’écran. Précisez les coordonnées cartésiennes de la frange centrale.

Question 9

Montrer que le déphasage φ au point M entre les deux ondes peut se mettre sous la forme suivante : φ = (2π/λ₀) * (ax/d₀). Indication : Lorsque α → 0, approximativement tg(α) ≈ α.

Question 10

Calculer l’interfrange i = x_m+1 - x_m en fonction de λ₀, d₀, a et en déduire l’expression de l’angle α.

Pour le reste du problème, on admet que i = λ₀ d₀ / a.

Question 11

L’angle α = Cte. Comment varie i en fonction de d₀, par exemple quand l’écran s’éloigne du bi-miroir de Fresnel ?

Question 12

La distance entre les sources S₁ et S₂ d’une part et l’écran d’autre part est fixée une fois pour toutes : d₀ = (275 ± 1) cm. Décrire comment i varie quand on fait varier l’angle α, par exemple en faisant tourner la vis moletée de M₁ ou M₂.

L’écran est situé à (2,75 m ± 1 cm) du bi-miroir. La distance mesurée entre la frange d’ordre 0 et la frange sombre d’ordre 20 est égale à (30 ± 1) mm. Cette distance est exactement égale à la distance entre les franges brillantes d’ordres 0 et 20. Le profil des franges d’interférence selon l’axe Ox est illustré sur un graphique. La valeur du rayon R = (150 ± 2) mm.

Question 13

Calculer, en minute d’arc, l’angle α entre les deux miroirs M₁ et M₂. Calculer l’incertitude Δα. Présenter l’angle α et son incertitude Δα sous la forme suivante : α = (......′ ......′′ ± ......′ ......′′).

Question 14

En fait, l’angle α dépend de 4 variables λ₀, d₀, i, et R. Calculer l’angle α et son incertitude Δα sous la forme suivante : α = (......′ ......′′ ± ......′ ......′′).

Question 15

Le schéma équivalent de l’interféromètre du bi-miroir de Fresnel permettant de faire les mesures des paramètres R, d', d₀, i est donné. Avec f = 20 cm et p' = 250 cm, quelle est la distance Y entre les images réelles S'₁ et S'₂ des deux sources virtuelles S₁ et S₂ ? Démontrer que Y = f(p'-f)/a.

Questions générales

Question 16

S’agit-il d’interférences localisées ou d’interférences non localisées ? Justifier.

Question 17

S’agit-il d’un interféromètre par division d’amplitude ou d’un interféromètre par division de front d’onde ? Expliquer pourquoi.

Question 18

Les ondes E₁(r₁,t) et E₂(r₂,t) remplissent-elles les 4 conditions d’interférences ? Appuyer vos réponses par des calculs justificatifs quand cela est possible.

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce que le bi-miroir de Fresnel ?

Le bi-miroir de Fresnel est un dispositif optique utilisé pour produire des franges d'interférence lumineuse à partir d'une seule source de lumière. Il se compose de deux miroirs plans inclinés d'un petit angle l'un par rapport à l'autre, créant deux images virtuelles de la source originale, lesquelles agissent comme des sources cohérentes pour l'interférence.

Quelles sont les conditions pour observer des interférences lumineuses ?

Pour observer des interférences lumineuses stables et visibles, quatre conditions principales doivent être remplies : les sources doivent être cohérentes (maintenir une relation de phase constante), quasi-monochromatiques (avoir une longueur d'onde bien définie), avoir une différence de marche appropriée (ni trop grande, ni trop petite) et être d'amplitudes comparables.

Comment calcule-t-on l'interfrange dans une expérience d'interférence ?

L'interfrange (i) représente la distance entre deux franges lumineuses consécutives ou deux franges sombres consécutives. Dans le cas du bi-miroir de Fresnel, et pour de petits angles, l'interfrange est généralement calculée par la formule i = λ₀d₀/a, où λ₀ est la longueur d'onde de la lumière, d₀ est la distance entre les sources virtuelles et l'écran, et a est la distance entre les deux sources virtuelles.