Optique : Td 64 14 optique methode de bessel
Télécharger PDFLa Méthode de Bessel pour la Détermination de la Distance Focale des Lentilles Convergentes
La méthode de Bessel est une technique optique classique utilisée pour mesurer la distance focale d'une lentille convergente sans avoir besoin de connaître la position exacte de ses foyers. Elle repose sur l'observation des images formées sur un écran par un objet réel, en ajustant la position de la lentille.
Pour cette méthode, un objet lumineux A (réel) et un écran sont placés à une distance fixe D l'un de l'autre. On cherche les deux positions possibles de la lentille convergente qui permettent d'obtenir une image réelle et nette A' de l'objet A sur l'écran.
1. Principe de la Méthode de Bessel
1.1. Relations Fondamentales en Optique
On utilise la relation de conjugaison pour les lentilles minces, exprimée en convention de signe des physiciens :
1/p' - 1/p = 1/f'
où :
- p = OA est la position de l'objet A par rapport au centre optique O de la lentille.
- p' = OA' est la position de l'image A' par rapport au centre optique O de la lentille.
- f' est la distance focale de la lentille.
Pour un objet réel, p est négatif. Pour une image réelle formée sur un écran, p' est positif.
1.2. Relation entre la Distance Objet-Écran et les Positions
La distance D entre l'objet A et l'écran où se forme l'image A' est donnée par :
D = p' - p
Cette relation exprime la distance algébrique entre l'image et l'objet, en tenant compte des conventions de signe. Comme A est réel et A' est réel sur l'écran, et que la lentille se trouve entre les deux, p' est positif et p est négatif. La valeur absolue de p est la distance entre A et O, et p' est la distance entre O et A'. Donc D = |p| + |p'| = p' - p.
1.3. Équation Caractéristique de la Méthode de Bessel
En combinant les deux relations précédentes, nous pouvons établir une équation quadratique. De la relation D = p' - p, nous tirons p = p' - D.
En substituant p dans la relation de conjugaison :
1/p' - 1/(p' - D) = 1/f'
(p' - D - p') / (p' * (p' - D)) = 1/f'
-D / (p'² - p'D) = 1/f'
-D * f' = p'² - p'D
Ainsi, l'équation caractéristique de la méthode de Bessel pour p' est :
p'² - p'D + Df' = 0
1.4. Condition pour Deux Solutions Distinctes
Pour qu'il y ait deux positions distinctes de la lentille (donc deux valeurs de p') permettant de former une image nette sur l'écran, le discriminant de l'équation quadratique (p'² - p'D + Df' = 0) doit être strictement positif.
Le discriminant Δ est :
Δ = (-D)² - 4 * 1 * (Df') = D² - 4Df'
La condition pour deux solutions distinctes est Δ > 0, donc :
D² - 4Df' > 0
D(D - 4f') > 0
Puisque D est une distance (donc positive), il faut que :
D - 4f' > 0
D > 4f'
Cette condition signifie que la distance entre l'objet et l'écran doit être au moins quatre fois la distance focale de la lentille pour que la méthode de Bessel soit applicable.
1.5. Expressions des Deux Solutions
Les deux solutions pour p' (positions de l'image par rapport au centre optique de la lentille) sont données par la formule quadratique :
p' = [D ± sqrt(D² - 4Df')] / 2
Donc, les deux positions de l'image (pour les deux positions de la lentille) sont :
p'1 = [D + sqrt(D² - 4Df')] / 2
p'2 = [D - sqrt(D² - 4Df')] / 2
1.6. Relation entre f', D et la Distance d entre les Positions de la Lentille
La distance d entre les deux positions de la lentille est la différence entre les deux valeurs de p' trouvées (ou entre les deux valeurs de p). La distance d est donnée par :
d = p'1 - p'2
d = ([D + sqrt(D² - 4Df')] / 2) - ([D - sqrt(D² - 4Df')] / 2)
d = 2 * sqrt(D² - 4Df') / 2
d = sqrt(D² - 4Df')
En élevant au carré des deux côtés :
d² = D² - 4Df'
Nous pouvons alors exprimer la distance focale f' en fonction de D et d :
4Df' = D² - d²
f' = (D² - d²) / (4D)
Cette formule est le résultat clé de la méthode de Bessel, permettant de calculer la distance focale f' à partir des mesures de D et d.
2. Applications Numériques
2.1. Calcul de la Distance Focale et de la Vergence d'une Lentille Convergente
Considérons les mesures suivantes :
- Distance entre l'objet et l'écran, D = 1000 mm = 1 m.
- Distance entre les deux positions de la lentille, d = 500 mm = 0,5 m.
En utilisant la formule de Bessel :
f' = (D² - d²) / (4D)
f' = (1000² - 500²) / (4 * 1000)
f' = (1 000 000 - 250 000) / 4000
f' = 750 000 / 4000
f' = 187,5 mm
La distance focale de cette lentille est de +187,5 mm (ou +0,1875 m).
La vergence (V) de la lentille est l'inverse de sa distance focale exprimée en mètres :
V = 1/f' (en mètres)
V = 1 / 0,1875 ≈ +5,33 dioptries (δ)
2.2. Association de Lentilles : Convergente et Divergente
On accole à la lentille convergente précédente une lentille divergente de distance focale inconnue. Pour cette association de lentilles, la méthode de Bessel est appliquée avec D = 1000 mm et on mesure d = 200 mm.
Calculons la distance focale (f'assoc) de l'association :
f'assoc = (D² - d²) / (4D)
f'assoc = (1000² - 200²) / (4 * 1000)
f'assoc = (1 000 000 - 40 000) / 4000
f'assoc = 960 000 / 4000
f'assoc = 240 mm
La distance focale de l'association est de +240 mm (ou +0,240 m).
La vergence de l'association (Vassoc) est :
Vassoc = 1 / 0,240 ≈ +4,17 dioptries (δ)
Pour trouver la distance focale de la lentille divergente, on utilise le théorème des vergences, qui stipule que la vergence d'un système de lentilles minces accolées est la somme algébrique des vergences de chaque lentille :
Vassoc = Vconvergente + Vdivergente
Nous avons Vconvergente = +5,33 δ et Vassoc = +4,17 δ.
Vdivergente = Vassoc - Vconvergente
Vdivergente = 4,17 - 5,33 = -1,16 δ
La vergence de la lentille divergente est d'environ -1,16 dioptries.
La distance focale de la lentille divergente (f'divergente) est l'inverse de sa vergence :
f'divergente = 1 / Vdivergente
f'divergente = 1 / (-1,16) ≈ -0,862 m
f'divergente ≈ -862 mm
La distance focale de la lentille divergente est d'environ -862 mm.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la méthode de Bessel et à quoi sert-elle ?
La méthode de Bessel est une technique optique utilisée pour déterminer la distance focale d'une lentille convergente. Elle consiste à trouver deux positions de la lentille entre un objet et un écran fixes qui produisent une image nette de l'objet sur l'écran, puis à calculer la distance focale à partir de la distance entre l'objet et l'écran (D) et la distance entre les deux positions de la lentille (d).
Quelle est la condition essentielle pour appliquer la méthode de Bessel ?
Pour que la méthode de Bessel soit applicable et qu'il existe deux positions distinctes de la lentille, la distance D entre l'objet et l'écran doit être supérieure à quatre fois la distance focale de la lentille (D > 4f'). Si cette condition n'est pas remplie, soit il n'y a pas d'image réelle possible sur l'écran, soit il n'y a qu'une seule position de la lentille.
Comment détermine-t-on la distance focale d'une lentille divergente avec cette méthode ?
La méthode de Bessel est directement applicable aux lentilles convergentes. Pour une lentille divergente, on l'associe généralement à une lentille convergente de distance focale connue. On mesure ensuite la distance focale de l'association à l'aide de la méthode de Bessel. Enfin, en utilisant le théorème des vergences (la vergence totale étant la somme des vergences individuelles), on peut calculer la vergence puis la distance focale de la lentille divergente inconnue.